三招破解三角形解的个数问题(打印)

三招破解三角形解的个数问题学了正、余弦定理后，不少同学为判断三角形的解的个数而烦恼．知道3边，2角1边，2边及其夹角时不会出现两解；在已知三角形的两边及其中一边的对角（即“边边角”）的条件下解三角形时，解的个数有几个呢？一解，二解还是无解？《必修5》在第8页到第9页的“探究与发现”《解三角形的进一步讨论》有详细说明．即：在已知ABC中的边长a，b和角A，且已知a，b的大小关系，常利用正弦定理求出sinB的值，①若该值大于1，与sin1B矛盾，则无解；②若该值小于或等于1，则要考虑a，b的大小关系及A为锐角还是钝角：若A是钝角，且该值小于1，则有1解，若该值等于1，则无解；若A是锐角，且ba，则有1解；若ba，且该值小于1，则有2解；ba，且该值等于1，则有1解．但分类层次多，分类种数多，注重形，又指定边角，不易被学生所接受．即本节能理解，操作应用起来也很不方便．下面提供“几招”供同学们选择，希望能帮助同学们顺利破解．第一招：大角对大边在已知ABC中的边长a，b和角A，且已知a，b的大小关系，常利用正弦定理结合“大边对大角”来判断三角形解的个数，一般的做法如下，首先利用大边对大角，判断出角B与角A的大小关系，然后求出B的值，根据三角函数的有界性求解．【例1】在ABC中，已知3a，2b，45B，求A、C及c．解：由正弦定理，得sin3sin453sin22aBAb，∵4590B，ba，∴60A或120．当60A时，75C，sin2sin7562sinsin452bCcB；当120A时，15C，sin2sin1562sinsin452bCcB．点评：在三角形中，sinsinabABAB这是个隐含条件，在使用时我们要注意挖掘．0例2.在中，已知80，100，45，试判断此三角形解的情况.ABCabA0sin100sin45解：sinB==1.80bAa又a,b有两解,B三角形有两解。例3．已知△ABC中，AB＝3，AC＝1，且B＝30°，则△ABC的面积等于()A.32B.34C.32或3D.34或32D【解析】设c＝AB＝3，b＝AC＝1，由于B＝30°，∴c·sinB＝3×12＝32，c·sinBbc，∴符合条件的三角形有两个．∵bsinB＝csinC，即112＝3sinC，∴sinC＝32，∴C＝60°或120°，∴A＝90°或30°，又S△ABC＝12bcsinA，∴S△ABC＝32或34，故选D.第二招：二次方程的正根个数一般地，在ABC中的边长a，b和角A，常常可对角A应用余弦定理，并将其整理为关于c的一元二次方程2222cos0cbcAba，若该方程无解或只有负数解，则该三角形无解；若方程有一个正数解，则该三角形有一解；若方程有两个不等的正数解，则该三角形有两解．ABCD【例1】如图，在四边形ABCD中，已知ADCD，10AD，14AB，60BDA，135BCD，求BC的长．解：在ABD中，设BDx，由余弦定理得2221410210cos60xx，整理得210960xx，解得16x．由正弦定理，得sin16sin3082sinsin135BDCDBBCBCD．点评：已知三角形两边和其中一边的对角，我们可以采用正弦定理或余弦定理求解，从上述例子可以看出，利用余弦定理结合二次方程来判断显得更加简捷．2．在△ABC中，角A、B、C的对边分别为a、b、c，且a＝λ，b＝3λ(λ0)，A＝45°，则满足此条件的三角形个数是()A．0B．1C．2D．无数个解析：直接根据正弦定理可得asinA＝bsinB，可得sinB＝bsinAa＝3λsin45°λ＝621,没有意义,故满足条件的三角形的个数为0，选A．第三招：画圆法已知ABC中，A为已知角（90），先画出A，确定顶点A，再在A的一边上确定顶点C，使AC边长为已知长度，最后以顶点C为圆心，以CB边长为半径画圆，看该圆与A的另一边是否有交点，如果没有交点，则说明该三角形的解的个数为0；若有一个交点，则说明该三角形的解的个数为1；若有两个交点，则说明该三角形的解的个数为2．在ABC中，已知a,b,A,讨论三角形解探究：的情况.sinsinbAa分析：由B=,可求出角B，sinc=sinaCA从而.1.当A为钝角或直角时:必须ab,才能有且只有一解，否则无解。AABBCCaabb0(),AB则C=1802.