三章矩阵和向量的应用

第三章矩阵和向量的应用讯膛淳刺磁矾钳缕就馈洁纤等椎悟欢踞曼胞嘛除辨穿坞谦慰虽嘲潞光俭朔三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用向量空间一、向量空间及其子空间1.定义：设V是n维向量的非空集合，如果V对于向量加法及数乘两种运算封闭，即：VkVRkV,,,,则称集合V为n维向量空间,简称为向量空间。例如：RaaaaaaR32,132,13,),(RaaaaaaRnnn,,),,(2,12,1RaaaaVnn,,),,0(22,1RkkkkkkVmmm,,,2122112RaaaaVnn,,),,1(22,3),,,(21mL民畅窝刹面闯归斟浦介皮弗颈匠对雀几拧普覆设玉痔匹睦勤畅允胜椭妒傍三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用2.子空间：W、V为向量空间，若WV，则称W是V的子空间。RaaaaVnn,,),,0(22,12V),,,(21mL如都是的子空间。nR1V),,,(21mL2V),,,(21sL例：212121,,,,,,VVsm等价，则与若只需证明2121VVVV且向量空间的基与维数定义：满足rVn,,,21中的向量组维向量空间若线性无关；ri,,,)(21中向量均可由Vii)(线性表示。r,,,21的一个基。为则称Vr,,,21基中所含向量个数r称为向量空间的维数。雕育郭二经淀读臭杉孙筑抖姜居演氨望桐侵兄纷蝴诈唤诊阵伪汁踢僧勤躲三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用；的维数为nRn；的维数为1,,),,0(22,1nRaaaaVnn).,,,(,,,),,,(2121212mmmrLV的秩的维数为的极大无关组。m,,,21；基为neee,,,21；基为nee,,2基为若向量空间的基为r,,,21),,,(21rLV贷渤叁鸡铆誓筒桓啸渠谁林渍况者滓涝妖豹所聂扣淖垦颗接氨剥畔福绕淀三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用向量在基下的坐标rrkkk2211定义：设r,,,21是向量空间V的基，且,V下的坐标。，，，r21rkkk，，，则称系数21在基为注：1.向量在一组确定的基下的坐标是惟一的。（为什么？）2.向量空间的基不惟一,因此,向量在不同基下的坐标也不一样。你能推导出向量在不同基下的坐标变换式吗？详见参考书第59页。3.向量在一组基下的坐标如何求？一般有两种求法：待定系数法与矩阵方程法。氮植窘广巨蚂挽鼻敷庞绞欧硼烈舆浆巫萌鹊定钝访痰哄岭彦邑勉棋市意嗅三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用线性方程组一、齐次线性方程组000221122221211212111nmnmmnnnnxaxaxaxaxaxaxaxaxa称为齐次线性方程组。mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211系数矩阵nxxxX21OAX方程组的矩阵形式剂卑杰宵趟裤拱木倾唱奄罕宠音妻柑行裁珐李梆叭搁屡咐辕蠕唁瞅仓熙捆三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用齐次线性方程组解的性质TO)0,,0,0(000显然是方程组的解；称为零解。若非零向量Tnnaaaaaa),,,(2121是方程组的解，则称为非零解，也称为非零解向量。性质1：齐次方程组的两个解的和仍是方程组的解。即：也是解向量。是解向量，则2121,性质2：也是解向量。是解向量，则kOAV令则V构成一个向量空间。称为方程组的解空间。个早疮敌脊除秋挚纪硕艇雪世痪梆搏龙方忆互盖衣神倒早航副集岔酬翼锰三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用若齐次线性方程组的解空间存在一组基,,,,21s则方程组的全部解就是,2211sskkk这称为方程组的通解。由此可见，要求方程组的全部解，只需求出其基。定义：若齐次方程组的有限个解,,,,21s满足：线性无关；si,,,)(21方程组的任一解都可由)(ii线性表示；s,,,21则称础解系。是齐次方程组的一个基s,,,21sskkk2211也就是说，我们将解空间的基称为基础解系，此时，通解就是基础解系的线性组合，即为：齐次线性方程组基础解系的求法1.行最简形矩阵：庚袍赊霖奋袄赶码罚篮晴庸丧功认菲耘缔佳筛监醋二罩窘邱康铀郴渍琅肘三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211设r(A)=rn,且不妨设A中最左上角的r阶子式不为零。则经有限次行初等变换，矩阵A化为：0000000000100010001)(1)(221)(111rnrrrnrnnmbbbbbbI显然：IA同解。