在恒定磁场中电子的运动

6.4在恒定磁场中电子的运动：见黄昆书5.4；5.5；5.6节一.恒定磁场中的准经典运动二.自由电子的量子理论三.晶体中电子的有效质量近似四.回旋共振五.霍尔效应六.DeHaas－VanAlphen效应讨论晶体电子在恒定磁场中的运动，是分析晶体许多重要物理效应的理论基础，有两种方法：准经典近似和求解含磁场的Schrödinger方程，前一方法所得结果物理图像清晰，但有一定的局限性。正确地解释这些现象是能带论的成功之作，反之这些现象也成为能带论最有力的实验证据。一.恒定磁场中的准经典运动依然沿用准经典运动的两个基本方程：()()()=Eet=∇-×hh1ddkvkkkFvkB={只考虑磁场中的行为，公式中没有电场力，只有Lorentz力，磁场对电子的作用和电场不同，它不作功不改变电子的能量。该公式表明，在只涉及外力时，晶体动量起着普通动量的作用，我们假定只在z方向有磁场，先在波矢空间下讨论Bloch电子的行为。xyzxyzijkevvvBBB-t⊥ddkB表明沿磁场方向k的分量不随时间而变，即在k空间中，电子在垂直于磁场B的平面内运动；又由于Lorentz力不做功，，所以电子的能量E(k)不随时间而变，即电子在等能面上运动。⊥Fv综合以上两点，可以看出：电子在k空间中的运动轨迹是垂直于磁场的平面与等能面的交线，即电子在垂直于磁场的等能线上运动。一般情形等能线形状是很复杂的。B()e=t-⎡×⎤⎣⎦hddkvkB也可从公式出发直接说明此点：上式表明：磁场作用下，电子在k空间运动，其位移dk垂直于v和B所决定的平面，dk垂直于B，这意味着电子的轨道处于与磁场垂直的平面内，dk还垂直于v，因为v垂直于k空间的等能面，这意味着dk处在这个等能面内，综合上述两点可以确定：电子沿着垂直于磁场的等能线做旋转运动，且对磁场而言是反时针旋转。电子沿等能线运动，既不从磁场吸收能量，也不把能量传递给磁场，这与电磁学中电荷和磁场相互作用的规律是一致的。电子回旋运动周期：回旋运动圆频率（Cyclotronfrequency)：constconstconstdddEEEkkTteBvk⊥======∫∫∫vvhw&ÑÑÑv取垂直于磁场的分量。const22dcEeBkTvppw⊥===∫vhÑ如图所示电子在k空间中的运动是循环的，经过一段时间后又回到出发的那一点。按照上式：这里，微分dk是沿回路周边取的，一般情况形状复杂，对于自由电子：()=h22kE2mk电子的运动轨道为圆，如下图()⊥⊥=hkvmk在等能线上，k⊥＝const.const222d2cEeBeBeBmkTmkkvpppwp⊥⊥⊥=====⋅∫vhhhÑddddd0dxyyxzkeBktmkeBktmkt=-==()()ddkvkmkekBtm==-×rrhrrur有：或：磁场作用下自由电子在k空间中的运动轨道是圆。其回旋频率：ceBmw=从前面讨论中可以看出：Bloch电子在磁场中虽然也在做回旋运动，但由于其等能面的复杂变化（见6.8节），其运动轨迹要复杂的多，因而其回旋频率的表达式需要具体积分求出。在能带底和能带顶，情况变得简单，可以给出类似自由电子的表达式：*ceBmw=m*是Bloch电子的有效质量.在实空间中，沿磁场方向，是常数，即做匀速运动，电子的运动轨迹为一螺旋线。由上面自由电子的公式可以给出：磁场沿z轴方向，有0xyyxzveBvtmveBvtmvt=-==ddddddzv解为0000cossinxyzvvvvv.ww===consttt{22200xyvvveBmw=+=实空间中电子的运动图象：沿磁场方向（z方向），电子作匀速运动，在垂直于磁场的平面内，电子作匀速圆周运动。回转频率：0eBmw=对于晶体中的电子{d1dtme*⎡⎤=⋅⎢⎥⎣⎦-×vFF=vB在主轴坐标系中有dd11d1,,dddyxzxyzxyzvvvFFFtmtmtm***===若磁场方向取在z轴方向，B＝Bk，即可写出其相应的准经典运动方程。