1-3数列的极限

“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入1、割圆术：“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入“割之弥细，所失弥少，割之又割，以至于不可割，则与圆周合体而无所失矣”1、割圆术：——刘徽一、概念的引入R正六边形的面积1A正十二边形的面积2A正形的面积126nnA,,,,,321nAAAAS2、截杖问题：“一尺之棰，日截其半，万世不竭”;211X第一天剩下的杖长为;2122X下的杖长为第二天剩nnX210;21nnXn天剩下的杖长为第;212122X第二天截下的杖长为;2121212nnXn天截下的杖长为第nnX2111;211X第一天截下的杖长为二、序列(数列)的定义例如;,2,,8,4,2n;,21,,81,41,21n}2{n}21{n定义：按自然数1,2,3…编号依次排列的一列数12,,,,naaa称为无穷数列，简称数列，记做{}nana称为通项（一般项）其中每个数称为数列的项，注意：1.数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取12,,,,.naaa1a2a3a4ana2.数列是定义在自然数集上的函数,;,)1(,,1,1,11n})1{(1n;,)1(,,34,21,21nnn})1({1nnn,333,,33,3(),1,2,nfnan21111,,,,2222nnna例　　　　　　　　　　23456780.10.20.30.40.5111121:,1,,1,2242nnna例23456780.60.70.80.91(1)113:0,1,1,23nnnan例　　　　　51015200.60.811.21.4.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限.})1(1{1时的变化趋势当观察数列nnn三、数列的极限问题:当无限增大时,是否无限接近于某一确定的数值?如果是,如何确定?nan1(1),11.nnnan当无限增大时无限接近于问题:“无限接近”意味着什么?如何用数学语言刻画它.通过上面演示实验的观察:,1001给定,10011n由,100时只要n11,100na有,10001给定,1000时只要n11,10000na有,100001给定,10000时只要n11,1000na有,0给定1([]1),nN只要时1.na有成立1nannn11)1(1定义如果对于任意给定的正数(不论它多么小),总存在正数N,使得对于Nn时的一切na,不等式lan都成立,那末就称常数l是数列na的极限,或者称数列na收敛于,记为如果数列没有极限,就说数列是发散的.注意：1.;nnalal不等式刻划了与的无限接近..2有关与任意给定的正数Nlim()nnnalaln或l,(,),().nnNallN当时所有的点都落在内只有有限个至多只有个落在其外:N定义lim0,0,,.nnnalNnNal当有x1a2a2Na1Na3a几何解释:2lll例11，0.1，1，0.01，1，0.001,……当ε=0.5时，无论如何取N,当nN时，都不能使|1|na成立,lim1nna亦不能使|0|na成立.lim0nna且注意：数列极限的定义未给出求极限的方法.故例.lim),(CxCCxnnn证明为常数设证CxnCC,成立,0任给所以,0,n对于一切自然数.limCxnn说明:常数列的极限等于同一常数.注意:用定义证数列极限存在时,关键是任意给定寻找N,但不必要求最小的N.,0例.1,0limqqnn其中证明证,0任给0,nnqq,lnlnqnln[]1,lnNq取,时则当Nn,0nq就有.0limnnq,0q若;00limlimnnnq则,10q若,lnlnqn例.1)1(lim1nnnn证明证1na1)1(1nnn11,0所以N取,时则当Nn.1)1(lim1nnnn1[]1n11NNn1例22)1(10)1()1(nnn证,0N取,时则当Nn1.0)1()1(lim2nnn证明21n21)(1.0)1()1(lim2nnn111nlimnnbA即，sin,lim0nnnnaan例证明1sin11sin1nnnnn证明：－，11lim0,lim()0lim0nnnnann又;例).12111(lim222nnnnn求解,11112222nnnnnnnnnnnnnn111limlim2又,122111lim1limnnnnn,1由夹逼定理得.1)12111(lim222nnnnn121(),02nnllab取得0,,0.2nnallNlnNa序列的极限为且则存在自然数使得当时，222111lim().12nnnnn例如：22lim(12.nnn例如：－）子数列的收敛性的子数列（或子列）．的一个数列称为原数列到中的先后次序，这样得这些项在原数列保持中任意抽取无限多项并定义：在数列nnnxxx,,,,,21nixxxx13,,,,ixxx例如，定理5数列收敛的充分必要条件使所有子列都收敛，且所有极限与原数列相同.定理5的应用：经常用两个子序列收敛于不同的值来证明原序列发散134511,,,,,(1),4682nnn例：数列奇数项构成的子列：46221,6104kk，，，，偶数项构成的子列：3521,,,,484kk221lim42kkk211lim42kkk因此，原数列发散例11，0.1，1，0.01，1，0.001,由均值不等式(几何均值不超过算术均值)，有121212,nnnnaaaaaaaaan仅当时成立因此yn单调且有界，limyn存在，记极限值为e，即:21211[lim(1)][lim(1)]KKKKKe证明数列发散的方法：1.利用定理5，找一个子数列不收敛，或找两个子数列收敛于不同值证明数列收敛的方法：1.定义2.(实数域的完备性)单调有界数列必有极限3.夹逼定理（比较定理）4.重要极限