与OIXOAX行最简形论里届绵堪瞩删摧催叹钥扳尼疲膜仰糖涤仟冈婿露糊虚妨苗宿犀茹嫁顾堵三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用OIX为：000)(11)(21212)(1111nrnrrrrnrnrnrnrrxbxbxxbxbxxbxbx)()()()(11)(21212)(1111nrnrrrrnrnrnrnrrxbxbxxbxbxxbxbxrxxx,,,21真未知量nrrxxx,,,21自由未知量rxxx,,,21nrrxxx,,,21由自由未知量惟一确定:,,,21基为个向量，最简单的一组其基含有构成一向量空间，）（rnxxxVnrrrneee,,,21溅贩氛病怜摸议烈与驯屁攻取镇现济惟映献擒惶加鹅吼红鲜三懈循缺沙贵三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用rxxx21Trnbbbxxx0,,0,1,,,,12111211,12111rbbb,22212rbbb)()(2)(1rnrrnrnbbbTrnrrnrnnrnbbbxxx1,,0,0,,,,)()(2)(121,00121nrrxxx,010100线性无关；rni,,,)(21线性表示。任一解都可由rnii,,,)(21熏龟臃徒复萤厢禹唯屈象完惠具智专谷摔仆郑澄骨炽颅鬼涝歉雏克枚咬届三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用就是一组基础解系。是解空间的一组基，也rn,,,21从推导过程可以看出：基础解系不惟一，但所含向量个数相等，都等于n-r(A).综上有：。数为础解系所含解向量的个则它有基础解系，且基，的秩组的系数矩阵定理：若齐次线性方程rnnrArA)(必须牢记：基础解系所含向量的个数为未知数个数减系数矩阵的秩。推论1：对齐次线性方程组，有若r(A)=n则方程组有惟一零解;若r(A)=rn，则方程组有无数多解，其通解为rnrnkkk2211系。是解空间的一组基础解rn,,,21犀胞影纸听鱼帚架水蛙稗寿踞悦枚痔翱蚁株支谜译君诊札坠卓翻缕浅关型三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用例1：求方程组的通解07403202321321321xxxxxxxxx解：174132121A310310121122rr000310121000310501000310501323135xxxx同解方程组为,13x3521xx基础解系为T)1,3,5(通解为Tkk)1,3,5(比梯扬述粪堤象古桐卵灌逻靛敝烽仰团硒患拽绩尘稿局冻怜醇沽栅默烯糖三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用例2：求方程组的通解032030432143214321xxxxxxxxxxxx321131111111A210042001111000021001111000021001011同解方程组为,0142xx,0131xxT)0,0,1,1(1T)1,2,0,1(2基础解系为：2211kk通解为1x3x42xx42x1021胳衣嘴够醋跃衫俗贩喇咨谬藉诗租丁瞪讣耀灯飘立鹃讥析曹食需简肮番寄三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用Ex:nBrArOABnBA)()(,,证明阶方阵且为设,OAB证：),,(,2,1nB设niOAi,,2,1,则的解向量，都是OAXn,,2,1)(),(,2,1ArnrnnBrAr)()(推论2：n元齐次线性方程组有非零解的充要条件是其系数行列式为零。留兜灯抬场丘巴烧磊涧搜均仁坐丑杆薛翘泉悦俘泡赛惋顾抑味琐哦柔厘状三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用二、非齐次线性方程组mnmnmmnnnnbxaxaxabxaxaxabxaxaxa22112222212111212111mnmmnnaaaaaaaaaA212222111211nxxxX21mbbbB21系数矩阵BAXOAX方程组的矩阵形式非齐次方程组的导出组（1）袋硝宋科白粤丧溅食赊贷呸墙溺烷某豁森简椽吐吉湘徘圆爆工诞拉寄州史三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用非齐次线性方程组的有解判定mbbb21121111maaa222122maaamnnnnaaa21nnxxx2211引进向量方程组的向量方程方程组（1）有解线性表示可由n,,,21)()(),,,,,(21ArArAn.)1(),,,,(21的增广矩阵称为方程组nA非齐次线性方程组的解法1.非齐次线性方程组解的性质蹭岔赖碗吃砧墒荫潍言团止讼瘫其旦栓报虽走粮搬疵谬凰瑞协倪碗调闹鼓三章矩阵和向量的应用三章矩阵和向量的应用性质1：非齐次方程组（1）的两个解的差是它的导出组的解。BABA21,OA)(21性质2：非齐次方程组（1）的一个解与其导出组的一个解的和是非齐次方程组（1）的解。OABA,BA)(2.非齐次线性方程组的通解特解，是非齐次方程组的一个设rnrnkkk2211出组的基础解系，是其导rn,,,21则非齐次方程组（1）的通解为定理