ddddd0dxyxyxyzveBvtmveBvtmvt**=-==这与普通物理中的结果是一致的。二、自由电子的量子理论在没有磁场时，自由电子的哈密顿量为：22pHm=当有磁场存在时，电子运动的哈密顿量为()212Hem=+pAA为磁场的矢势，=∇×BA若磁场B沿z方向，则可取(),0,0By=-A()2221ˆˆˆˆ2xyzHpeByppm⎡⎤∴=-++⎣⎦由于哈密顿算符中不含x和z，与ˆHˆxpix∂=-∂hˆzpiz∂=-∂h及对易。根据量子力学，H和px、pz有共同本征态。设ψ为其共同本征态，有ˆˆxxzzpkpkyyyy==hh波函数可以写成()()()xzikxkzeyyj+=r代入波动方程ˆHEyy=()()()22221ˆ2xyzkeBypkyEymjj⎡⎤-++=⎣⎦hh()()()2222221222zxkkeByyEymymmjj⎡⎤⎛⎞∂-+-=-⎜⎟⎢⎥∂⎣⎦⎝⎠hhh()()()2222002122myyyymywjej⎡⎤∂-+-=⎢⎥∂⎣⎦h其中,ceBmw=0,xykeB=h222zkEme=-h上式是中心位置在y=y0，振动园频率为ω0的线性谐振子。解为()()()00000exp2nnnmmyyNyyHyywwj⎡⎤⎡⎤-≈---⎢⎥⎢⎥⎣⎦⎣⎦hhNn为归一化因子，Hn(y)为厄密多项式。相应的能量本征值为()12ncnew=+hn=0,1,2,…()()()0xzikxkzneyyyj+∴=-r()()22221222zznckkEnmmew=+=++hhhk即：根据量子理论，电子在垂直于磁场平面内的匀速圆周运动对应于一种简谐振动，其能量是量子化的。我们将这种量子化的能级称为朗道能级（Landaulevel）。公式说明沿磁场方向电子保持自由运动，在垂直磁场的x-y平面上，电子运动是量子化的，从准连续的变为：在这种情况下，电子的能量由准连续的能谱变成一维的分立的磁次能带，每条次能带都成抛物线形状，如右图所示。()2222xykkm+h12cnw⎛⎞+⎜⎟⎝⎠hcwhcwhcwh12cwh由于能量-波矢关系的改变，波矢空间描写状态的代表点的分布也发射变化，集聚在一系列的圆周上，如下图所示。于是，磁场中的能态密度曲线和磁场为零时的能态密度曲线相比发生了巨大变化，形成了一系列的峰值，相邻两峰之间的能量差是。能态密度变化的这种特点深刻地影响了晶体的物理性质。DeHaas－VanAlphen效应就是这一性质的具体反映。cwh()NE()NE0()NE0B=0()()NENE见方俊鑫书6.9节p266三、晶体中电子的有效质量近似晶体中电子在磁场中运动时，其哈密顿量为()()212HeUm=++pAr其中，U(r)为晶体的周期性势场，严格求解晶体中的电子在磁场中的运动是非常困难的。但在有些情况下，可将哈密顿量近似写成()212Hem*=+pA这里，周期场的影响概括为有效质量的变化，称为有效质量近似。一般半导体材料中，在导带底和价带顶附近常常可以采用有效质量近似。对有些金属材料（如碱金属）有时也可以采用。在有效质量近似的框架内，前面我们对自由电子的讨论可以推广到晶体中的电子，只需用有效质量m*代替自由电子的质量m即可。四、电子回旋共振（electroncyclotronresonance)将一晶片垂直置于磁场中，若沿磁场方向输入一频率为ω的交变电场，电子做回旋运动，如图所示：当ω=ωc时，电子回旋与电场同步，电子吸收电场能量达到极大，这种现象称为电子回旋共振。从量子理论的观点，电子吸收了电场的能量，相当于实现了电子在朗道能级间的跃迁。测量回旋共振的频率ωc，即可算出电子（或空穴）的有效质量m*。Beh讯号ceBmw*=电子回旋共振不仅可以测量载流子的有效质量m*，还可以根据出射波的偏振方向来判断电场的能量是被电子还是被空穴吸收的。在自由电子情形，可以算出：当B=1KGs时，fc=2.8GHz（千兆赫）属于微波波段。