新经济地理学中心外围模型推导(二)

新经济地理学“中心-外围”模型详细推导过程（二）——运输成本和规模效应的本质张剑锋一产业内部的贸易假设有两个国家，其生产技术、消费者偏好都相同（单要素模型不存在要素禀赋差异），传统理论认为将不存在贸易。但是在克鲁格曼的新经济地理学中，它们之间将会出现贸易。克鲁格曼依然假设消费者的效用函数相同，对所有产品的消费都是对称的，即：0,0,)(v1vvcUnii其中，ic是第i种产品的消费量。假设只使用劳动投入要素，劳动量l为：0，,xlii（1.1）其中，ix是产品i的产量，是固定成本，是边际成本（平均成本递减，边际成本不变）。假设工人即为消费者，则iicxL（1.2）充分就业的情况下有总劳动量：n1in1iii）x（lL根据效用最大化条件，构造拉格朗日函数Lagrangian（为了和L区分）：]xp[)(vagn1iii1IcLnii则最优组合必须满足：iip)(vxagicL0即)x(vpi1-iL根据利润函数：wxxpiiii)(（1.3）因为函数是对称的，即所有产品的产量和价格都相等，所以可以将下标去掉，即iixxpp均衡时厂商的利润为零，即：Lcxwp（1.4）由于每种产品使用的劳动量都为l，所以产品种类为：LcLxLLnl（1.5）若此时劳动数量增加，即产品产量cxL增加；产品种类LcLn也随之增加；产品相对价格Lcwp下降；实际工资wp会上升；消费者福利随之上升。假设两国之间在没有运输成本的情况下进行贸易，对称性将会保证两国的工资率相同，两国生产的产品价格也相同。此时，由于消费者对多样性的偏好，将会产生贸易动力，最终出现国际贸易。由以上推导可知，贸易能够增加总的产品种类和产量，使每个国家都能从贸易中获益，并且提高福利水平。也就是说在其他条件都相同的条件下，内部规模经济是完全可以引致国际贸易的。然后考虑要素流动的影响。从推导过程中我们可以看出，劳动数量多的国家，实际工资也会比较高。所以当贸易被限制时，劳动力将向劳动力数量多的国家流动，这会进一步提高实际工资，吸引更多劳动力的流入。均衡时所有的劳动力都聚集在某一个地区，在多地区模型中也是如此。这也可以解释城市扩张的一个原因，即城市提供了更加多样的商品。二消费者行为当工业制成品数量非常大时，我们可以把整个生产空间看成是连续的，也就可以避开产品数量必须是整数的限制。我们假设只存在农业和制造业两个部门，制造业部门是不完全竞争的，而农业部门是完全竞争的，且生产单一产品。对于这两类产品，消费者都具有相同的偏好。用柯布道格拉斯函数表示效用为：-1AMUM代表制造业部门（Manufacture）消费量的指数；A是农业部门（Agriculture）的消费量；是制造业部门产品的支出份额。对于上一阶段推导介绍过的CES模型，连续时的效用函数形式为：10]di)i(m[Mn，10（2.1）其中，)i(m是产品的消费量，n是产品种类，替代弹性11。越小，商品差异化就越大，消费不同种类商品的愿望就越强。设Ap是农产品的价格，p(i)是每种产品的价格，则预算约束为：nA0Im(i)di)i(pp（2.2）根据效用最大化条件，我们先使M成本最低，即在约束条件Mn10]di)i(m[（2.3）求：n0m(i)di)i(pmin按照需求函数求极值的常用方法，构造拉格朗日函数L：]di)i(m)i(p[di])i(m[010ILnn所以一阶情况有：)i(p)i(mdi])i(m[1)i(m1110nL0即)i(p)i(mdi])i(m[1110n101di])i(m[)i(p)i(mn所以有11)j(p)i(p)j(m)i(m上式表示边际替代率等于价格比率，即：p(j)p(i)m(j)m(i)1-1-可得11]p(i)p(j))[j(mm(i)代入（2.3）式可得：Mn10-1di]p(i)p(j)[)j(mMn101-11di]p(i)[p(j))j(m可得：Mn10111di]p(i)[p(j))j(m（2.4）上式表示第j种产品的补偿需求函数（CDF）。