集合专题突破

-1-凤凰涅槃训练集合专题综合突破一、小题突破1．设A是整数集的一个非空子集，对于k∈A，如果k﹣1∉A且k+1∉A，那么k是A的一个“孤立元”，给定A={1，2，3，4，5}，则A的所有子集中，只有一个“孤立元”的集合共有（）A．10个B．11个C．12个D．13个2．已知集合M={（x，y）|y=f（x）}，若对于任意（x1，y1）∈M，存在（x2，y2）∈M，使得x1x2+y1y2=0成立，则称集合M是“Ω集合”．给出下列4个集合：①M={（x，y）|y=}②M={（x，y）|y=ex﹣2}③M={（x，y）|y=cosx}④M={（x，y）|y=lnx}其中所有“Ω集合”的序号是（）A．②③B．③④C．①②④D．①③④3．设a，b，c为实数，f（x）=（x+a）（x2+bx+c），g（x）=（ax+1）（cx2+bx+1）．记集合S=|x|f（x）=0，x∈R|，T=|x|g（x）=0，x∈R|，若cardS，cardT分别为集合元素S，T的元素个数，则下列结论不可能的是（）A．cardS=1，cardT=0B．cardS=1，cardT=1C．cardS=2，cardT=2D．cardS=2，cardT=34．对于函数f（x），若存在区间A=[m，n]，使得{y|y=f（x），x∈A}=A，则称函数f（x）为“和谐函数”，区间A为函数f（x）的一个“和谐区间”．给出下列4个函数：①f（x）=sin（x）；②f（x）=2x2﹣1；③f（x）=|2x﹣1|；④f（x）=ln（x+1）．其中存在唯一“和谐区间”的“和谐函数”为（）A．①②③B．②③④C．①③D．②③5．已知集合A={x∈R|＜2x＜8}，B={x∈R|﹣1＜x＜m+1}，若x∈B成立的一个充分不必要的条件是x∈A，则实数m的取值范围是（）A．m≥2B．m≤2C．m＞2D．﹣2＜m＜26．用C（A）表示非空集合A中元素的个数，定义若A={1，2}，B={x|（x2+ax）（x2+ax+2）=0}，且A*B=1，设实数a的所有可能取值构成集合S，则C（S）=（）A．4B．1C．2D．3-2-7．集合P具有性质“若x∈P，则”，就称集合P是伙伴关系的集合，集合A={﹣1，0，，，1，2，3，4}的所有非空子集中具有伙伴关系的集合的个数为（）A．3B．7C．15D．318．设S是整数集Z的非空子集，如果∀a，b∈S有ab∈S，则称S关于数的乘法是封闭的，若T，V是Z的两个不相交的非空子集，T∪V=Z，且∀a，b，c∈T，有abc∈T；∀x，y，z∈V，有xyz∈V，则下列结论恒成立的是（）A．T，V中至少有一个关于乘法是封闭的B．T，V中至多有一个关于乘法是封闭的C．T，V中有且只有一个关于乘法是封闭的D．T，V中每一个关于乘法都是封闭的9．现规定：A是一些点构成的集合，若连接点集A内任意两点的线段，当该线段上所有点仍在点集A内时，则称该点集A是连通集，下列点集是连通集的是（）A．函数y=2x图象上的点构成的集合B．旋转体表面及其内部点构成的集合C．扇形边界及其内部点构成的集合D．正四面体表面及其内部点构成的集合10．设集合S={A0，A1，A2，A3，A4}，在S上定义运算⊙为：Ai⊙Aj=Ak，其中k=|i﹣j|，i，j=0，1，2，3，4．那么满足条件（Ai⊙Aj）⊙A2=A1（Ai，Aj∈S）的有序数对（i，j）共有（）A．12个B．8个C．6个D．4个11．集合P={x|x=a+b，a∈N*，b∈N*}若x∈P，y∈P时，有x⊕y∈P，则运算⊕可能是（）A．加法减法乘法B．加法乘法C．加法减法除法D．乘法除法12．设集合X是实数集R的子集，如果点x0∈R满足：对任意a＞0，都存在x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，称x0为集合X的聚点．用Z表示整数集，则在下列集合中：①；②{x|x∈R，x≠0}；③；④整数集Z以0为聚点的集合有（）A．②③B．①④C．①③D．①②④13．