2.3.2离散型随机变量的方差

1.离散型随机变量的均值（数学期望）Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn1122()......iinnEXxpxpxpxp超几何分布的期望()nMEXN两点分布的期望()EXp二项分布的期望()EXnp()()()EYEaXbaEXb则2.数学期望的线性性质:复习回顾,YaXb若3.特殊分布的数学期望自主探究要从两名同学中挑出一名，代表班级参加射击比赛。根据以往的成绩记录，第一名同学击中目标靶的环数X1的分布列为X15678910P0.030.090.200.310.270.10第二名同学击中目标靶的环数X2的分布列为X256789P0.010.050.200.410.33应该派哪名同学参赛？自主探究由上节知识，可以从平均中靶环数来比较两名同学射击水平的高低，即通过比较X1和X2的均值来比较两名同学射击水平的高低。通过计算得E(X1)=8，E(X2)=8，均值相等，因此只根据均值不能区分这两名同学的射击水平。我们还能从哪个角度比较两名同学的射击水平？O5671098P1X0.10.20.30.40.5分布列还能怎样呈现？如何直观观察随机变量的分布情况？还有其他刻画两名同学各自射击特点的指标吗？思考左右两图分别表示X1和X2的分布列。比较两个图形，可以发现，第二名同学的射击成绩更集中于8环，O56798P2X0.10.20.30.40.5即第二名同学的射击成绩更稳定。思考怎样定量刻画随机变量的稳定性？由初中和必修三知识我们知道，样本方差反映了所有样本数据与样本平均值的偏离程度，用它可以刻画样本数据的稳定性。类比于此，我们定义随机变量的方差来刻画随机变量的稳定程度。离散型随机变量的方差设离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn则(xi-E(x))2描述了xi（i=1,2,...,n）相对于其平均值E(x)的偏离程度。而D(x)=(x1-E(x))2p1+(x2-E(x))2p2+(xi-E(x))2pi))+...+(xi-E(x))2pi+...+(xn-E(x))2pn我们称D(x)为随机变量X的方差，并称其算术平方根为随机变量X的标准差21(())niiixExp（i=1,2,...,n）X15678910P0.030.090.200.310.270.10X256789P0.010.050.200.410.33102115(8)()iDXiPXi92225(8)()iDXiPXi1.50,0.82因此，第一名同学的射击成绩稳定性较差，第二名同学的射击成绩稳定性较好，稳定于8环左右.离散型随机变量的方差分别计算“自主探究”中两名同学射击成绩的方差.该派那名同学去参加比赛呢？离散型随机变量方差的性质(2)设Y=aX+b，则E(Y)=aE(X)+b所以，D(aX+b)=(ax1+b-aE(x)-b)2p1+(ax2+b-aE(x)-b)2p2+...+(axn+b-E(x)-b)2pn离散型随机变量X的分布列为Xx1x2…xi…xnPp1p2…pi…pn=(ax1-aE(x))2p1+(ax2-aE(x))2p2+...+(axn-aE(x))2pn=a2(x1-E(x))2p1+a2(x2-E(x))2p2+...+a2(xn-E(x))2pn=a2[(x1-E(x))2p1+(x2-E(x))2p2+...+(xn-E(x))2pn]=a2D(X)，D(aX+b)=a2D(X)(1)D(X)≥0；特殊分布的方差1；X服从两点分布，则D(X)=p(1-p)因为X服从两点分布，则E(X)=p所以，D(X)=(0-p)2(1-p)+(1-p)2p=p(1-p)2；X服从二项分布，即X～B(n，p)，E(X)=np，则D(X)=np(1-p)D(X)=(1-p)E(X)特殊分布的方差1.一批产品的二等品率为0.02，从这批产品中每次随机取一件，有放回地抽取100次，X表示抽到的二等品件数，则D(X)=________；练习2.已知ξ～B(n,p)，E(ξ)=8，D(ξ)=1.6，则n=___________，p=___________.解：由题可知，X～B(100,0.02)，所以，D(X)=100×0.02×(1-0.02)=1.96解：由题可得，D(ξ)=np(1-p)=(1-p)×E(ξ)，即1.6=8(1-p），解得p=0.8E(ξ)=np=8=n×0.8，解得n=10.4.随机变量ξ的取值为0,1,2，若P(ξ=0)=0.2，E(ξ)=1，则D(ξ)=_____________；3.设X为随机变量，且X～B(n，p)，若随机变量X的数学期望E(X)＝4，D(X)＝，则P(X＝2)＝_______；43ξ012P0.2p0.8-p解：列出ξ的分布列，设P(ξ=1)=p，则P(ξ=2)=0.8-p所以，E(ξ)=0×0.2+1×p+2×(0.8-p)=1解得：p=0.6，解：由题可得，D(X)=(1-p)×E(X)，即=4(1-p），解得p=4323E(X)=4=np，解得n=6.所以，P(X＝2)＝22462120()()33243C练习则，D(ξ)=(0-1)2×0.2+(1-1)2×0.6+(2-1)2×0.2=0.4练习5.设0p1，离散型随机变量ξ的分布列为：ξ012P12p122p则当p在(0,1)内变化时，A.D(ξ)变小B.D(ξ)变大C.D(ξ)先变小后变大D.D(ξ)先变大后变变小解：根据题意可求得E(ξ)=12p所以22211111()(0)(1)(2)222222ppDppp214pp所以，当0p1时，D(ξ)先变大后变变小，选D211()22p课本例题例4：考查计算例5：为决策提供依据①理解X的意义，写出X所有可能的取值；②求X取各个值的概率，写出分布列；③根据分布列，由期望的定义求出E(X)；④根据方差的定义求出D(X)。对于两个随机变量X1和X2在E(X1)与E(X1)相等或很接近时，比较D(X1)和D(X2)可以确定哪个随机变量的性质更适合实际的生产、生活的需要.求解方差的一般步骤小结1.离散型随机变量X的均值、方差的定义及计算公式。2.期望、方差的性质—线性性质E(aX+b)=aE(X)+b，D(aX+b)=a2D(X)3.特殊分布的均值及方差超几何分布()nMEXN两点分布()EXp二项分布()EXnpD(X)=p(1-p)D(X)=np(1-p)211(),()(())nniiiiiiExxpDxxExp下课