大一高数基础练习题

第1页共18页《高等数学》（理工类）1.设()yfx的定义域为(0,1]，()1lnxx，则复合函数[()]yfx的定义域为________；0ln1,[1,)xxe2.已知0x时，arctan3x与cosaxx是等价无穷小，则a______；0arctan33lim1,3xxaaxa；3．函数6cos2sinxxy，则yd________；21(2cos2sin2)xxdxx；4．函数xxey的拐点为____________；(2)0,2xyexx，2(2,2)e5．设函数2,2,sin)(xxaxxxf，当a=____时，)(xf在2x处连续；12；6.设()yyx是由方程20yexy所确定的隐函数，则y__；yyex7．函数xxexf111)(的跳跃间断点是______；(1)0,(1)1,ff1x；8．定积分121(1sin)xxdx＝________；120212xdx9．已知点空间三个点,)2,1,2(),1,2,2(,)1,1,1(BAM则AMB=_______；3；10．已知(2,3,1)(1,2,3)ab，则ab＝_________。(751)，，二、计算题（每小题6分，共42分）1．求极限220ln(1)1lim2sin2xxarcx。2．求极限3sin00sinlimxtxedtxx=32sin03sinlim61cosxxxex3．设2sin,xyex求.dydx。2(2sincos)xdyexxxdx第2页共18页4、设2ln1arctanxtyt求dydx以及22dydx。解21ln(1)2xt，221111dyttdxtt，22231dytdxt5．计算不定积分dxxx)ln(ln。解ln(ln)lnxdx1lnln(ln)xxdxxln(ln(ln)1)xxC6、计算不定积分213cosdxx22sec3sec1xdxx2113tan3tan43dxx13tanarctan223xC7．计算定积分dxxx220)4(11201(1)(4)(1)(4)xxdxxxdx122201(54)(54)xxdxxxdx32211554()43232xx3三、证明题（每小题8分，共16分）1、设)(xf在区间[0,3]上连续，在区间(0,3)内可导，且(0)(1)(2)3fff，(3)1f，试证必存在(0,3)使()0f。证明因为()fx在]3,0[上连续，所以)(xf在]2,0[上连续，且在]2,0[上有最大值M和最小值m。于是,)0(Mfm,)1(Mfm,)2(Mfm所以,3)2()1()0(Mfffm由介值定理知至少存在]2,0[c，使1)(cf。因为1)3()(fcf，且)(xf在]3,[c上连续，在)3,(c内可导，由罗尔定理存在(,3)(0,3)c，使()0f。2、证明不等式：当0x时，221ln(1)1xxxx。证明22()1ln(1)1fxxxxx，2()ln(1)0,0fxxxx，()(0)0fxf，则当0x时，221ln(1)1xxxx第3页共18页四、应用题（第1小题10分，第2小题12分）1．要建造一个体积为350mV的圆柱形封闭．．的容器，问怎样选择它的底半径和高，使所用的材料最省？解设圆柱体的半径为r，高250hr，表面积为S,21002Srr，210040Srr，325r，3252h表面积最小。2．求曲线axy)0(a，直线ax，ax2及x轴所围成的图形绕y轴旋转一周所得到的旋转体体积。解2222ayaVadxa《高等数学》（理工）一、选择题（每空3分，共15分）1、下列变量在给定的变化过程中为无穷小量的是（）；D；A、21()xx；B、sin(0)xxxC、23()21xxxx；D、2(0)1xxx。2、设函数22()12axxfxx在2x处连续,则a（）；A；A、41；B、0；C、21；D、1、3、设()fx在[,]ab上可导，且()0.fx若0()()xxftdt，则下列说法正确的是（）；C；A、()x在[,]ab上单调减少；B、()x在[,]ab上单调增加；C、()x在[,]ab上为凹函数；D、()x在[,]ab上为凸函数。第4页共18页4、下列不定积分计算正确的是（）；D；A、cxdxx32；B、cxdxx112；C、cxdxxcossin；D、cxdxxsincos。5、设)(xf在],[ba上连续，则下列论断不正确的是（）。A；A、()bafxdx是()fx的一个原函数；.B、()xaftdt在(,)ab内是()fx的一个原函数.；C、()bxftdt在(,)ab内是()fx的一个原函数；D、()fx在(,)ab上可积。