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1第3课时圆周运动考纲解读1.掌握描述圆周运动的物理量及其之间的关系.2.理解向心力公式并能应用；了解物体做离心运动的条件．1．[匀速圆周运动的条件和性质]质点做匀速圆周运动时，下列说法正确的是()A．速度的大小和方向都改变B．匀速圆周运动是匀变速曲线运动C．当物体所受合力全部用来提供向心力时，物体做匀速圆周运动D．向心加速度大小不变，方向时刻改变答案CD解析匀速圆周运动的速度的大小不变，方向时刻变化，A错；它的加速度大小不变，但方向时刻改变，不是匀变速曲线运动，B错，D对；由匀速圆周运动的条件可知，C对．2．[线速度和角速度的关系]甲沿着半径为R的圆周跑道匀速跑步，乙沿着半径为2R的圆周跑道匀速跑步，在相同的时间内，甲、乙各自跑了一圈，他们的角速度和线速度的大小分别为ω1、ω2和v1、v2，则()A．ω1ω2，v1v2B．ω1ω2，v1v2C．ω1＝ω2，v1v2D．ω1＝ω2，v1＝v2答案C解析由于甲、乙在相同时间内各自跑了一圈，v1＝2πRt，v2＝4πRt，v1v2，由v＝rω，得ω＝vr，ω1＝v1R＝2πt，ω2＝2πt，ω1＝ω2，故C正确．3．[向心力来源的分析]如图1所示，洗衣机脱水筒在转动时，衣服贴靠在匀速转动的圆筒内壁上而不掉下来，则衣服()A．受到重力、弹力、静摩擦力和离心力四个力的作用B．所需的向心力由重力提供C．所需的向心力由弹力提供图12D．转速越快，弹力越大，摩擦力也越大答案C解析衣服只受重力、弹力和静摩擦力三个力作用，A错；衣服做圆周运动的向心力为它所受到的合力，由于重力与静摩擦力平衡，故弹力提供向心力，即FN＝mrω2，转速越大，FN越大．C对，B、D错．4．[对离心现象的理解]下列关于离心现象的说法正确的是()A．当物体所受的离心力大于向心力时产生离心现象B．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做背离圆心的圆周运动C．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将沿切线做直线运动D．做匀速圆周运动的物体，当它所受的一切力都突然消失后，物体将做曲线运动答案C解析物体只要受到力，必有施力物体，但“离心力”是没有施力物体的，故所谓的离心力是不存在的，只要向心力不足，物体就做离心运动，故A选项错；做匀速圆周运动的物体，当所受的一切力突然消失后，物体做匀速直线运动，故B、D选项错，C选项对．考点梳理一、描述圆周运动的物理量1．线速度：描述物体圆周运动快慢的物理量．v＝ΔsΔt＝2πrT.2．角速度：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．ω＝ΔθΔt＝2πT.3．周期和频率：描述物体绕圆心转动快慢的物理量．T＝2πrv，T＝1f.4．向心加速度：描述速度方向变化快慢的物理量．an＝rω2＝v2r＝ωv＝4π2T2r.5．向心力：作用效果产生向心加速度，Fn＝man.6．相互关系：(1)v＝ωr＝2πTr＝2πrf.(2)a＝v2r＝rω2＝ωv＝4π2T2r＝4π2f2r.3(3)Fn＝man＝mv2r＝mω2r＝mr4π2T2＝mr4π2f2.二、匀速圆周运动和非匀速圆周运动1．匀速圆周运动(1)定义：线速度大小不变的圆周运动.(2)性质：向心加速度大小不变，方向总是指向圆心的变加速曲线运动．(3)质点做匀速圆周运动的条件合力大小不变，方向始终与速度方向垂直且指向圆心．2．非匀速圆周运动(1)定义：线速度大小、方向均发生变化的圆周运动．(2)合力的作用①合力沿速度方向的分量Ft产生切向加速度，Ft＝mat，它只改变速度的方向．②合力沿半径方向的分量Fn产生向心加速度，Fn＝man，它只改变速度的大小．三、离心运动1．本质：做圆周运动的物体，由于本身的惯性，总有沿着圆周切线方向飞出去的倾向．2．受力特点(如图2所示)(1)当F＝mrω2时，物体做匀速圆周运动；(2)当F＝0时，物体沿切线方向飞出；(3)当Fmrω2时，物体逐渐远离圆心，F为实际提供的向心力．