立体几何(几何法)—线面角

1立体几何（几何法）—线面角例1（2012广一模）．（本小题满分14分）如图5所示，在三棱锥ABCP中，6ABBC，平面PAC平面ABC，ACPD于点D，1AD，3CD，3PD．（1）证明△PBC为直角三角形；（2）求直线AP与平面PBC所成角的正弦值．（1）证明1：因为平面PAC平面ABC，平面PAC平面ABCAC，PD平面PAC，ACPD，所以PD平面ABC．…………………………………………………………………………………1分记AC边上的中点为E，在△ABC中，ABBC，所以ACBE．因为6ABBC，4AC，所以2222622BEBCCE．………………3分因为PDAC，所以△PCD为直角三角形．因为3PD，3CD，所以22223323PCPDCD．………4分连接BD，在Rt△BDE中，因为2BE，1DE，所以2222213BDBEDE．…………5分因为PD平面ABC，BD平面ABC，所以PDBD．在Rt△PBD中，因为3PD，3BD，所以2222336PBPDBD．…………………………………………………6分在PBC中，因为6BC，6PB，23PC，所以222BCPBPC．图5BPACDBPACDE2所以PBC为直角三角形．………………………………………………………………………………7分证明2：因为平面PAC平面ABC，平面PACI平面ABCAC，PD平面PAC，ACPD，所以PD平面ABC．…………………………………………………………………………………1分记AC边上的中点为E，在△ABC中，因为ABBC，所以ACBE．因为6ABBC，4AC，所以2222622BEBCCE．………………3分连接BD，在Rt△BDE中，因为90BEDo，2BE，1DE，所以2222213BDBEDE．………………………………………………………4分在△BCD中，因为3CD，6BC，3BD，所以222BCBDCD，所以BCBD．……………………………………………………………5分因为PD平面ABC，BC平面ABC，所以BCPD．…………………………………………………………………………………………6分因为BDPDD，所以BC平面PBD．因为PB平面PBD，所以BCPB．所以PBC为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）解法1：过点A作平面PBC的垂线，垂足为H，连PH，则APH为直线AP与平面PBC所成的角．…………………………………………………………8分由（1）知，△ABC的面积1222ABCSACBE．…………………………………………9分因为3PD，所以13PABCABCVSPD12622333．…………………………10分由（1）知PBC为直角三角形，6BC，6PB，3所以△PBC的面积1166322PBCSBCPB．……………………………………11分因为三棱锥APBC与三棱锥PABC的体积相等，即APBCPABCVV，即126333AH，所以263AH．……………………………………………………………12分在Rt△PAD中，因为3PD，1AD，所以2222312APPDAD．………………………………………………………13分因为2663sin23AHAPHAP．所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分解法2：过点D作DMAP∥，设DMPCM，则DM与平面PBC所成的角等于AP与平面PBC所成的角．……………………………………8分由（1）知BCPD，BCPB，且PDPBP，所以BC平面PBD．因为BC平面PBC，所以平面PBC平面PBD．过点D作DNPB于点N，连接MN，则DN平面PBC．所以DMN为直线DM与平面PBC所成的角．……10分在Rt△PAD中，因为3PD，1AD，所以2222312APPDAD．………………………………………………………11分因为DMAP∥，所以DMCDAPCA，即324DM，所以32DM．………………………………12分BPACDMN4由（1）知3BD，6PB，且3PD，所以33626PDBDDNPB．……………………………………………………………13分因为662sin332DNDMNDE，所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分解法3：延长CB至点G，使得BGBC，连接AG、PG，……………………………………8分在△PCG中，6PBBGBC，所以90CPGo，即CPPG．在△PAC中，因为23PC，2PA，4AC，所以222PAPCAC，所以CPPA．因为PAPGPI，所以CP平面PAG．…………………………………………………………………………………9分过点A作AKPG于点K，因为AK平面PAG，所以CPAK．因为PGCPPI，所以AK平面PCG．所以APK为直线AP与平面PBC所成的角．……………………………………………………11分由（1）知，BCPB，所以23PGPC．在△CAG中，点E、B分别为边CA、CG的中点，所以222AGBE．………………………………………………………………………………12分BPACDEGK5在△PAG中，2PA，22AG，23PG，所以222PAAGPG，即PAAG．……………………………………………………………13分因为226sin323AGAPKPG．