数理统计基本概念教案

1第17讲2分布t分布F分布正态总体统计量的分布教学目的：掌握2分布、t分布、F分布及正态总体统计量的分布。教学重点：2分布、t分布、F分布。教学难点：正态总体统计量的分布。教学时数：2学时。教学过程：第五章数理统计的基本知识§5.42分布、t分布、F分布1.2分布定理1设随机变量kXXX,,,21相互独立，且均服从1,0N，则随机变量kiiX122的概率密度为.0,0;0,22121222xxexkxfxkk我们称随机变量2服从自由度为k的2分布，记作k22~。注（1）可以证明，2分布具有可加性：即若随机变量21和22相互独立，且22221221~,~kk则.~2122221kk（2）上分位数：对于不同自由度k及不同的数10，定义2是自由度为k的2分布上分位数，如果其满足2222dxxfP2.t分布定理2设随机变量X与Y相互独立，X服从1,0N，Y服从自由度为k的2分布，则随机变量2kYXt的概率密度为2121221ktkxkkkxf我们称随机变量t服从自由度为k的t分布，记作ktt~。注（1）可以证明，当自由度k时，t分布将趋于1,0N。（2）上分位数：对于不同的自由度k及不同的数10，定义t是自由度为k的t分布上分位数，如果其满足ttdxxfttP3.F分布定理3设随机变量X与Y相互独立，分别服从自由度为1k与2k的2分布，则随机变量21kYkXF的概率密度为;.0,00,222221122221212121121xxkxkxkkkkkkxfkkkkkF我们称随机变量F服从自由度为21,kk的F分布，记作21,~kkFF。其中1k称为第一自由度，2k称为第二自由度。注（1）上分位数：对于不同的自由度21,kk及不同的数10，定义F是自由度为21,kk的F分布上分位数，如果其满足FFdxxfFFP3（2）容易证明，1,,12211kkFkkF。§5.5正态总体统计量的分布1.单个正态总体的统计量的分布从总体X中抽取容量为n的样本nXXX,,,21，样本均值与样本方差分别是212111,1niiniiXXnSXnX.定理1设总体X服从正态分布2,N，则样本均值X服从正态分布nN2,，即nNX2,~证因为随机变量nXXX,,,21相互独立，并且与总体X服从相同的正态分布2,N，所以由§4.3中的定理知，它们的线性组合X服从正态分布nN2,。定理2设总体X服从正态分布2,N，则统计量nXu服从标准正态分布1,0N，即1,0~NnXu由定理1结论的标准化即得到定理2。定理3设总体X服从正态分布2,N，则统计量niiXX12221服从自由度为n的2分布，即nXXnii21222~1证注意到2,~NXi，则niNXi,,2,1,1,0~又上述统计量相互独立，并按照2分布的定义可得结果。定理4设总体X服从正态分布2,N，则（1）样本均值X与样本方差2S相互独立；4（2）统计量2221Sn服从自由度为1n的2分布，即1~12222nSn证明略。定理5设总体X服从正态分布2,N，则统计量nSXt服从自由度为1n的t分布，即1~ntnSXt证由定理2知，统计量1,0~NnXu又由定理4知，统计量1~12222nSn因为X与2S相互独立，所以u与2也相互独立，于是根据t分布的定义得结论。2.两个正态总体的统计量的分布从总体X中抽取容量为xn的样本xnXXX,,,21，从总体Y中抽取容量为yn的样本ynYYY,,,21。假设所有的抽样都是相互独立的，由此得到的样本xiniX,,2,1与yjnjY,,2,1都是相互独立的随机变量。我们把取自两个总体的样本均值分别记作yxnjjyniixYnYXnX111,1样本方差分别记作yxnjjyyniixxYYnSXXnS12212211,11定理6设总体X服从正态分布2,xxN，总体Y服从正态分布2,yyN，则统计量5yyxxyxnnYXU22服从标准正态分布1,0N，即1,0~22NnnYXUyyxxyx证由于独立的正态统计量的线性组合服从正态分布，所以yyxxyxnnNYX22,~标准化即得结论。当yx时，我们有推论设总体X服从正态分布2,xN，总体Y服从正态分布2,yN，则统计量1,0~11NnnYXUyxyx定理7设总体X服从正态分布2,xN，总体Y服从正态分布2,yN，则统计量2~11yxyxyxnntnnSYXT其中21122yxyyxxnnSnSnS证由定理6的推论知，统计量1,0~11NnnYXUyxyx又由定理4知61~1222xxxnSn1~1222yyynSn因为2xS与2yS相互独立，由2分布的可加性知2~211222yxyxyyxxnnnnSnSnV因为U和V相互独立，所以由t分布的定义得结论。定理8设总体X服从正态分布2,xxN，总体Y服从正态分布2,yyN，则统计量212212yynjjxxniinYYnXXFyx服从自由度为yxnn,的F分布，即yxyynjjxxniinnFnYYnXXFyx,~212212证由定理3知xnixixxnXx21222~1ynjyjyynXy21222~1因为2x与2y相互独立，结合F分布的定义得结论。定理9设总体X服从正态分布2,xxN，总体Y服从正态分布2,yyN，则统计量2222yyxxSSF服从自由度为1,1yxnn的F分布，即1,1~2222yxyyxxnnFSSF证由定理4知71~12222xxxxxnSn1~12222yyyyynSn因为2xS与2yS相互独立，所以2x与2y独立，结合F分布的定义得结论。