Lec04-CG-CurSur(1)

CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU1《计算机图形学》杨培中机械与动力工程学院[e-mail],SchoolofMechanicalEngineering,SJTU21、综述2、曲线、曲面参数表示的基本知识3、常用的参数曲线4、常用的参数曲面内容CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU3曲线曲面是CG研究的重要内容，有广泛的应用试验、统计数据的曲线表示设计、分析、优化结果的表述汽车、飞机等曲面外形的设计曲线、曲面研究的状况1963年，Boeing公司，Ferguson,参数矢量形式1964年，MIT，Coons,封闭的四条边界定义曲面1964年，Schoenberg提出参数样条曲线、曲面的形式1971年，法国雷诺汽车公司，Bezier，控制多边形定义曲线曲面同期，法国雪铁龙公司，Casteljau，研究出类似Bezier的方法综述CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU41972年，deBoor，B样条的标准计算方法1974年，GM，Gordon,Riesenfeld，将B样条理论用于形状描述，提出了B样条曲线曲面1975年，美国Syracuse大学，Versprill，提出有理B样条方法20世纪80年代后期，美国,Peigl&Tiller，非均匀有理B样条（NURBS:Non-UniformRationalBSpline）NURBS成为当前自由曲线曲面描述的最为流行的技术。NURBS可以统一表示初等解析曲线曲面以及有理和非有理Bezier、非有理B样条曲线曲面。综述CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU5综述CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU6显示、隐式和参数表示参数曲线的定义及其切矢量、法矢量、曲率和挠率插值、逼近、拟合和光顺参数曲线的代数形式和几何形式调和函数曲线段间C1，C2，GC1，GC2连续性定义重新参数化有理参数多项式曲线曲线、曲面参数表示的基本知识CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU7显示、隐式和参数表示曲线和曲面的非参数表达分为显式表达和隐式表达两种。(一）显式表达如三维空间一条曲线，它的每个点P(x,y,z)。使用显式表达时可以将y和z表达为x的显函数：)()(xgzxfyCreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU8显示、隐式和参数表示用隐式方程的形式表示曲线和曲面，其形式为：（二）隐式表达0),,(zyxfCreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU9显示、隐式和参数表示1．表达的曲线和曲面都与坐标轴相关。2．难以表达曲线的垂直点，即斜率无穷大处。3．两个曲线连接处，很难决定它的正切的连续性，而正切的连续性在许多应用程序中是很关键的问题。4．对于非平面曲线和曲面很难用常系数的方程表示。5．不便于计算机计算和编程。非参数表达不足之处：CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU10对于曲线和曲面采用参数表达是计算机图形中常用的方法。例如，一条三维曲线可表示为：)()()(tzztyytxx显示、隐式和参数表示（三）参数表达参数曲线的切矢量或导函数为：))(),(),((tztytxCreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU11它的切矢量为10)()()()(121121ttyyytytxxxtx),())(),((1212yyxxtytx显示、隐式和参数表示（三）参数表达例1直线段的参数表示CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU1220sin)(cos)(ryrx101211222tttyttx显示、隐式和参数表示（三）参数表达例2圆的参数表示CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU13显示、隐式和参数表示（三）参数表达第一象限内的单位圆弧显示表示参数表示CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU14例3平面上的二次曲线22221121ctbtayctbtax显示、隐式和参数表示（三）参数表达CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU15参数表达的优点：有更大的自由度来控制曲线、曲面的形状。参数曲线曲面进行变换可直接对参数方程进行几何变换。便于处理斜率为无穷大的问题，不会因此中断计算。规格化的参数变量0t1，使其相应的几何分量是有界的。参数方程终，代数、几何相关和无关的变量是完全分离的，而且对变量个数不限，从而便于用户把低维空间中的曲线曲面扩展到高维空间去。易于用矢量和矩阵表示几何分量，简化了计算。