当A为锐角时:如果ab,那么只有一解。如果ab,那么可以分下面三种情况讨论：ABCab（1）若absinA,则有两解;（2）若a=bsinA,则只有一解.（3）若absinA,则无解.AB1B2CaabABCba=bsinAABCbabsinA•若A为锐角时:锐角一解一锐、一钝二解直角一解无解babaAbAbaAbasinsinsin若A为直角或钝角时:锐角一解无解baba评述：注意在已知三角形的两边及其中一边的对角解三角形时，只有当A为锐角且时，有两解；其它情况时则只有一解或无解。sinbAab【例1】在ABC中，60A，6a，3b，则ABC解的情况（）（A）无解（B）有一解（C）有两解（D）不能确定解：在A的一边上确定顶点C，使3ACb，作60CAD，以顶点C为圆心，以6CBa为半径画圆，看该圆与AD没有交点，则说明该三角形的解的个数为0，故选A．332AbCaDAbCaD62．△ABC中，已知a＝x，b＝2，B＝45°.若解此三角形有两解，则x的取值范围是__________．(2，22)【解析】sinA＝sin45°2·x＝24x.因三角形有两解．所以45°A135°且∠A≠90°，∴x2，且24x1.解得2x22.例3．已知△ABC中，a,b,c分别为∠A,∠B,∠C的对边，∠B=60°,b=2，a=x，如c有两组解，则x的取值范围是．解：当asinB＜b＜a时，三角形ABC有两组解.又b=2，B=60°，a=x，如果三角形ABC有两组解，那么x应满足xsin60°＜2＜x，即2＜x＜433,故x的取值范围是：43(2,)3．流星宇高考仿真卷理三4.在⊿ABC中，角A，B的对边分别是a,b,且∠A=60o，b=4，那么满足条件的⊿ABC只有一个时，边长a的取值范围是．ABCDb=4a=?60°╭ABCDb=4a=?60°╭解：易知30sin2B或sin1B时，只有一解，故{|234}aaa或．流星宇高考仿真卷理三4.在⊿ABC中，角A，B的对边分别是a,b,且∠A=60o，b=4，那么满足条件的⊿ABC只有一个时，边长a的取值范围是．解：作图：①当023a时，0个；②当23a时，1个；③当234a时，2个；④当4a时，1个.∴边长a的取值范围是{|234}aaa或．ABCDb=4a=?60°╭ABCDb=4a=?60°╭5.在⊿ABC中，若AB=22，BC=2，且⊿ABC有两解，则A的范围是（）A．(0,)3B．(,)32C．(0,)4D．(,)42解1：∵a＝2，c＝22，∴a＜c，∴A＜C，∴A为锐角．要使三角形有两解，则：csinA＜a＜c，即22sinA＜2＜22，解得sinA＜22．∴角A的取值范围为(0°，45°)．故选C；5.在⊿ABC中，若AB=22，BC=2，且⊿ABC有两解，则A的范围是（）A．(0,)3B．(,)32C．(0,)4D．(,)42解2：∵2222442cos224242xACABBCxxAACABx，∴045Aoo，舍去45o．5.在⊿ABC中，若AB=22，BC=2，且⊿ABC有两解，则A的范围是（）A．(0,)3B．(,)32C．(0,)4D．(,)42解3：∵22222sinsinsinsin22ACAC，∴045Aoo．当45Ao时，三角形只有一解，舍去．故得045Aoo．湖南师大附中2014届高考模拟卷（理科数学二）6．若满足条件3C，3AB，BCa的三角形有两个，则a（）A．(1,2)B．(2,3)C．(3,2)D．(2,2)湖南师大附中2014届高考模拟卷（理科数学二）6．若满足条件3C，3AB，BCa的三角形有两个，则a（）A．(1,2)B．(2,3)C．(3,2)D．(2,2)ABCPA′解：如图：①由sin60BCBPAB得2a；②又要求ABBC，否则AB就会在BC左边，∠C就不可能是60，∴3a．综上，32a，选C．湖南师大附中2014届高考模拟卷（理科数学二）6．若满足条件3C，3AB，BCa的三角形有两个，则a（）A．(1,2)B．(2,3)C．(3,2)D．(2,2)解：由正弦定理得：sinsinABBCCA，即3sin60sinaA，变形得：sin2aA．由题意得：当A∈（90°，120°）时，满足条件的△ABC有两个，所以3122a，解得：32a，则a的取值范围是(3,2)，故选C．