二、填空题（每空3分，共15分）6、若lim()2,xfx则22lim(11)()xxxfx；2212lim011xxx；7、曲线12xy在点)2,3(的切线方程为：________；32(3)2yx；8、曲线sinyx在(0,2)内的拐点为；(,)e；9、当p满足条件__________时,反常积分1pdxx收敛；1p；10、微分方程43()()21yyyx的阶数是_________.2；三、计算题（共45分）11、求下列函数极限(每题6分，共12分)：(1)0111limsin36xxx(2)2203200sinsin1limlim33xxxtdtxxx12、求下列函数导数（每题6分，共12分）：(1)设函数5ln11tanxxeyx,求y；第5页共18页解tan221(1sec)(1)xyexxx(2)设函数xfy由方程054ln2xyyx所确定，求)1,5(y；解145yyyxy，将5,1xy代入得(5,1)35y13、求下列函数积分（每题7分，共21分）：(1)2211xdxxCx(2)22111111lnln(ln)22eeeexxdxxdxxxxdx2211()22ee21(1)4e(3)1152)cos1(dxxxxx120212xdx四、证明题(每小题8分，共16分）14、证明：设arctanln(1)01xxxx证明设()(1)(1ln)arctan0fxxxxx，21()(1ln)101fxxx则()(0)0fxf，arctanln(1)01xxxx15、设()fx在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(1)0f，求证在(0,1)内至少存在一点,使得3()()0ff成立.证明设3()()Fxxfx在[0,1]上连续，在(0,1)上可导，且(0)(1)0FF，y由罗尔中值定理得23()3()()0Fff，即有3()()0ff五、应用题（共9分）16、求曲线2yx与过该曲线上的点(4,2)的切线及y轴所围成的图形的面积.S解21yy，(4,2)14y，切线方程12(4)4yx，114yx第6页共18页344200226633Sxdxx高等数学（上）一、单项选择题（本题共20分，每小题2分）1、函数1ln(2)yxx的定义域为（）；D；A、0x且2x；B、B、0x；C、2x；D、2x且0x。2、xxx1sinlim（）；C；A、；B、不存在；C、1；D、0。3、按给定的x的变化趋势，下列函数为无穷小量的是（）；A；A、142xxx(x)；B、111xx(x)；C、x21(0x)；D、xxsin(0x)；4、设0,0,xxaxexfx要使xf在0x处连续，则a（）；B；A、2；B、1；C、0；D、-15、设函数()fx在(,)ab内恒有()0,()0fxfx，则曲线()yfx在(,)ab内（）A；A、单调上升，向上凸；B、单调下降，向上凸；C、单调上升，向上凹；D、单调下降，向上凹。第7页共18页6、设()(1)(2)(3)(4)fxxxxx，则方程()0fx在实数范围内根的个数是（）；B；A、4；B、3；C、2；D、1。7、设21,0(),0xxxfxex，则31(2)fxdx（）；B；2245,2(2),2xxxxfxexA、13e；B、13e；C、13；D、2e。8、设函数()fx在[,]ab上是连续的，下列等式中正确的是（）；C；A、(())()bafxdxfx；B、(())()fxdxfxC；C、(())()xafxdxfx；D；()()fxdxfx。9、当n时，21sinn与1kn为等价无穷小，则k=（）；C；A、12；B、1；C、2；D；-2。10、已知01f，12f，'13f，则10xfxdx（）B；A、1；B、2；C、3；D、4。二、填空题（本题共10分，每空2分）1、设2sin(),(0),xatfxdtaxt则()2f。22；2、极限3(21)(32)(43)lim6nnnnn；4；3、设sin2xxye，则202xdydx。1；4、函数2,321,11,xxxxxxxf的不连续点为。1x5、设1fxx，则___________fx。21x第8页共18页三、计算题1.（8分）求2lim39121xxxx2121lim239121xxxxx2、（7分）01cos2limsinxxxx22014lim22xxx3、（7分）设1sinsinlnteytxy求dydx。cossindxtdtt，cos1sinyydyetdtet，sin1sinyydyetdxet4、（8分）设cos(sin),xdyyxdx求。解设lncoslnsinyxx，两边同时求导得2coscos(sin)(sinlnsin)sinxdyxxxxdxx5、（7分）211cosdxxx111cossindCxxx6、（7分）220cosxxdx220sinxdx22200sin2sinxxxxdx2202cos4xdx2202cos4xdx2247、（8分）219dxxx令23sec,93tan,3sectanxtxtdxttdt，3costx，2113arccos339tdxCCxxx四、综合题1、（9分）求由曲线,,0xyeyex所围平面图形绕x轴旋转的旋转体的体积。1222220(1)(1)22xVeedxeee2、（9分）证明方程3cosxxx只有一个正根.证明设函数3()cosftttt在[0,],0txx连续，(0)10f，第9页共18页令2()31sin0fttt，()ft为单调递增函数，又3lim()lim(cos)xxfxxxx，由零点定理可知()ft在()ft只存在一点在[0,]x，使在()