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量子光学第二讲、相干态与压缩态2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology2概述z相干态定义z相干态的物理性质z相位算符z压缩态z双光子相干态z压缩态的实验获得2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology3单模相干态为什么研究相干态？•最接近经典电磁场的量子态•完全相干的量子光场态•相干态表象定义：单模光场相干态定义为光子湮灭算符的本征态，即aaααα=•相干态上被消灭一个光子之后，其状态不变；•由于湮灭算符为非厄米算符，所以其本征值为复数。•经典意义上复数对应于单模光场的复振幅。αaαα2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology4单模相干态相干态在粒子数态下的表述nnnαα=∑0!nann=00!!nnannnαααα⎛⎞⎟⎜==⎟⎜⎟⎝⎠归一化相干态要求，则由1αα=()222200exp!nnnαααααα==∑()210exp2αα=−()†0!nann=←()21exp2!nnnnααα=−∑2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology5单模相干态相干态另一种定义方式引入位移算符，所以相干态可以位移真空得到，即()()()()††2211exp0expexp02!2nnaanααααα=−=−∑()()*expDaaααα+=−()0Dαα=()()()()()()()*2*21expexpexp21expexpexp2Daaaaααααααα++=−=−−Backer-Hausdorff定理Backer-Hausdorff定理()()()()()*2211expexpexp0expexp022aaaαααααα++=−−=−↓2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology6单模相干态位移算符的性质()Dα•归一化算符，所以•平移特性：对算符的作用相当于使其平移一个复数量•对于任一的算符函数有•位移算符相当于相干态的产生和湮灭算符()()()1DDDααα+−=−=()()1DDαα+=()aa+()*αα()()()()*DaDaDaDaαααααα++++=+=+(),faa+()()()()*,,DfaaDfaaαααα+++=++()()()DDαα+α()()00DDαααα+==2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology7相干态物理性质相干态是最小测不准波包考虑谐振子粒子数态在坐标表象中的波函数表达式n()nqqnφ=将谐振子的产生和湮灭与坐标和动量算符联系起来有1212aqqaqqωωωω+∂⎛⎞⎟⎜=+⎟⎜⎟⎝⎠∂∂⎛⎞⎟⎜=−⎟⎜⎟⎝⎠∂====对于真空态我们有0n=()00qqqωφ∂⎛⎞⎟⎜+=⎟⎜⎟⎝⎠∂=于是我们得到真空态下的波函数解为()()1240exp2qqωωφπ⎛⎞⎟⎜=−⎟⎜⎟⎜⎝⎠==2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology8相干态物理性质坐标表象中高阶本征函数可以写成()()()()()()()()00201211!!212!nnnnnnaqqqqqnnHqqnφφωφωωφ+∂⎛⎞⎟⎜==−⎟⎜⎟⎝⎠∂====其中为Hermite多项式，波函数满足正交归一化条件，因此nH()()*dnmnmqqqφφδ∞−∞=∫坐标和动量以及它们的平方在粒子数态下面的平均值为()()2201212qpqnpnωω===+=+==2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology9相干态物理性质于是得到坐标与动量的测不准量为()()()()2222221212pppnqqqnωω∆=−=+∆=−=+==测不准关系为()12pqn∆∆=+=可见最小测不准态是基态，最小值为。如何通过简单的谐振运动但保持这个最小测不准波包形状不变？假设在时刻，波函数具有最小测不准波包形式，只是在方向上有一个位移量，于是有()0qφ/2=0t=(),0qψq+0q()()()1420,0exp2qqqωωψπ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦==该波包随时间的变化可以从Schrödinger方程得到2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology10相干态物理性质几率密度随时间的变化为()()()12220,expcosqtqqtωωψωπ⎡⎤=−−⎢⎥⎣⎦==该波包在谐振子势场中来回做简谐振动而形状不变，因此是相干的。该波包具有最小测不准关系，是最接近经典单模场的量子力学表述形式。相干的最小测不准波包可以写成()()21,0exp2!nnqqnnαψα=−∑其中，。不难看出，最小测不准波包即为相干态下坐标的表达式()120/2qαω==()nqqnφ=(),0qψ(),0qqψα=此波包的形式可以反过来证明，即求解相干态在坐标表象或动量表象中的波函数形式，见郭光灿的《量子光学》第三章p.125.相干态是最小测不准波包中的一个特例。