分式易错点剖析

分式运算常见错误示例一、概念记不准例1下列哪些是分式?哪些是整式?①2x1②31a③43错解：①，③是分式,②是整式.①在代数式2x1中,因为在分母中含有字母,所以是分式;②在代数式31a中,因为它是二项式,属于整式；43是分式.错解分析：分式的定义就是形如BA,其中A和B都为整式,分母B中要含有字母，①2x1中的分母是常数,而不是字母;②31a中的a1是分式,加3后,仍然属于分式;③把分式和分数混淆了.正解：①,③是整式,②是分式.二、直接将分式约分例2x为何值时,分式239xx有意义?错解:23313339xxxxxx.要使分式有意义,必须满足x+3≠0,即x≠-3.错解分析:错误的原因是将x-3约去,相当于分子、分母同除以一个可能为零的代数式,无意中扩大了字母的取值范围,当x=3时,分式无意义的条件漏掉了.正解:要使分式有意义,必须满足2x-9≠0,解得x≠±3.∴当x≠±3时,分式239xx有意义.三、误以为分子为零时,分式的值就为零例3当x为何值时,分式224xx的值为零?错解:由题意,得|x|-2=0,解得x=±2.∴当x=±2时,分式224xx的值为零.错解分析:分式值为零的条件是分子为零而分母不为零.本题当x=-2时,分母2x+4=2×(-2)+4=0,分式无意义,应舍去.正解:由题意,得|x|-2=0,解得x=±2.当x=2时,分母2x+4≠0;当x=-2时,分母2x+4=2×(-2)+4=0,分式无意义.∴当x=2时,分式224xx的值为零.四、分式通分与解方程去分母混淆例4化简22xx-x-2.错解:原式=2x-x(x-2)-2(x-2)=2x-2x+2x-2x+4=4.错解分析:上述错误在于进行了去分母的运算,当成了解方程,而本题是分式的加减运算,必须保持分式的值不变.正解:22xx-x-2=22xx-(x+2)=22xx-222xxx=22(4)2xxx=42x.五、颠倒运算顺序例5计算a÷b×1b.错解:a÷b×1b=a÷1=a.错解分析:乘法和除法是同级运算,应按从左到右的顺序进行.错解颠倒了运算顺序,造成运算错误.正解:a÷b×1b=ab×1b=2ab.六、化简不彻底例6计算221244xx.错解:原式=212222xxx=42222222xxxxx=42222xxx=2222xxx.错解分析:上面计算的结果,分子、分母还有公因式(x-2)可约分,应继续化简.正解:原式=212222xxx=42222222xxxxx=42222xxx=2222xxx=122x.七、忽视“分母等于零无意义”致错1.错在只考虑了其中的一个分母例7x为何值时,分式1111x有意义?错解：当x+1≠0,得x≠-1.所以当x≠-1时,原分式有意义.错解分析：上述解法中只考虑了分式11x中的分母,没有注意整个分式的大分母111x.正解：由x+1≠0,得x≠-1.由111x≠0,得x≠0，因此，当x≠0且x≠-1时,原分式有意义.2.错在没有把方程的两个解带到分母中去检验例8先化简,再求值:1211222xxxxxx,其中x满足x2-3x+2=0.错解：1211222xxxxxx=2)1()1)(1(1)1(xxxxxx=x.∵x2-3x+2=0,∴(x-2)(x-1)=0.∴x=1或x=2，原式=1或2.错解分析：只要把本题中的x=1代入到(x-1)2中可知,分母等于0,所以原式无意义.故原式只能等于2.正解：2222xxx1x(x1)(x1)(x1)xx1x2x1x1(x1)··，由x2-3x+2=0，解得x1=2,x2=1，当x=2时，x+1≠0，x2-2x+1≠0，当x=1时，x2-2x+1=0，故x只能取x=2，则原式=x=2.3.错在没有考虑除式也不能为零例9先化简11112xxx,再选择一个恰当的x值代入并求值.错解：11112xxx=xxxxx)1)(1(111=x+1.∵x-1≠0,x2-1≠0,∴x≠±1.当取x=0时代入x+1,原式=1.错解分析：本题若取x=0,则除式x颠倒到分母上时,分式就变得无意义了,显然是不正确的,所以x≠-1,0,1.其他值代入均可求.正解：11112xxx=x(x1)(x1)x1x1x·,∵x-1≠0,x2-1≠0,2xx1为除数不为0，即x≠0,∴x≠±1且x≠0,当取x=2时原式=x+1=2+1=3.4.错在“且”与“或”的混用例10x为何值时,分式)3)(2(1xx有意义?错解：要使分式有意义,x必须满足分母不等于零,即(x-2)(x-3)≠0,所以x≠2或x≠3.错解分析：“且”与“或”是两个完全不同的联结词,两件事情至少一件发生用“或”，两件事情同时发生用“且”.正解：要使分式有意义,x必须满足(x-2)(x-3)≠0,所以x≠2且x≠3.八、忽视分数线具有双重作用例11化简：112xxx错解：原式=1121)1)(1(11122xxxxxxxxx.错解分析：分数线具有除号和括号的双重作用,在添分数线时,如果分数线前面是-号,那么所添各项都要变号.正解：原式=111)1)(1(11122xxxxxxxx.