对于集合M、N，定义M﹣N={x|x∈M，且x∉N}，M△N=（M﹣N）∪（N﹣M），设A={t|t=x2﹣3x，x∈R}，B={x|y=lg（﹣x）}，则A△B=（）A．（﹣，0]B．[﹣，0）C．（﹣∞，﹣）∪[0，+∞）D．（﹣∞，﹣]∪（0，+∞）14．已知M={（x，y）|2x+3y=4320，x，y∈N}，N={（x，y）|4x﹣3y=1，x，y∈N}，则（）A．M是有限集，N是有限集B．M是有限集，N是无限集C．M是无限集，N是有限集D．M是无限集，N是无限集15．设非空集合M同时满足下列两个条件：①M⊆{1，2，3，…，n﹣1}；②若a∈M，则n﹣a∈M，（n≥2，n∈N+）．则下列结论正确的是（）A．若n为偶数，则集合M的个数为个-3-B．若n为偶数，则集合M的个数为个C．若n为奇数，则集合M的个数为个D．若n为奇数，则集合M的个数为个16．设Ak=A1∪A2∪A3∪…An，n∈N*，设集合Ak={y|y=，≤x≤1，k=2，3，…，2015}，则Ak=（）A．∅B．[2，]C．{2}D．[2，]17．若X是一个集合，τ是一个以X的某些子集为元素的集合，且满足：①X属于τ，∅属于τ；②τ中任意多个元素的并集属于τ；③τ中任意多个元素的交集属于τ．则称τ是集合X上的一个拓扑．已知集合X={a，b，c}，对于下面给出的四个集合τ：①τ={∅，{a}，{c}，{a，b，c}}；②τ={∅，{b}，{c}，{b，c}，{a，b，c}}；③τ={∅，{a}，{a，b}，{a，c}}；④τ={∅，{a，c}，{b，c}，{c}，{a，b，c}}．其中是集合X上的拓扑的集合τ的序号是．18．在平面直角坐标系中，定义d（P，Q）=|x1﹣x2|+|y1﹣y2|为两点P（x1，y1），Q（x2，y2）之间的“折线距离”．在这个定义下，给出下列命题：①到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个正方形；②到原点的“折线距离”等于1的点的集合是一个圆；③到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”之和为4的点的集合是面积为6的六边形；④到M（﹣1，0），N（1，0）两点的“折线距离”差的绝对值为1的点的集合是两条平行线．其中正确的命题是．（写出所有正确命题的序号）19．设S为复数集C的非空子集．若对任意x，y∈S，都有x+y，x﹣y，xy∈S，则称S为封闭集．下列命题：①集合S={a+bi|（a，b为整数，i为虚数单位）}为封闭集；②若S为封闭集，则一定有0∈S；③封闭集一定是无限集；④若S为封闭集，则满足S⊆T⊆C的任意集合T也是封闭集．其中真命题是．（写出所有真命题的序号）20．设集合Sn={1，2，3，…，n}，若X⊆Sn，把X的所有元素的乘积称为X的容量（若X中只有一个元素，则该元素的数值即为它的容量，规定空集的容量为0）．若X的容量为奇（偶）数，则称X为Sn的奇（偶）子集．若n=4，则Sn的所有偶子集的容量之和为．-4-21．设有限集合A={x|x=ai，i≤n，i∈N+，n∈N+}，则叫做集合A的和，记作SA．若集合P={x|x=2n﹣1，n∈N+，n≤4}，集合P的含有3个元素的全体子集分别为P1、P2…、Pk，则=．22．设M是由满足下列性质的函数f（x）构成的集合：在定义域内存在x0，使得f（x0+1）=f（x0）+f（1）成立．已知下列函数：①；②f（x）=2x；③f（x）=lg（x2+2）；④f（x）=cosπx，其中属于集合M的函数是23．设互不相等的正整数a1，a2，…，an（n≥2，n∈N+）组成的集合为M={a1，a2，…，an}，定义集合S={（a，b）|a∈M，b∈M，a﹣b∈M}．（1）若M={1，2，3，4}，则集合S中的元素最多有个．（2）若M={a1，a2，…，an}，则集合S是的元素最多有个．24．若三个非零且互不相等的实数a、b、c满足+=，则称a、b、c是调和的；若满足a+c=2b，则称a、b、c是等差的．