2018-2019学年河南省南阳市高三(上)期末数学试卷(文科)

第1页，共17页2018-2019学年河南省南阳市高三（上）期末数学试卷（文科）副标题题号一二三总分得分一、选择题（本大题共12小题，共60.0分）1.设集合A={x|-2＜x＜3，x∈Z}，B={-2，-1，0，1，2，3}，则集合A∩B为（）A.{-2，-1，0，1，2}B.{-1，0，1，2}C.{-1，0，1，2，3}D.{-2，-1，0，1，2，3}2.已知复数（i是虚数单位），则z的共轭复数=（）A.B.C.D.3.三世纪中期，魏晋时期的数学家刘徽首创割圆术，为计算圆周率建立了严密的理论和完善的算法．所谓割圆术，就是不断倍增圆内接正多边形的边数求出圆周率的方法．如图是刘徽利用正六边形计算圆周率时所画的示意图，现向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形的概率为（）A.B.C.D.4.已知平面向量=（1，2），=（-2，m），且∥，则|+|=（）A.B.2C.3D.45.若双曲线（a＞0）的一条渐近线与直线垂直，则此双曲线的实轴长为（）A.2B.4C.18D.366.如图，网格纸上小正方形的边长为1，粗线画出的是某几何体的三视图，则这个几何体的外接球体积为（）A.4πB.C.D.7.函数f（x）=的部分图象大致为（）第2页，共17页A.B.C.D.8.已知函数f（x）=sin（ωx+φ）（ω＞0，|φ|＜）图象上相邻的两条对称轴之间的距离为，且若将y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到的图象关于y轴对称，那么函数y=f（x）的图象（）A.关于点（）对称B.关于点（-）对称C.关于直线x=对称D.关于直线x=-对称9.已知两点M（-1，0），N（1，0）若直线3x-4y+m=0上存在点P满足，则实数m的取值范围是（）A.（-∞，-5]∪[5，+∞）B.（-∞，-25]∪[25，+∞）C.[-25，25]D.[-5，5]10.已知数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，数列{bn}满足关系，数列{bn}的前n项和为Sn，则S5的值为（）A.-454B.-450C.-446D.-44211.已知F1，F2分别为椭圆+=1（a＞b＞0）的左、右焦点，点P是椭圆上位于第一象限内的点，延长PF2交椭圆于点Q，若PF1⊥PQ且|PF1|=|PQ|，则椭圆的离心率为（）A.2B.C.D.12.已知函数恰有3个零点，则实数a的取值范围为（）A.B.C.D.三、解答题（本大题共7小题，共82.0分）13.已知a，b，c分别为△ABC三个内角A，B，C的对边，向量，且．（1）求角C的大小；第3页，共17页（2）若sinA+sinB=2sinC，且△ABC面积为，求边c的长．14.某网购平台为了解某市居民在该平台的消费情况，从该市使用其平台且每周平均消费额超过100元的人员中随机抽取了100名，并绘制右图所示频率分布直方图，已知中间三组的人数可构成等差数列．（1）求m，n的值；（2）分析人员对100名调查对象的性别进行统计发现，消费金额不低于300元的男性有20人，低于300元的男性有25人，根据统计数据完成下列2×2列联表，并判断是否有99%的把握认为消费金额与性别有关？（3）分析人员对抽取对象每周的消费金额y与年龄x进一步分析，发现他们线性相关，得到回归方程．已知100名使用者的平均年龄为38岁，试判断一名年龄为25岁的年轻人每周的平均消费金额为多少．（同一组数据用该区间的中点值代替）2×2列联表男女合计消费金额≥300消费金额＜300合计临界值表：P（K2≥k0）0.0500.0100.001k03.8416.63510.828，其中n=a+b+c+d第4页，共17页15.如图，在三棱锥S-ABC中，侧面SAB与侧面SAC均为边长为2的等边三角形，∠BAC=90°，O为BC中点．（Ⅰ）证明：AC⊥SO；（Ⅱ）求点C到平面SAB的距离．16.过抛物线C：x2=2py（p＞0）的焦点F作直线l与抛物线C交于A，B两点，当点A的纵坐标为1时，|AF|=2．（1）求抛物线C的方程；（2）若直线l的斜率为3，问抛物线C上是否存在一点M，使得MA⊥MB，并说明理由．