高数笔记（全）

1第一章函数、极限和连续§1.1函数一、主要内容㈠函数的概念1.函数的定义:y=f(x),x∈D定义域:D(f),值域:Z(f).2.分段函数:21)()(DxxgDxxfy3.隐函数:F(x,y)=04.反函数:y=f(x)→x=φ(y)=f-1(y)y=f-1(x)定理:如果函数:y=f(x),D(f)=X,Z(f)=Y是严格单调增加(或减少)的；则它必定存在反函数：y=f-1(x),D(f-1)=Y,Z(f-1)=X且也是严格单调增加(或减少)的。㈡函数的几何特性1.函数的单调性:y=f(x),x∈D,x1、x2∈D当x1＜x2时,若f(x1)≤f(x2),则称f(x)在D内单调增加()；若f(x1)≥f(x2),则称f(x)在D内单调减少()；若f(x1)＜f(x2),则称f(x)在D内严格单调增加()；若f(x1)＞f(x2),则称f(x)在D内严格单调减少()。2.函数的奇偶性：D(f)关于原点对称偶函数：f(-x)=f(x)奇函数：f(-x)=-f(x)3.函数的周期性：周期函数：f(x+T)=f(x),x∈(-∞，+∞)周期：T——最小的正数4.函数的有界性：|f(x)|≤M,x∈(a,b)㈢基本初等函数1.常数函数：y=c，(c为常数)2.幂函数：y=xn,(n为实数)3.指数函数：y=ax,(a＞0、a≠1)4.对数函数：y=logax,(a＞0、a≠1)5.三角函数：y=sinx,y=conxy=tanx,y=cotxy=secx,y=cscx26.反三角函数：y=arcsinx,y=arcconxy=arctanx,y=arccotx㈣复合函数和初等函数1.复合函数：y=f(u),u=φ(x)y=f[φ(x)],x∈X2.初等函数:由基本初等函数经过有限次的四则运算（加、减、乘、除）和复合所构成的，并且能用一个数学式子表示的函数§1.2极限一、主要内容㈠极限的概念1.数列的极限:Aynnlim称数列ny以常数A为极限;或称数列ny收敛于A.定理:若ny的极限存在ny必定有界.2.函数的极限：⑴当x时，)(xf的极限：AxfAxfAxfxxx)(lim)(lim)(lim⑵当0xx时，)(xf的极限：Axfxx)(lim0左极限：Axfxx)(lim03右极限：Axfxx)(lim0⑶函数极限存的充要条件：定理：AxfxfAxfxxxxxx)(lim)(lim)(lim000㈡无穷大量和无穷小量1．无穷大量：)(limxf称在该变化过程中)(xf为无穷大量。X再某个变化过程是指：,,,xxx000,,xxxxxx2．无穷小量：0)(limxf称在该变化过程中)(xf为无穷小量。3．无穷大量与无穷小量的关系：定理：)0)((,)(1lim0)(limxfxfxf4．无穷小量的比较：0lim,0lim⑴若0lim,则称β是比α较高阶的无穷小量；⑵若clim（c为常数），则称β与α同阶的无穷小量；⑶若1lim，则称β与α是等价的无穷小量，记作：β～α；4⑷若lim,则称β是比α较低阶的无穷小量。定理：若：；，2211~~则：2121limlim㈢两面夹定理1．数列极限存在的判定准则：设：nnnzxy（n=1、2、3…）且：azynnnnlimlim则：axnnlim2．函数极限存在的判定准则：设：对于点x0的某个邻域内的一切点（点x0除外）有：)()()(xhxfxg且：Axhxgxxxx)(lim)(lim00则：Axfxx)(lim0㈣极限的运算规则若：BxvAxu)(lim,)(lim5则：①BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[②BAxvxuxvxu)(lim)(lim)]()(lim[③BAxvxuxvxu)(lim)(lim)()(lim)0)((limxv推论：①)]()()(lim[21xuxuxun)(lim)(lim)(lim21xuxuxun②)(lim)](lim[xucxuc③nnxuxu)]([lim)](lim[㈤两个重要极限1．1sinlim0xxx或1)()(sinlim0)(xxx2．exxx)11(limexxx10)1(lim§1.3连续一、主要内容㈠函数的连续性1.函数在0x处连续：)(xf在0x的邻域内有定义，1o0)]()([limlim0000xfxxfyxx2o)()(lim00xfxfxx6左连续：)()(lim00xfxfxx右连续：)()(lim00xfxfxx2.函数在0x处连续的必要条件：定理：)(xf在0x处连续)(xf在0x处极限存在3.函数在0x处连续的充要条件：定理：)()(lim)(lim)()(lim00000xfxfxfxfxfxxxxxx4.函数在ba,上连续：)(xf在ba,上每一点都连续。在端点a和b连续是指：)()(limafxfax左端点右连续；)()(limbfxfbx右端点左连续。a+0b-x5.函数的间断点：若)(xf在0x处不连续，则0x为)(xf的间断点。间断点有三种情况：1o)(xf在0x处无定义；2o)(lim0xfxx不存在；73o)(xf在0x处有定义，且)(lim0xfxx存在，但)()(lim00xfxfxx。两类间断点的判断：1o第一类间断点：特点：)(lim0xfxx和)(lim0xfxx都存在。