显示、隐式和参数表示（三）参数表达CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU16三维参数曲线：一个有界的点集，可写成一个带参数的、连续的、单值的数学函数参数曲线的定义及其切矢量、法矢量、曲率和挠率(1)位置矢量))(),(),(()(tztytxtPCreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU17(2)切矢量：参数曲线上一点的切矢量或导函数为或))(,)(,)(()(dttdzdttdydttdxdttPd))(),(),(()(tztytxtP参数曲线的定义及其切矢量、法矢量、曲率和挠率若以曲线弧长c作为参数，则切矢量为单位向量。记之为T。CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU18(3)曲率k：参数曲线切向量的变化率，取正值参数曲线的定义及其切矢量、法矢量、曲率和挠率曲率半径CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU19(4)法矢量：与切矢量垂直的矢量为法矢量主法矢量N：由单位切矢量的导数矢量确定参数曲线的定义及其切矢量、法矢量、曲率和挠率从（副）法矢量B:T与N的叉积矢量T、N、B构成了一个直角坐标架曲线上任何一点都有一个直角坐标架。CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU20参数曲线的定义及其切矢量、法矢量、曲率和挠率T、N构成的平面称为密切平面N、B构成的平面称为法平面B、T构成的平面称为从切平面（化直平面）CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU21(5)挠率：参数曲线从法矢量的变化率，取正值。参数曲线的定义及其切矢量、法矢量、曲率和挠率曲线为平面曲线的充要条件为，挠率恒为0。CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU22(1)插值（interpolation）:过给定的型值点线性插值：给定两点(x1,y1),(x2,y2)插值、逼近、拟合和光顺CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU23(1)插值（interpolation）:过给定的型值点三角形线性插值：三角形内一点是其三个顶点的线性组合。r+s+t=1插值、逼近、拟合和光顺CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU24(1)插值（interpolation）:过给定的型值点抛物线插值：用二次多项式进行插值，又称二次插值给定三点(x1,y1),(x2,y2),(x3,y3)插值、逼近、拟合和光顺CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU25(1)插值（interpolation）:过给定的型值点n次多项式插值：用n次多项式进行插值给定n+1点(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)…(xn,yn)插值、逼近、拟合和光顺niiixax0)(CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU26(2)逼近（Approximation）:最佳接近型值点给定n+1点(x0,y0),(x1,y1),(x2,y2)…(xn,yn)，要求构造一个m（mn）次多项式y=f(x)逼近这些点。通常采用最小二乘法。各点偏差平方和最小插值、逼近、拟合和光顺加权方差最小20))((iniiiyxfd20))((iniiyxfCreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU27(2)逼近（Approximation）:最佳接近型值点插值、逼近、拟合和光顺对上式关于aj求导，mjaj,...2,1,0,0200)(inimjjijyxamjjjxaxf0)(令则m+1个方程，有m+1个未知系数ajCreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU28(3)拟合（fit）:用插值或逼近法达到设计要求。插值、逼近、拟合和光顺CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU29(4)光顺（smoothness）:光滑顺眼。减少曲线的拐点.对于平面曲线，相对光顺的条件为：具有二阶几何连续性不存在多余拐点和奇异点曲率变化较小插值、逼近、拟合和光顺CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU30(1)代数形式一条三次参数曲线的代数形式为：参数曲线的代数形式和几何形式CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU31(2)几何形式用端点坐标、切矢量、曲率、挠率等表示的曲线参数曲线的代数形式和几何形式分别为端点矢量以及端点的切矢量CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU32(3)矩阵形式参数曲线的代数形式和几何形式代数形式的矩阵表示几何形式的矩阵表示代数、几何形式的关系CreatedbyPeizhongYang,SchoolofMechanicalEngineering,SJTU33(3)矩阵形式参数曲线的代数形式和几何形式若用P=TMB来表示一条参数曲线，由于它是由端点及其切矢量定义的三次参数曲线，也称为Hermite曲线或Ferguson曲线。CreatedbyP