动态矩阵控制算法(DMC)

Lecture2动态矩阵控制算法(DMC)2回顾-预测控制基本原理•三个基本原理¾预测模型¾滚动优化¾反馈校正3回顾-预测控制基本原理•预测模型-模型表达：输入（包括操作变量和可测扰动）输出之间的定量关系-模型结构：无限制、阶跃/脉冲响应、传递函数、状态方程等-模型功能：根据当前已知信息和假设未来输入预测系统未来输出-模型作用：作为不同控制策略下比较控制效果的基础预测模型输入输出4ƒ信号¾连续信号x(t)¾离散信号x(k)00.511.522.533.54-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.30.3500.511.522.533.54-0.15-0.1-0.0500.050.10.150.20.250.30.35预备知识5ƒ系统¾输入x(t)或x(k)¾输出y(t)或y(k)Systemx(t)y(t)预备知识6ƒ动态系统描述常微分方程传递函数脉冲响应阶跃响应频率响应状态方程等预备知识7ƒ系统特性线性齐次时不变预备知识8ƒLTI系统的描述(1)系统能否由h(k)唯一确定？换言之，h(k)是否足以描述系统？Systemu(k)y(k)()(){100}ukkδ==L012():(){}ykhkhhh==L预备知识9Systemu(k)y(k){00()0}uuk=LL{(0)(1)()}uuuuk=LLL():{100}ukδ==L012{()}{}yhkhhh==L{(0)00}uu=L012{(0)(0)(0)}yhuhuhu=L{010}u=L012{0}yhhh=L{0(1)0}uu=L012{0(1)(1)(1)}yhuhuhu=L012{0()()()}yhukhukhuk=LL:{()}?yyk==预备知识10{00()0}uuk=LL{(0)(1)()}uuuuk=LLL{(0)00}uu=L012{(0)(0)(0)}yhuhuhu=L{0(1)0}uu=L012{0(1)(1)(1)}yhuhuhu=L012{0()()()}yhukhukhuk=LL0()()kiiykhuki==−∑001012001(0)(0)(1)(1)(0)(2)(2)(1)(0)()()(1)(0())kiikyhuyhuhuyhuhuhuyhukikhukhukhu===+=++=+−−++=∑L:{()}?yyk==预备知识11系统可由hi唯一确定Systemu(k)y(k){(0)(1)()}uuuuk=LLL0()()kiiykhuki==−∑{(0)(1)()}yyyyk=LLL预备知识12ƒLTI系统的描述(2)系统能否由a(k)唯一确定？换言之，a(k)是否足以描述系统？Systemu(k)y(k)1(){111}uk==L012{()}{}yakaaa==L预备知识13预备知识系统可由a(k)唯一确定.Systemu(k)y(k)1(){111}uk==L012{()}{}yakaaa==L00()()kkiiiiakhukih===−=∑∑1()(1)iiihaiaiaa−=−−=−14预备知识系统可由a(k)唯一确定.1()(1)iiihaiaiaa−=−−=−00()()()kkikiiiykhukihui−===−=∑∑001012001(0)(0)(1)(1)(0)(2)(2)(1)(0)()()(1)(0())kiikyhuyhuhuyhuhuhuyhukikhukhukhu===+=++=+−−++=∑L000100000()()()(0)(1)()()()kkikikiiijkkiiiikkkiiiiykhuihujhuhuhukauiauki−−===−==−====Δ=Δ+Δ++Δ=Δ=Δ−∑∑∑∑∑∑∑L15主要内容•DMC算法–预测模型–滚动优化–反馈校正•单变量DMC算法设计•DMC参数设计16动态矩阵控制•预测模型–输入输出模型–假设未来输入预测未来输出•滚动时域优化•反馈校正17DMC-预测模型如何根据当前已知信息和假设未来输入预测系统未来输出？