若集合P中元素a、b、c既是调和的，又是等差的，则称集合P为“好集”．若集合M={x||x|≤2014，x∈Z}，集合P={a，b，c}⊆M．则：（1）“好集”P中的元素最大值为；（2）“好集”P的个数为．25．给定数集A．若对于任意a，b∈A，有a+b∈A，且a﹣b∈A，则称集合A为闭集合．给出如下四个结论：①集合A={﹣4，﹣2，0，2，4}为闭集合；②集合A={n|n=3k，k∈Z}为闭集合；③若集合A1，A2为闭集合，则A1∪A2为闭集合；④若集合A1，A2为闭集合，且A1⊊R，A2⊊R，则存在c∈R，使得c∉（A1∪A2）．其中，全部正确结论的序号是．26．已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[﹣1.5]=﹣2，[1.5]=1．设函数f（x）=[x[x]]，当x∈[0，n）（n∈N*）时，函数f（x）的值域为集合A，则A中的元素个数为．27．已知集合M={1，2，3，…，100}，A是集合M的非空子集，把集合A中的各元素之和记作S（A）．①满足S（A）=8的集合A的个数为；②S（A）的所有不同取值的个数为．28．设集合X是实数集R上的子集，如果x0∈R满足：对∀a＞0，都∃x∈X，使得0＜|x﹣x0|＜a，那么称x0为集合X的聚点，用Z表示整数集，则给出下列集合：其中以0为聚点的集合的序号有（写出所有正确集合的序号）①{|n∈Z，n≥0}；②R/{0}（R中除去元素0）；③{}；④整数集Z．29．设集合A={x|x2﹣|x+a|+2a＜0，a∈R}，B={x|x＜2}．若A≠∅且A⊆B，则实数a的取值范围是．-5-30．对于集合M，定义函数fM（x）=对于两个集合M，N，定义集合M△N={x|fM（x）•fN（x）=﹣1}．已知A={2，4，6，8，10}，B={1，2，4，8，16}．（1）用列举法写出集合A△B=；（2）用Card（M）表示有限集合M所含元素的个数，当Card（X△A）+Card（X△B）取最小值时集合X的可能情况有种．二、解答题突破1．已知集合P=，y=log2（ax2﹣2x+2）的定义域为Q．（1）若P∩Q≠∅，求实数a的取值范围；（2）若方程，求实数a的取值的取值范围．2．已知集合A={a1，a2，a3，…，an}，其中ai∈R（1≤i≤n，n＞2），k（A）表示ai+aj（1≤i＜j≤n）中所有不同值的个数．（1）已知集合P={2，4，6，8}，Q={2，4，8，16}，分别求k（P）和k（Q）；（2）若集合A={2，4，8，…，2n}，证明：；（3）求k（A）的最小值．3．已知集合A={a1，a2，…，ak（k≥2）}，其中ai∈Z（i=1，2，…，k），由A中的元素构成两个相应的集合：S={（a，b）|a∈A，b∈A，a+b∈A}，T={（a，b）|a∈A，b∈A，a﹣b∈A}．其中（a，b）是有序数对，集合S和T中的元素个数分别为m和n．若对于任意的a∈A，总有﹣a∉A，则称集合A具有性质P．（Ⅰ）检验集合{0，1，2，3}与{﹣1，2，3}是否具有性质P并对其中具有性质P的集合，写出相应的集合S和T；（Ⅱ）对任何具有性质P的集合A，证明：；（Ⅲ）判断m和n的大小关系，并证明你的结论．4．设A是由有限个正整数组成的集合，若存在两个集合B，C满足：①B∩C=∅；②B∪C=A；③B的元素之和等于C的元素之和．则称集合A“可均分”，否则称A“不可均分”．（Ⅰ）判断集合M={1，3，9，27，…，3n}（n∈N*）是否“可均分”，并说明理由；（Ⅱ）求证：集合A={2015+1，2015+2，…，2015+93}“可均分”；（Ⅲ）求出所有的正整整k，使得A={2015+1，2015+2，…，2015+k}“可均分”．5．已知a，b，c∈R，二次函数f（x）=ax2+bx+c，集合A={x|f（x）=ax+b}，B={x|f（x）=cx+a}．（Ⅰ）若a=b=2c，求集合B；（Ⅱ）若A∪B={0，m，n}（m＜n），求实数m，n的值．6．已知集合A={x|3≤x＜6}，B={y|y=2x，2