(4)当Fmrω2时，物体逐渐向圆心靠近，做向心运动．图25．[轻杆模型问题]如图3所示，长为r的细杆一端固定一个质量为m的小球，使之绕另一端O在竖直面内做圆周运动，小球运动到最高点时的速度v＝gr/2，在这点时()A．小球对杆的拉力是mg2图3B．小球对杆的压力是mg2C．小球对杆的拉力是32mgD．小球对杆的压力是mg答案B解析设在最高点，小球受杆的支持力FN，方向向上，则由牛顿第二定律得：mg－FN＝mv2r，得出FN＝12mg，故杆对小球的支持力为12mg，由牛顿第三定律知，小球对杆的压4力为12mg，B正确．6．[轻绳模型问题]如图4所示，半径为R的光滑圆形轨道竖直固定放置，小球m在圆形轨道内侧做圆周运动，对于半径R不同的圆形轨道，小球m通过轨道最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力．下列说法中正确的是()A．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越大图4B．半径R越大，小球通过轨道最高点时的速度越小C．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越大D．半径R越大，小球通过轨道最低点时的角速度越小答案AD解析小球通过最高点时都恰好与轨道间没有相互作用力，则在最高点mg＝mv20R，即v0＝gR，选项A正确而B错误；由动能定理得，小球在最低点的速度为v＝5gR，则最低点时的角速度ω＝vR＝5gR，选项D正确而C错误．方法提炼1．轻绳模型：在最高点的临界状态为只受重力，即mg＝mv2r，则v＝gr，vgr时，物体不能到达最高点．2．轻杆模型：由于杆和管能对小球产生向上的支持力，所以小球能在竖直平面内做圆周运动的条件是：在最高点的速度v≥0.考点一圆周运动中的运动学分析1．对公式v＝ωr的理解当r一定时，v与ω成正比．当ω一定时，v与r成正比．当v一定时，ω与r成反比．2．对a＝v2r＝ω2r＝ωv的理解在v一定时，a与r成反比；在ω一定时，a与r成正比．特别提醒在讨论v、ω、r之间的关系时，应运用控制变量法．5例1如图5所示是一个玩具陀螺，a、b和c是陀螺表面上的三个点．当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，下列表述正确的是()A．a、b和c三点的线速度大小相等B．b、c两点的线速度始终相同C．b、c两点的角速度比a点的大图5D．b、c两点的加速度比a点的大解析当陀螺绕垂直于地面的轴线以角速度ω稳定旋转时，a、b和c三点的角速度相同，a半径小，线速度要比b、c的小，A、C错；b、c两点的线速度大小始终相同，但方向不相同，B错；由a＝ω2r可得b、c两点的加速度比a点的大，D对．答案D1.高中阶段所接触的传动主要有：(1)皮带传动(线速度大小相等)；(2)同轴传动(角速度相等)；(3)齿轮传动(线速度大小相等)；(4)摩擦传动(线速度大小相等)．2．传动装置的特点：(1)同轴传动：固定在一起共轴转动的物体上各点角速度相同；(2)皮带传动、齿轮传动和摩擦传动：皮带(或齿轮)传动和不打滑的摩擦传动的两轮边缘上各点线速度大小相等．突破训练1如图6所示为一皮带传动装置，右轮的半径为r，A是它边缘上的一点，左侧是一轮轴，大轮的半径为4r，小轮的半径为2r，B点在小轮上，到小轮中心的距离为r，C点和D点分别位于小轮和大轮的边缘上．若在转动过程中，皮带不打滑，则()图6A．A点与B点的线速度大小相等B．A点与B点的角速度大小相等C．A点与C点的线速度大小相等D．A点与D点的向心加速度大小相等答案CD考点二圆周运动中的动力学分析1．向心力的来源向心力是按力的作用效果命名的，可以是重力、弹力、摩擦力等各种力，也可以是几个力的合力或某个力的分力，因此在受力分析中要避免再另外添加一个向心力．2．向心力的确定6(1)确定圆周运动的轨道所在的平面，确定圆心的位置．(2)分析物体的受力情况，找出所有的力沿半径方向指向圆心的合力就是向心力．