《解析几何》(第四版)吕林根-许子道-编第2章轨迹与方程2.1平面曲线的方程

第二章轨迹与方程取定相应坐标系后平面上的点一一对应二元有序数组).,(yx空间上的点一一对应三元有序数组).,,(zyx将图形看作点的轨迹，本章将建立轨迹与方程的对应。2.1平面曲线的方程曲线上点的特性，在坐标面上，反映为曲线上点的坐标应满足的制约条件，一般用方程表示为yx与).(,0),(xfyyxF或:0),(,1.1.2与曲线有关系若之后当平面上取定了坐标系定义yxF;),()1坐标必是曲线上某一点的满足方程的yx满足这个方程，曲线上任一点的坐标),()2yx.,0),(叫这方程的图形而这条曲线叫做这条曲线的方程则yxF.也说成“点满足方程”“点的坐标满足方程”有由定义,1.1.2,0),(0),(),()111111yxFyxFyxM上在曲线点.)2条曲线两个同解方程表示同一即是在给定的坐标系要求其方程给定曲线:,.,程来表示的方用关于其坐标下，将曲线上点的特性yx圆的方程.222Ryx.),00(R半径，圆心.)()(222Rbyax.),(Rba半径，圆心注同一轨迹在不同坐标系下，一般有不同的方程.曲线的参数方程在解几中,曲线常表现为一动点运动的轨迹,但运动的规律往往不是直接反映为动点坐标间的关系yx与而是表现为动点位置随时间变化的规律.t当动点按某种规律运动时,与它对应的向径也将随时间的不同而改变,这样的向径称为变向量,记作t记作向量函数的是变数则称的一个完全确定的值量的每一个值对应于变向若变数,),()(),(trtrrbtattr.),(btatrr(2.1-3).改变的模与方向一般也随之变化时，显然当rt写成可则为设平面上取定的坐标系)31.2(,,;21eeO).()()()(21btaetyetxtr(2.1-4).,)()()(的函数分别是的坐标是，ttrtytx为曲线的则称表达式完全确定过通的某一值而这向径可由点的向径总对应着以它为终在这曲线上的任意点反过来的终点总在一条曲线上表示的向径由的一切允许值若取定义)41.2(,)41.2()(,,,;)()41.2(,)(2.1.200btatttrbtat.向量式参数方程xoyA)(arB)(br))(),((tytxP)(tr叫做一条即)41.2(t若曲线的向量式参数方程,的内变动时在)(,],[trba就描出终点))(),((tytxP).(如右图这条曲线来)(tr因曲线上点的向径所以的坐标为),(),(tytx程有曲线的坐标式参数方).(),(),(btatyytxx(2.1-5)即可得普通方程若可能中消去从)()51.2(t.0),(yxF滑动地滚动，求圆一个圆在一直线是上无例1.圆周上的一点的轨迹,,轴上滚动的圆在设半径为取直角坐标系解xaoxy这时有置的位圆心移到点到与直线的切点移滚动经一段时间的如图恰在原点开始时点,,,),(CAOPPCrAa.CPACOAOPr轴所成的有向角对于是设xCPCACP),,(为,)cos()sin()2sin()2cos(jaiaajaiCP则,)cos1()sin(jaiar(2.1-6)),2(),(CPi,,,jaACiaOAaAPOA所以又(2.1-6)).(,参数程点轨迹的向量式参数方是P数方程点的坐标式参得由点坐标设PyxP)61.2(),,().(),cos1(),sin(ayax(2.1-7)的一段的普通方程时点轨迹在得消去时取0,,0P.2arccos2yayayaax(2.1-8).)71.2(复杂得多此方程要比参数方程在一周前后点周时当圆在直线上每转动一P,全相因此曲线是由一系列完的运动情况是相同的,.),(曲线叫旋轮线或摆线如图同的拱形组成oxy熟记摆线的方程及其图形.),(,,,,2旋轮线的方程求内或内摆线的轨迹叫内旋轮线某一定点动圆周上的滚动而小圆在大圆内无滑动不动设大圆小圆半径为已知大圆半径为例Pba可得内旋轮线的向量适当选择坐标系与参数解jbbabbaibbabbar]sinsin)[(]coscos)[(式参数方程(2.1-9).)(为参数式中数方程为则内旋论线的坐标式参点的坐标为设),,(yxP).(,sinsin)(,coscos)(bbabbaybbabbax(2.1-10)可简化为时当特殊地,4,ba.sin,cos33ayax(2.1-11).sin,cos33ayax(2.1-11)).(如图线此曲线称为四尖点星形oxy熟记四尖点星形线的方程及其图形.,,,,3求线头的轨迹切线放出来的部分成为圆的使来以把线从圆周上解放出后向反方向旋转将线头拉紧上把线绕在一个固定圆周例oxyARPBr点轨迹的向量参数可得适当选择坐标系与解P式参数方程,)cos(sin)sin(cosjRiRr(2.1-12).为参数其中数方程为参则可得该轨迹的坐标式点的坐标为设),,(yxP).cos(sin),sin(cosRyRx(2.1-13)叫圆的渐伸线表示的曲线或由,)131.2()121.2(.,,廓曲线在工业上常被采用为齿这种曲线或切展线方程的互化曲线的参数方程与普通.,要工具一个重是解析几何联系实际的曲线的参数方程.,)1(t数关键在于消去参时化参数方程为普通方程②并不是所有参数方程都能化成普通方程.此时,还应注意①同一条曲线可以有多种不同形式的参数方程,如.32,31.2,1tytxtytx与.3yxt后都表示同一直线在消去不仅要选择适当时化普通方程为参数方程,)2(yx,),(而且还要给出参数与参数不是唯一的的参数.系二者之一之间的函数关.142222为参数方程化椭圆例byax代入原方程得，设解cos1ax，sinby则令，若取,sintby，，sincosbyax，，可变形为tbytaxsincos则椭圆的参数方程为参数且所以取,).(.sincosbyax，代入原方程得，若令解btxy2,202222tabbtaxx，取时因第二式已包含第一式),0,0(xt,22222tabbtax,)(222222tabtabby从而得可得椭圆另一形式的换在以上二式中以tt参数方程).(.)(,22222222222ttabtabbytabbtax.,)3(程应该等价注意两种不同形式的方必须通方程互化时在曲线的参数方程与普.,,线不完全一样因而导致两者表示的曲化能发生变往往由于变数允许值可在两者互化时,1,,122yRxxy如则参数方程为若令,cosx).20(,2cos2,cosyx.,31,11,方程不等价故参数方程与原由上式知yx参数方程则可得与原方程等价的若令,tx).(,12,2ttytx.,24tytx再如第一象限故方程表示的曲线只是因,0,0yx.的部分因表示整条抛物线后得普通方程而消去.2xyt较分析，此时应直接对两方程比此两方程不等价.可得所求普通方程.02yxy.,,,7必在同一等轴双曲线上的垂心求证点是等轴双曲线上任意三设例HPQRRQP数方程为设已知等轴双曲线的参如图证,)0(,,ttcyctxxyoPQRH为的坐标可以分别取则其上任意三点RQP,,),,(),(),,(332211tcctRtcctQtcctP则的坐标的垂心若),,(00yxHHPQR，QRPH0))(())((23102310tctctcyctctctx),(1032110ctxtttcty即①，得根据同理PRQH,),(2032120ctxtttcty②①②÷得,,20102010ctxctxctycty,20200ctxcctyy即.200cyx从而得线即已知的等轴双曲线此双曲上在双曲线的垂心即,),(200cxyyxHPQR).0(,,ttcyctx练习题).3(7;5277；P.10)3)(2(878；P