2.8GHz2ccfBwp==根据回旋共振吸收曲线确定出回旋频率代入公式即可计算出有效质量，其精度取决于交变场频率和磁场的测量精度。右图是吸收系数与频率关系图wcw电子回旋共振常被广泛地用来测定半导体导带底电子或价带顶空穴的有效质量，研究其能带结构。在半导体的导带底或价带顶附近，其等能面一般为椭球面，在主轴坐标系中，有()22222yxzxyzkkkEmmm***⎛⎞=++⎜⎟⎜⎟⎝⎠hk当发生电子回旋共振时，ceBmw=*这里，m*为电子回旋共振的有效质量，与外加磁场的方向有关。2221xyzxyzmmmmmmmabg*******++=其中，α、β、γ为磁场在主轴坐标系中的方向余弦。由于电子在运动过程中会受到声子、晶格缺陷以及杂质的散射，因此，为了能观察到回旋共振现象，必须满足wct1，其中t是电子在相邻两次碰撞间的平均自由时间。通常，实验都必须在极低温度（液He温度）下，选用高纯的单晶样品，以提高t值，同时加强磁场以提高wc。近年来，利用红外激光为交变讯号源，可以观测到非常清晰的共振线。（110）面内见黄昆书p262将一通电的导体放在磁场中，若磁场方向与电流方向垂直，那么，在第三个方向上会产生电位差，这种现象称为Hall效应。。背景知识：E.H.Hall在1879年试图确定磁场对载流导线的作用到底作用于导线上还是（按照现代的说法）作用在导线内的电子上面。“ifthecurrentofelectricityinafixedconductorisitselfattractedbyamagnet,thecurrentshouldbedrawntoonesideofthewire,andthereforetheresistanceexperiencedshouldbeincreased”。Hall没有测出额外的电阻——磁致电阻，但是“Themagnetmaytendtodeflectthecurrentwithoutbeingabletodoso.Itisevidentthatinthiscasetherewouldexistastateofstressintheconductor,theelectricitypressing,asitwere,towardonesideofthewire”“Stateofstress”，就是我们现在所熟知的横向电势差（Hall电压，Hallvoltage）五.霍尔（Hall）效应。我们先采用自由电子模型说明：在如下图所示配置下，导体中电荷e受的洛伦兹力：在-y方向产生电场EH，平衡时应有：xyz0jxBEHEx()FeBn=-×vv()()()HxeEeBn--=--vvvHxEvB=在外磁场的作用下，原来在-x方向漂移的电子受到Lorentz力作用发生向下的偏转，电子积累在晶体下表面，产生净负电荷，同时上表面因缺少电子而出现净正电荷，于是，这些正负表面电荷形成了霍尔电场。()xxjnev=-Q1HxEjBne∴=-1HRne=-定义：为霍尔系数（Hallcoefficient）霍尔电场与电流密度和磁场强度乘积成正比，其比例系数为霍尔系数。所以霍尔效应成为测量晶体电子浓度的权威方法。测量了很多金属的霍尔系数，和自由电子论预计的理论计算值相符，但也有一些金属霍尔系数理论和实验值不符（见下页表），甚至符号也相反，存在正电荷导电的判断已在能带论中得到解释。从公式不难看出，载流子浓度越低，Hall系数就越大，霍尔效应就越明显，因此，霍尔效应在半导体的研究和应有中有重要价值，由霍尔系数的测定可以直接确定半导体中载流子的浓度，它的符号可以确定载流子的类型，是电子导电还是空穴导电。（见黄昆书P346)半导体的霍尔效应也可以用于磁场测量。当晶体中同时有两种导电载流子存在时，比如能带有交迭，导电电子存在于上面的能带，空穴存在于下面的能带，可以证明其霍尔系数：()222eehhHehRRRssss+=+其中Reσe,，Rhσh分别为电子和空穴各自的霍尔系数和电导率。显然霍尔系数的符号可正可负，取