所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分解法4：以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系Exyz，…………………………………………………………………………………………………8分则0,2,0A，2,0,0B，0,2,0C，0,1,3P．于是0,1,3AP，2,1,3PB，0,3,3PC．设平面PBC的法向量为,,xyzn，则0,0.PBPCnn即230,330.xyzyz取1y，则3z，2x．所以平面PBC的一个法向量为2,1,3n．……………………………………………………12分设直线AP与平面PBC所成的角为，则46sincos326APAPAPn,nn．所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分BPACDExyz6若第（1）、（2）问都用向量法求解，给分如下：（1）以点E为坐标原点，以EB，EC所在的直线分别为x轴，y轴建立如图的空间直角坐标系Exyz，…………………………………………………………………………………………………1分则2,0,0B，0,2,0C，0,1,3P．于是2,1,3BP，2,2,0BC．因为2,1,32,2,00BPBC，所以BPBC．所以BPBC．所以PBC为直角三角形．………………………………………………………………………………7分（2）由（1）可得，0,2,0A．于是0,1,3AP，2,1,3PB，0,3,3PC．设平面PBC的法向量为,,xyzn，则0,0.PBPCnn即230,330.xyzyz取1y，则3z，2x．所以平面PBC的一个法向量为2,1,3n．……………………………………………………12分设直线AP与平面PBC所成的角为，则46sincos326APAPAPn,nn．所以直线AP与平面PBC所成角的正弦值为63．…………………………………………………14分BPACDExyz7例2（本小题满分12分）（注意：在试题卷上作答无效．．．．．．．．．）如图，四棱锥PABCD中，底面ABCD为菱形，PA底面ABCD，22AC，2PA，E是PC上的一点，2PEEC。（Ⅰ）证明：PC平面BED；（Ⅱ）设二面角APBC为90，求PD与平面PBC所成角的大小。【答案】解：方法一：(1)证明：因为底面ABCD为菱形，所以BD⊥AC，又PA⊥底面ABCD，所以PC⊥BD.设AC∩BD＝F，连结EF.因为AC＝22，PA＝2，PE＝2EC，故PC＝23，EC＝233，FC＝2，从而PCFC＝6，ACEC＝6.因为PCFC＝ACEC，∠FCE＝∠PCA，所以△FCE∽△PCA，∠FEC＝∠PAC＝90°，由此知PC⊥EF.PC与平面BED内两条相交直线BD，EF都垂直，所以PC⊥平面BED.(2)在平面PAB内过点A作AG⊥PB，G为垂足．因为二面角A－PB－C为90°，所以平面PAB⊥平面PBC.又平面PAB∩平面PBC＝PB，故AG⊥平面PBC，AG⊥BC.BC与平面PAB内两条相交直线PA，AG都垂直，故BC⊥平面PAB，于是BC⊥AB，所以底面ABCD为正方形，AD＝2，PD＝PA2＋AD2＝22.ECBDAP8设D到平面PBC的距离为d.因为AD∥BC，且AD⊄平面PBC，BC⊂平面PBC，故AD∥平面PBC，AD两点到平面PBC的距离相等，即d＝AG＝2.设PD与平面PBC所成的角为α，则sinα＝dPD＝12.所以PD与平面PBC所成的角为30°.方法二：(1)以A为坐标原点，射线AC为x轴的正半轴，建立如图所示的空间直角坐标系A－xyz.设C(22，0,0)，D(2，b,0)，其中b0，则P(0,0,2)，E423，0，23，B(2，－b,0)．于是PC→＝(22，0，－2)，BE→＝23，b，23，DE→＝23，－b，23，从而PC→·BE→＝0，PC→·DE→＝0，故PC⊥BE，PC⊥DE.又BE∩DE＝E，所以PC⊥平面BDE.(2)AP→＝(0,0,2)，AB→＝(2，－b,0)．设＝(x，y，z)为平面PAB的法向量，则·AP→＝0，·AB→＝0，即2z＝0且2x－by＝0，令x＝b，则＝(b，2，0)．设＝(p，q，r)为平面PBC的法向量，则·PC→＝0，·BE→＝0，即22p－2r＝0且2p3＋bq＋23r＝0，令p＝1，则r＝2，q＝－2b，＝1，－2b，2.9因为面PAB⊥面PBC，故·＝0，即b－2b＝0，故b＝2，于是＝(1，－1，2)，DP→＝(－2，－2，2)，cos〈，DP→〉＝n·DP→|n||DP→|＝12，〈，DP→〉＝60°.因为PD与平面PBC所成的角和〈，DP→〉互余，故PD与平面PBC所成的角为30°.例2（2012高考天津文科17）（本小题满分13分）如图1－4，在四棱锥P－ABCD中，底面ABCD是矩形，AD⊥PD，BC＝1，PC＝23，PD＝CD＝2.(1)求异面直线PA与BC所成角的正切值；(2)证明平面PDC⊥平面ABCD；(3)求直线PB与平面ABCD所成角的正弦值．图1－4【答案】解：(1)如图所示，在四棱锥P－ABCD中，因为底面ABCD是矩形，所以AD＝BC且AD∥BC，又因为AD⊥PD，故∠PAD为异面直线PA与BC所成的角．在Rt△PDA中，tan∠PAD＝PDAD＝2.所以，异面直线PA与BC所成角的正切值为2.(2)证明：由于底面ABCD是矩形，故AD⊥CD，又由于AD⊥PD，CD∩PD＝D，因此AD⊥平面PDC，而AD⊂平面ABCD，所以平面PDC