2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology11相干态物理性质-4-3-2-10123402468101214160246810121416182000.10.20.30.40.50.60.70.80.910246810121416182000.10.20.30.40.50.60.70.80.910246810121416182000.10.20.30.40.50.60.70.80.91()Vr(),rtψ在谐振子势场中的最小测不准波包平移运动2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology12相干态物理性质相干态的坐标表示（Schrödinger波函数）()qqααψ=()qaqqαααααψ==12aqqωω∂⎡⎤=+⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦==()()12qqqqααωψαψω∂⎡⎤+=⎢⎥∂⎢⎥⎣⎦==()()2122exp2qAqαωψαω⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥=−−⎨⎬⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭==↓()()142expImAωαπ⎡⎤=⎣⎦=↓()2d1qqαψ∞−∞=∫()()()()2112422expImexpqqαωωψααππω⎧⎫⎪⎪⎡⎤⎪⎪⎪⎪⎢⎥⎡⎤=−−⎨⎬⎣⎦⎢⎥⎪⎪⎢⎥⎪⎪⎣⎦⎪⎪⎩⎭===PleaseRecall位移真空态PleaseRecall位移真空态2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology13相干态物理性质相干态下测不准关系按测不准原理，由于，因而有，在相干态有在相干态下计算和测不准关系()()()()()()()**222*22*222*22*,22221222122qaapiqaaaaaapaaaaaaωααααααωωααααααωωωωαααααα+++++++=+=+=−=+++=+++=−+−−=−+−−=======qp()()22,22qpωω∆=∆===[],pqi=−=/2pq∆∆≥=计算得到/2qp∆∆==上式说明相干态是最小测不准量子态，因而也是量子理论所容许的最接近经典极限的量子态。2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology14相干态物理性质相干态的能量起伏利用不等式，我们有222ABAB+≥()()222122pqqpωωω⎡⎤∆+∆≥∆∆≥⎣⎦=对于相干态，此不等式变成等式()()[]22222221112222pqpqpqωωωω⎡⎤⎡⎤∆+∆=+−+⎣⎦⎣⎦==该表达式说明相干态下能量的起伏最小，即零点能。上式右面第一项为场的总能量，第二项代表相干能量。相干的物理含义因此可见：物理量没有起伏没有噪音（零点起伏除外）。因此两项差值代表场的非相干能量，这表明相干态场是完全相干的，非相干能量（噪音）仅来自于真空的零点能起伏。2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology15相干态物理性质相空间中相干态的起伏相空间：一对正则共轭广义坐标和广义动量构成的空间，如和，复平面和构成空间。算符和为非厄米算符，其实部和虚部定义了两个厄米算符qpReαImαaa+1X2X()()121212XaaXaai++=+=−有对易关系，可以得到和所满足的对易关系[],1aa+=1X2X[]121,2XXi=−因而厄米算符和的测不准关系为1X2X()()2212116XX∆∆≥2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology16相干态物理性质对于相干态，不难计算得到α()()()()**1222222*1122222*2211Re,Im2211114441111444XXiXaaaaaaXXaaaaaaXαααααααααα++++++=+==−=⎡⎤=+++=++=+⎢⎥⎣⎦⎡⎤=−+−−=−−−=+⎢⎥⎣⎦因此，和的起伏分别为()()2221112222221414XXXXXX∆=−=∆=−=1X2X()()2212116XX∆∆=可见对于相干态而言，有2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology17相干态物理性质算符和的真实物理含义为磁场和电场算符，分别对应与电磁场的广义坐标和广义动量。电场按行波场和驻波场展开分别有1X2X()()()()()[]0120,2sincos2ititEtiaeaeVXtXtVωωωεωωωε⋅−+−⋅−⎡⎤=−⎣⎦=−⋅−+⋅−krkrrkrkr==()[][]121,cossin2ititccEztEaeaeEXtXtωωωω−+=+=+其中因此相干态同样是磁场和电场的最小测不准态，两者起伏相同，与本征值无关，相干态的粒子起伏实质上是真空起伏。在利用位移算符将真空态演化成相干态的过程中，光场的量子起伏保持不变，完全相干。121,22XqXpωω====α2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology18相干态物理性质1X∆2X∆2X1X相空间中相干态的起伏2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology19相干态物理性质相干态下光子数分布相干态下的平均光子数为α2aaααα+=()2!!nnnnpnnnenennααα−−===在相干态下找到个光子的几率为αn0204060800.010.020.030.040.050.060.07该分布称为伯松分布，处在高于阈值激发激光的光子数分布将会达到这一分布，伯松分布是介于经典光场与量子光场之间的光子数分布。所以伯松分布是划分非经典光场的分水岭。相干态下光子数分布2004©Dr.ShutianLiu,DepartmentofPhysics,HarbinInstituteofTechnology20相干态物理性质相干态的时间演