预测模型输入输出阶跃响应＋比例叠加原理输出预测18DMC-预测模型阶跃响应＋比例叠加原理输出预测模型预测值：自由项（零输入响应）+强迫项（零状态响应）19阶跃响应采样•测量对象单位阶跃响应的采样值，T为采样周期•对于渐近稳定对象，N步之后对象稳定，即•对象动态信息可近似为有限集合•向量称为模型向量，N为建模时域{}1,1,1,L＝{}1230,,,,aaaL()1,2,iaaiTi==L()Nsaaa==∞{}12,,,NaaaL[]1,,TNaaa=L20输出预测(1)-零输入响应•在k时刻，假设控制作用保持不变时，对未来N个时刻的输出有初始预测值0(|)1,2,,ykikiN+=%Lk+Nkk000(|)(1|)(|)ykNkykNkyk+=++==∞%%%L注意：21输出预测(2)–零状态响应k时刻：控制有一增量△v(k)，计算未来时刻的输出值0(|)(|)1(),,iiykikykiNakiuk+Δ+=+=%%L线性叠加原理22在M个连续的控制增量作用下，未来各时刻的输出值为：(),,(1)ukukMΔΔ+−Lmin(,10)1(1)(|)(|),1,,MiijjMykikykiaukiNkj−+=×Δ+=++=+−∑%%L输出预测(3)–输出预测值23预测控制基本原理•预测模型•滚动时域优化–以滚动方式对未来有限时域进行优化–在线计算并实现当前控制作用•反馈校正24DMC-滚动时域优化25(),,(1)ukukMΔΔ+−L每一时刻，确定从该时刻起的M个控制增量使得被控对象在其作用下：因此，k时刻优化性能指标（惩罚跟踪误差与调节幅度）：其中为权系数，分别表示对跟踪误差及控制量变化的抑制。,ijqr„未来P个时刻:„(|)()Mykikwki+→+%0uΔ→优化目标函数[]2211min()()(|)(1)PMMijijJkwkiykikukjqr===+−++Δ+−∑∑%26优化问题(1)[]2211min()()(|)(1)PMiMjijJkqwkiykikrukj===+−++Δ+−∑∑%min(,)011..(|)(|)(1)MiMijistykikykikaukj−+=+=++×Δ+−∑%%无约束优化问题：求优化变量：[]()(),,(1)TMUkukukMΔ=ΔΔ+−L27优化问题(2)[]2211min()()(|)(1)PMiMjijJkqwkiykikrukj===+−++Δ+−∑∑%min(,)011minmaxminmax..(|)(|)(1)(|)(1)MiMijiiMijjstykikykikaukjyykikyuukju−+=+=++×Δ+−≤+≤Δ≤Δ+−≤Δ∑%%%约束优化问题：求优化变量：[]()(),,(1)TMUkukukMΔ=ΔΔ+−L28无约束优化问题求解(1)思路：代入预测方程，对控制向量求导[]2211min()()(|)(1)PMiMjijJkqwkiykikrukj===+−++Δ+−∑∑%min(,)011..(|)(|)(1)MiMijistykikykikaukj−+=+=++×Δ+−∑%%2min(,)201111()()((|)(1))(1)PMMiiijjiijJkqwkiykikaukjrukj−+===⎡⎤=+−++×Δ+−+Δ+−⎣⎦∑∑∑%()()0jdJkdukΔ=[]()(),,(1)TMUkukukMΔ=ΔΔ+−L29无约束优化问题求解(2)首先，写出预测模型向量形式：0()()()MPPMykykAuk=+Δ%%其中0101010(1|)(1|)()()(|)(|)MMPPMMPPMaykkykkykykAaaykPkykPkaa−+⎡⎤⎢⎥++⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥===⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢⎥++⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥⎣⎦%%MO%%MML%%MLA是由阶跃响应系数组成的矩阵，称为动态矩阵。