因为第j种产品的支出是p(j))j(m，所以用（2.4）式求定积分可得最低成本：]djp(j)[]dip(i)[m(j)dj)j(p011-010nnnMn011Mdi]p(i)[（2.5）我们可以把（2.5）式右边和M相乘的那项叫做价格指数G，因此价格指数和产量组合相乘就等于支出，再用替代弹性表示，可得：nnG0-11-1011di]p(i)[di]p(i)[（2.6）价格指数G是指购买一单位的产品组合的最小成本。将（2.6）式代入（2.4）可以将)j(m简写为：MG1-1p(j))j(mMGp(j)（2.7）接下来考虑农业部门。对于农产品A，我们需要在约束IGMAAp下，求-1maxAMU因为价格指数G是M最低成本时的价格指数，即使子效用函数M最大，所以有GMIApAI)-1(代入（2.7）式可得]n,0[j,p(j))j(m)1(-GI（2.8）由上式可知，若G为常数，则每种制成品)j(m的需求价格弹性也为常数。D-S垄断竞争模型的核心之处就在于将产品的种类n设为一个内生变量，也就是说产品种类的变化带给消费者的影响。当n增加时，因为消费者偏好多样性的商品，所以价格指数G随之下降，相应的成本也随之降低。假设所有产品的价格都是Mp，则价格指数可简写为：-110-11-1npdi]p(i)[MnG（2.9）由上式可知，越小（即产品差异性越大），产品种类n的增加使价格指数G下降的幅度越大。由（2.8）式可知，改变（产品的种类）会影响单一产品)j(m的需求曲线变化，因为n增加会引起G下降，即使每种产品的需求曲线都下移。所以我们可以得出结论：随着产品种类的增加，市场竞争更加激烈，使得现有产品的需求曲线下移，并使这些产品的销售量下降。三冰山运输传统的区位理论中，运输成本往往通过“运费率X距离”的形式来表示，而克鲁格曼避免为了一个单独的运输业建模，采用了萨缪尔森引进的“冰山形式”，即运输导致成本的增加等于其价值的损失，而运费仅仅是运输成本的一部分。假设每种产品只在一个地区生产，所有地区生产的产品都是对称的，有相同的生产技术和价格。设rn是地区r生产的产品种类数，Mrp是各类产品的出厂价（F.O.B）。如果把一单位产品从r地区运到s地区，那么只有其中一部分ArsT1（MrsT1）能够到达。为了在运输途中的损耗，所以要使一单位的产品运送到目的地s，在生产地r就必须装运ArsT（MrsT）单位的产品。所以，产品在目的地s的交货价（C.I.F）Mrsp为：MrsMrMrsTpp（3.1）我们依然把s地区的价格指数设为sG，根据（2.6）式价格指数可写为：RsGR,...,2,1,]）Tp（n[-111r-1MrsMrrs（3.2）根据（2.8）式可得目的地s对生产地r的一种产品的需求量为：1-s-MrsMrs)T(pGI（3.3）其中，sI是地区s的收入，因此在地区r装运的产品数量必须是它的MrsT倍。将这种产品在各个地区的消费量相加，可得地区r的总销售量：Mrs1s1-s-MrsMrsrT)T(pqRMGI（3.4）由上式可知，销售量取决于各地区收入、价格指数、运输成本和出厂价。因为所有地区的交货价与出厂价都是成比例的，而且消费者对每种产品都有一个相同的需求价格弹性，所以每种产品对于出厂价的总需求价格弹性也是，与消费者的空间分布无关。四厂商行为推导完消费者的行为后，我们继续考虑厂商的行为。