北京交通大学硕士数理统计复习题

复习题：1设12,,,nXXX是正态总体2~(,)XN的样本，1．试问2211()niiX服从什么分布（指明自由度）？)1,0(~NXi且独立，)(~)()(1212122nXXniinii2．假定0，求212212()()XXXX的分布。)2,0(~221NXX,)2,0(~221NXX)1,0(~221NXX,)1,0(~221NXX)1(~)2(221XX,)1(~)2(221XX又221)2(XX和221)2(XX相互独立，故212212()()XXXX＝)1,1(~1/)2(1/)2(221221FXXXX2设总体X服从(0,1)上的均匀分布，12,,,nXXX是来自总体X的一个样本，最大顺序统计量),,,max(21)(nnXXXX，求随机变量)(nX的概率密度；解：其它,010,1)(~xxfX，其分布函数为1,110,0,0)(xxxxxF而),,,max(21)(nnXXXX的分布函数为)),,,{max(}{)(21)()(zXXXPzXPzFnnXn),,,{21zXzXzXPnnzF)]([zFzfnnXX)()(zfzFnn11nnz，)10(z3设X服从),0(上的均匀分布，其密度函数为其它001)(xxfnXXX,,,21为样本，),,,max(21)(nnXXXX，1）求随机变量)(nX的概率密度；2）问nXXX,,,maxˆ21是否为的无偏估计量？答其它001)(~xxfX,其分布函数为xxxxxF,10,0,0)(yyyyyFyXXXPyFnnn,10,)(0,0)]([),,,(max)(21ˆ其它,00,)()]([)(11ˆynyyfyFnyfnnn1)()ˆ(01ˆnndynyydyyyfEnn，不是无偏估计4设总体X的概率密度为.,,0,)()(其它xexfx是未知参数,nXXX,,,21是来自X的样本，1．求的矩估计量1；矩估计法:1)(dxxeEXx，令XEX1,=1ˆ1X2．求的最大似然估计量2；最大似然估计法：设nxxx,,21为样本的观察值，则似然函数为niiixnxnieeL1)(1)(，iniixnix1min,,1,即按似然估计的思想，当似然函数关于是增函数，故ixminˆ2。的最大似然估计量为iXminˆ2＝。5设电池的寿命服从指数分布，其概率密度为0001)(_xxexfx其中0为未知参数，今随机抽取5只，测得寿命如下：1150，1190，1310，1380，1420求电池的平均寿命的最大似然估计值。解似然函数niixneL11_1)(，niixnL11ln)(ln令01)(ln12niixnLdxd1290)14201380131011901150(51ˆx6在某次外语四级考试中，设全体考生的成绩服从正态分布，从中随机地抽取36位考生的成绩，算得样本均值566.x分，样本标准差15s分。问在水平050.下，是否可以认为这次考试全体考生的平均成绩为70分？解设考生的成绩为X，则),(N~X2010070:H,:H检验统计量n/sxt0，拒绝域)n(tt12算得0301235413615705660250.)(t./.t.可以认为全体考试的成绩为70分.7设nXXX,,,21是总体)(~X的样本,证明对于任意常数,统计量X,2S,2)1(SX都是参数的无偏估计量.证由于)(~X,因此由例1和例2可得)()(XEXE,)()(2XDSE,)()1()()1(22SEXESXE)1(,所以22)1(,,SXSX都是的无偏估计量.8设总体X的数学期望和方差都存在,321,,XXX是X的样本,证明统计量632ˆ3211XXX,442ˆ3212XXX,333ˆ3213XXX.都是总体均值)(XE的无偏估计量,并确定哪个估计量更有效.解设2)(XD,由于613121632)ˆ(3211XXXEE,414121442)ˆ(3212XXXEE,313131333)ˆ(3213XXXEE.故321ˆ,ˆ,ˆ都是总体均值的无偏估计量.又由于222232111873619141632)ˆ(XXXDD,222232128316116141442)ˆ(XXXDD,2222321331919191333)ˆ(XXXDD.因此)ˆ()ˆ()ˆ(123DDD,估计量3ˆ更有效.9设总体X服从正态分布)9,(N，nXXX,,,21来自X的样本1216,,,XXX，则当n____＝90______时，1.0][2XE10设nXXX221,,,是来自正态总体),(2N的样本，则当c＝n21时，niiinXXc12)(为2的无偏估计。