例2在一次抗洪救灾工作中，一架直升机A用长H＝50m的悬索(重力可忽略不计)系住一质量m＝50kg的被困人员B，直升机A和被困人员B以v0＝10m/s的速度一起沿水平方向匀速运动，如图7甲所示．某时刻开始收悬索将人吊起，在5s时间内，A、B之间的竖直距离以l＝50－t2(单位：m)的规律变化，取g＝10m/s2.图7(1)求这段时间内悬索对被困人员B的拉力大小；(2)求在5s末被困人员B的速度大小及位移大小；(3)直升机在t＝5s时停止收悬索，但发现仍然未脱离洪水围困区，为将被困人员B尽快运送到安全处，飞机在空中旋转后静止在空中寻找最近的安全目标，致使被困人员B在空中做圆周运动，如图乙所示．此时悬索与竖直方向成37°角，不计空气阻力，求被困人员B做圆周运动的线速度以及悬索对被困人员B的拉力．(sin37°＝0.6，cos37°＝0.8)审题指导解答本题时应注意以下两点：(1)根据A、B间距l的表达式分析被困人员的运动规律；(2)确定被困人员做圆周运动的圆心、半径及向心力．解析(1)被困人员在水平方向上做匀速直线运动，在竖直方向上被困人员的位移y＝H－l＝50－(50－t2)＝t2，由此可知，被困人员在竖直方向上做初速度为零、加速度a＝2m/s2的匀加速直线运动由牛顿第二定律可得F－mg＝ma解得悬索的拉力F＝m(g＋a)＝600N.(2)被困人员5s末在竖直方向上的速度为vy＝at＝10m/s合速度v＝v20＋v2y＝102m/s竖直方向的位移y＝12at2＝25m水平方向的位移x＝v0t＝50m合位移s＝x2＋y2＝255m.(3)t＝5s时悬索的长度l′＝50－y＝25m，旋转半径r＝l′sin37°7由mgtan37°＝mv′2r解得v′＝1522m/s此时被困人员B的受力情况如图所示，由图可知FTcos37°＝mg解得FT＝mgcos37°＝625N.答案(1)600N(2)102m/s255m(3)1522m/s625N解决圆周运动问题的主要步骤1.审清题意，确定研究对象；2．分析物体的运动情况，即物体的线速度、角速度、周期、轨道平面、圆心、半径等；3．分析物体的受力情况，画出受力示意图，确定向心力的来源；4．根据牛顿运动定律及向心力公式列方程．突破训练2如图8所示，一个竖直放置的圆锥筒可绕其中心轴OO′转动，筒内壁粗糙，筒口半径和筒高分别为R和H，筒内壁A点的高度为筒高的一半，内壁上有一质量为m的小物块，求：(1)当筒不转动时，物块静止在筒壁A点受到的摩擦力和支持力的大小；图8(2)当物块在A点随筒做匀速转动，且其所受到的摩擦力为零时，筒转动的角速度．答案(1)mgHR2＋H2mgRR2＋H2(2)2gHR解析(1)物块静止时，对物块进行受力分析如图所示，设筒壁与水平面的夹角为θ.由平衡条件有Ff＝mgsinθFN＝mgcosθ由图中几何关系有cosθ＝RR2＋H2，sinθ＝HR2＋H2故有Ff＝mgHR2＋H2，FN＝mgRR2＋H28(2)分析此时物块受力如图所示，由牛顿第二定律有mgtanθ＝mrω2.其中tanθ＝HR，r＝R2.可得ω＝2gHR.19．用极限法分析圆周运动的临界问题1．有些题目中有“刚好”、“恰好”、“正好”等字眼，明显表明题述的过程中存在着临界点．2．若题目中有“取值范围”、“多长时间”、“多大距离”等词语，表明题述的过程中存在着“起止点”，而这些起止点往往就是临界状态．3．若题目中有“最大”、“最小”、“至多”、“至少”等字眼，表明题述的过程中存在着极值，这些极值点也往往是临界状态．例3如图9所示，在光滑的圆锥体顶端用长为l的细线悬挂一质量为m的小球．圆锥体固定在水平面上不动，其轴线沿竖直方向，母线与轴线之间的夹角为30˚.小球以速度v绕圆锥体轴线在水平面内做匀速圆周运动．图9(1)当v1＝gl6时，求线对小球的拉力；(2)当v2＝3gl2时，求线对小球的拉力．解析如图甲所示，小球在锥面上运动，当支持力FN＝0时，小球只受重力mg和线的拉力FT的作用，其合力F应沿水平面指向轴线，由几何关系知F＝mgtan30°①又F＝mv20r＝mv20lsin30°②由①②两式解得v0＝3gl6(1)因为v1v0，所以小球与锥面接触并产生