iaPM×性能指标写成向量形式：22min()()()MPPMRQJkwkykU=−+Δ%[]()(1)()TPwkwkwkP=++L其中11(,,),(,,)PMQdiagqqRdiagrr==LL30无约束优化问题求解(3)0..()()()MPPMstykykAuk=+Δ%%22min()()()MPPMRQJkwkykU=−+Δ%将式(2)代入式(1)可得：(1)(2)022min()()()()PPMMRQJkwkykAUkU=−−Δ+Δ%由极值必要条件可得：()()0MdJkdUkΔ=01()()()()TTMPPUkAQARAQwkyk−⎡⎤Δ=+−⎣⎦%(),,(1)ukukMΔΔ+−L获得的最优值。31无约束优化问题求解(4)()()00()()()()()()()TTPPMPPMMMJkwkykAUkQwkykAUkURU=−−Δ−−Δ+ΔΔ%%0(()()())0TPMPMAQykAUkwkRU+Δ−+Δ=%01()()()()TTMPPUkAQARAQwkyk−⎡⎤Δ=+−⎣⎦%()()0jdJkdukΔ=022()()()()PPMMRQJkwkykAUkU=−−Δ+Δ%32滚动实施DMC只取即时控制增量构成实际控制()uk01()()()[()()]TTTTTMPPdukcUkcAQARAQwkyk−Δ=Δ=+−%144424443Δ()(1)()ukukuk=−+Δ到下一时刻，提出类似的优化问题，求解(1)ukΔ+()uk其中，M维行向量表示取首元素的运算[]100Tc=LP维行向量为控制向量[]11(),,TTTTPdcAQARAQdd−=+L(3)一旦优化策略确定（即P、M、Q、R已定），则可一次离线计算出。在线求解就可简化为直接计算控制律(3)。Td33预测控制基本原理•预测模型•滚动时域优化•反馈校正–每一时刻检测实际输出–以预测误差补偿对未来输出的预测34DMC-反馈校正35反馈校正•模型失配•环境干扰…利用实时信息对基于模型的预测进行修正，再进行新的优化。•预测模型(不变)+未来的误差•直接修改预测模型(在线辨识）36反馈校正－校正误差k时刻:把控制作用u(k)加于对象,利用预测模型可知其作用下未来时刻的输出预测值10()()()NNykykauk=+Δ%%一步滚动后,它们可作为时刻k+1的初始预测值k+1时刻：检测对象的实际输出y(k+1),与模型预测值相比较，得到输出误差：1(1|)ykk+%1(1)(1)(1|)ekykykk+=+−+%37反馈校正－修正方式采用对误差e(k+1)加权的方式修正对未来的预测1(1)()(1)corNykykhek+=++%%1[]TNhhh=L(1|1)(1)(|1)corcorcorykkykykNk++⎡⎤⎢⎥+=⎢⎥⎢⎥++⎣⎦%%M%其中38反馈校正－状态更新k+1时刻：预测未来时间点转移到k+2,…,k+1+N0(1|1)(1|1)1,2,,1corykikykikiN+++=+++=−%%L0(1|1)(|1)corykNkykNk+++≈++%%设置初始预测值：0(1)(1)NcorykSyk+=+%%其中01001001S⎡⎤⎢⎥⎢⎥=⎢⎥⎢⎥⎣⎦OOMLk+1时刻的初始预测值按以上步骤可进行k+1时刻的优化计算，计算。(1)ukΔ+39DMC算法•基于预测模型和线性系统比例、叠加性质的输出预测•基于最优跟踪和控制软约束性能指标的在线滚动优化•基于实时检测信息的误差预测与校正40主要内容•DMC算法•单变量DMC算法设计•DMC参数设计41单变量DMC预测模型42单变量DMC滚动优化0..()()()MPPMstykykAuk=+Δ%%22min()()()MPPMRQJkwkykU=−+Δ%43单变量DMC反馈校正1(1)()(1)corNykykhek+=++%%0(1)(1)NcorykSyk+=+%%44单变量DMC(1)1.预测输出0010201()()11(1|)(1|)00()(2|)(2|)0(1)(|)(|)(1)