假设农产品是完全竞争的，而制造业产品的生产存在规模经济，且所有地区制成品的生产技术都相同。设固定投入为F，边际投入为Mc，暂且假设只有劳动一种投入要素。则在某一个地区的生产数量为Mq的任何产品需要的劳动投入为Ml，即：MMMqclF（4.1）因为消费者对于差异性产品的偏好，没有一家厂商会选择和别的厂商生产一样的产品，也就是说每种产品只在一个地区由一个专业化的厂商生产，所以厂商的数目与差异性产品的种类数是相同的。设地区r的一个厂商支付给工人的工资率是Mrw，产品的出厂价为Mrp，则利润为：）qc（w-qpMrMMrMrMrrF（4.2）其中，Mrq由（3.4）式可得，在价格指数sG给定时，需求价格弹性即为。对于垄断厂商，根据利润最大化的原则，在一阶情况下有：QCMC）（QPQQP）（/11QPPQP1-1）（QP所以最优定价为：1-1/）（）（QMCQP因为11，即对于所有地区r生产的产品种类，有：MrMMrwcp或MrMMrwc）1-1（p（4.3）我们假设厂商盈利或亏损时（未达到均衡）可以自由进入或者退出，则地区r的厂商利润为：）qc（w-qpMrMMrMrMrrFFFMrMrMMrMrMrMMrMrMrw-）1-1（qcww-qcw-qp（4.4）所以均衡时，任何厂商利润均为零，则由上式可得均衡产出Mreq为：-1cqMMreF）1-（cMF（4.5）相应的均衡劳动投入量为：FMreMMeqcFl（4.6）（4.3）和（4.5）式是非常重要的分析结果。这表明：市场规模既不影响边际成本的加成定价，也不影响单一产品的生产规模，所有的规模效应都是通过产品种类的变化发生作用的。这个结论有些违背我们的传统观点。我们一般认为，市场越大，竞争也就越激烈，而经济体利用市场优势的途径之一就是扩大生产规模。然而克鲁格曼通过D-S垄断竞争模型表明，所有的市场规模效应同时通过产品种类的变化起作用的。这个模型的假设前提是价格指数是不变的常数，不过实际上厂商都会意识到自己的选择会影响到价格指数，这会使得厂商降低产量，提高边际价格成本。这种情况下，市场规模的扩大会促进竞争，这会引起更多的厂商进入，从而降低了边际价格成本，使得厂商必须以更大的规模（更低的平均成本）进行生产以保持收支相抵。在第二节消费者行为中我们看到，产品的种类效应在市场规模与价格指数之间建立起一种负向的关系，而促进竞争的效应又会加强这种负向关系。由（3.2）式可知，厂商均衡时利润为零，的产量为Mreq，即1-s1s-1Mrs-MrsMre)(T)(pqGIR对上式变形可知，自由厂商的定价必须满足1-s1s-1MrssMrsMr)(Tq)(pGIR时，才能达到收支平衡。将（4.3）式代入上式可得：11-s1s-1MrssMrsMr])(Tq)[1(wGIcRM（4.7）（4.7）式称为工资方程，在之后的模型中会经常用到。只要给出所有地区的收入水平、价格指数和运输成本，就能算出各个地区厂商收支相抵时的工资水平。工资方程有2个很重要的前提：1我们假设厂商总是不赚钱的，因此方程中Mrw表示的是任何地区制造业现行的工资。长期来看，这个工资水平就是劳动力的供给价格，短期来看可能不相等，但是只要两者不一样就会产生动态调整，也就是说我们一直假设厂商的自由进出都是瞬间完成的，所以利润总是零，但是劳动力在部门和区域之间的分配却是缓慢的，这在之后会建立模型。2工资方程也适用于不存在制造业的地区，这时它表示的是这些地区潜在的进入厂商愿意支付的最高工资。推导到现在我们还未对计量单位标准化。我们选择的单位必须使边际劳动满足：1-cM这样（4.3）式就变为：MrMrwp同时，由（4.5）（4.6）式可知，产量变为：MreMrelq同时