可去间断点：)(lim0xfxx存在，但)()(lim00xfxfxx，或)(xf在0x处无定义。2o第二类间断点：特点：)(lim0xfxx和)(lim0xfxx至少有一个为∞，或)(lim0xfxx振荡不存在。无穷间断点：)(lim0xfxx和)(lim0xfxx至少有一个为∞㈡函数在0x处连续的性质1.连续函数的四则运算：设)()(lim00xfxfxx，)()(lim00xgxgxx1o)()()]()([lim000xgxfxgxfxx82o)()()]()([lim000xgxfxgxfxx3o)()()()(lim000xgxfxgxfxx0)(lim0xgxx2.复合函数的连续性：)]([),(),(xfyxuufy)]([)(lim),()(lim0)(000xfufxxxuxx则：)]([)](lim[)]([lim000xfxfxfxxxx3.反函数的连续性：)(),(),(001xfyxfxxfy)()(lim)()(lim011000yfyfxfxfyyxx㈢函数在],[ba上连续的性质1.最大值与最小值定理：)(xf在],[ba上连续)(xf在],[ba上一定存在最大值与最小值。yy+MMf(x)f(x)0abxm-M0ab9x2.有界定理：)(xf在],[ba上连续)(xf在],[ba上一定有界。3.介值定理：)(xf在],[ba上连续在),(ba内至少存在一点，使得：cf)(，其中：McmyyMf(x)Cf(x)0aξbxm0aξ1ξ2bx推论：)(xf在],[ba上连续，且)(af与)(bf异号在),(ba内至少存在一点，使得：0)(f。4.初等函数的连续性：初等函数在其定域区间内都是连续的。第二章一元函数微分学§2.1导数与微分一、主要内容㈠导数的概念101．导数：)(xfy在0x的某个邻域内有定义，xxfxxfxyxx)()(limlim000000)()(lim0xxxfxfxx00)(0xxxxdxdyxfy2．左导数：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx右导数：000)()(lim)(0xxxfxfxfxx定理：)(xf在0x的左（或右）邻域上连续在其内可导，且极限存在；则：)(lim)(00xfxfxx（或：)(lim)(00xfxfxx）3.函数可导的必要条件：定理：)(xf在0x处可导)(xf在0x处连续4.函数可导的充要条件：11定理：)(00xfyxx存在)()(00xfxf，且存在。5.导函数：),(xfy),(bax)(xf在),(ba内处处可导。y)(0xf)(xf6.导数的几何性质：y)(0xf是曲线)(xfy上点x00,yxM处切线的斜率。ox0x㈡求导法则1.基本求导公式：2.导数的四则运算：1ovuvu)（2ovuvuvu)（3o2vvuvuvu)0(v3.复合函数的导数：)]([),(),(xfyxuufydxdududydxdy，或)()]([})]([{xxfxf☆注意})]([{xf与)]([xf的区别：})]([{xf表示复合函数对自变量x求导；12)]([xf表示复合函数对中间变量)(x求导。4.高阶导数：)(),(),()3(xfxfxf或)4,3,2(,])([)()1()(nxfxfnn函数的n阶导数等于其n-1导数的导数。㈢微分的概念1.微分：)(xf在x的某个邻域内有定义，)()(xoxxAy其中：)(xA与x无关，)(xo是比x较高阶的无穷小量，即：0)(lim0xxox则称)(xfy在x处可微，记作：xxAdy)(dxxAdy)()0(x2.导数与微分的等价关系：定理：)(xf在x处可微)(xf在x处可导，且：)()(xAxf3.微分形式不变性：duufdy)(不论u是自变量，还是中间变量，函数的微分dy都具有相同的形式。13§2.2中值定理及导数的应用一、主要内容㈠中值定理1.罗尔定理:)(xf满足条件:.0)(,),().()(3;),(2],[10.0.0.fbabfafbaba使得存在一点内至少在内可导在上连续；在y)(f)(f)(xf)(xfaoξbxaoξbx2.拉格朗日定理：)(xf满足条件:abafbffbababa)()()(),(),(2],[100，使得：在一点内至少存在内可导；在上连续，在㈡罗必塔法则：（,00型未定式）定理：)(xf和)(xg满足条件：141o）或）或(0)(lim(0)(limxgxfaxax；2o在点a的某个邻域内可导，且0)(xg；3o）（或,)()(lim)(Axgxfax则：）（或,)()(lim)()(lim)()(Axgxfxgxfaxax☆注意：1o法则的意义：把函数之比的极限化成了它们导数之比的极限。2o若不满足法则的条件，不能使用法则。即不是00型或型时，不可求导。3o应用法则时，要分别对分子、分母求导，而不是对整个分式求导。4o若)(xf和)(xg还满足法则的条件，可以继续使用法则，即：）（或Axgxfxgxfxgxfaxaxax)()(lim)()(lim)()(lim)()()(5o若函数是,0型可采用代数变形，化成00或型；若是00,0,1型可采用对数或指数变形，化成00或型。㈢导数的应用151．切线方程和法线方程：设：),(),(00yxMxfy切线方程：))((000xxxfyy法线方程：)0)((),()(10000xfxxxfyy2．曲线的单