17.已知函数f（x）=lnx-ax+a，a∈R．（1）求函数f（x）的单调区间；（2）当x≥1时，函数g（x）=（x+1）f（x）-lnx的图象恒不在x轴的上方，求实数a的取值范围．第5页，共17页18.在平面直角坐标系xOy中，已知直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，直线l与曲线C交于A，B两点．（1）求直线ll的普通方程和曲线C的直角坐标方程；（2）已知点P的极坐标为，求|PA|•|PB|的值．19.已知函数f（x）=|x-3|+|x+4|．（1）求f（x）≥f（4）的解集；（2）设函数g（x）=k（x-3）（k∈R），若f（x）＞g（x）对∀x∈R成立，求实数k的取值范围第6页，共17页答案和解析1.【答案】B【解析】解：集合A={x|-2＜x＜3，x∈Z}={-1，0，1，2}B={-2，-1，0，1，2，3}，则集合A∩B={-1，0，1，2}．故选：B．化简集合A，再由交集的定义，即可得到所求集合．本题考查集合的交集的求法，注意运用化简变形和定义法，考查运算能力，属于基础题．2.【答案】D【解析】解：∵=，∴，故选：D．利用复数代数形式的乘除运算化简求得z，再由共轭复数的概念得答案．本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，是基础题．3.【答案】A【解析】解：如图，设正六边形的边长为r，则圆的半径为r，圆面积为πr2，正六边形的面积为．∴向圆中随机投掷一个点，则该点落在正六边形的概率为．故选：A．第7页，共17页设正六边形的边长，得到圆的半径，分别求出正六边形及圆的面积，由测度比为面积比得答案．本题考查几何概型概率的求法，是基础的计算题．4.【答案】A【解析】解：平面向量=（1，2），=（-2，m），且∥，可得m=-4，|+|=|（-1，-2）|=．故选：A．利用向量共线，求出m，然后求解向量的模．本题考查向量共线以及向量的模的求法，是基础题．5.【答案】C【解析】【分析】根据双曲线的一条渐近线与直线垂直，求出a，然后求解双曲线的实轴长．本题给出双曲线的渐近线方程，求双曲线的离心率，考查了双曲线的标准方程与简单几何性质等知识，属于基础题．【解答】解：∵双曲线（a＞0）的一条渐近线与直线垂直，∴双曲线的渐近线方程为3y=±ax，∴，得a=9，∴2a=18．故选C．6.【答案】B【解析】解：几何体为三棱锥，直观图如图所示：其中PA⊥底面ABCD，是正方体的一部分，棱长为：2，棱锥的外接球就是正方体的外接球，球第8页，共17页的直径为：=，∴外接球半径R=．∴外接球的体积V=πR3=．故选：B．作出几何体的直观图，得出外接球的半径，代入体积公式计算得出答案．本题考查了棱锥的三视图，棱锥与外接球的位置关系，体积公式，属于中档题．7.【答案】A【解析】解：数f（x）=满足f（-x）=f（x），故函数图象关于y轴对称，排除B，D；当x∈（0，）时，f（x）=＜0，排除C，故选：A．分析函数的奇偶性，及x∈（0，）时函数的符号，利用排除法可得答案．本题考查的知识点是函数的图象，根据已知分析出函数的奇偶性，是解答的关键．8.【答案】A【解析】解：由函数y=f（x）图象相邻两条对称轴之间的距离为，可知其周期为π，所以ω==2，所以f（x）=sin（2x+φ）；将函数y=f（x）的图象向左平移个单位后，得到函数y=sin[2（x+）+φ]图象．因为得到的图象关于y轴对称，所以2×+φ=kπ+，k∈Z，即φ=kπ-，k∈Z；又|φ|＜，所以φ=-，第9页，共17页所以f（x）=sin（2x-），令2x-=kπ，k∈Z，解得x=-，k∈Z；k=0时，得f（x）的图象关于点（，0）对称，A正确．故选：A．由函数y=f（x）的图象与性质求出T、ω和φ，写出函数y=f（x）的解析式，再求f（x）的对称轴和对称中心．本题考查了三角函数的图象与性质的应用问题，是基础题．9.【答案】D【解析】解：∵两点M（-1，0），N（1，0）若直线3x-4y+m=0上存在点P满足∴此题转化为直线3x-4y+m=0与圆x2+y2=1相交时m的范围即原点（0，0）到直线3x-4y+m=0的距离小于等于半径即解得：-5≤m≤5故选：D．根据直线3x-4y+m=0上存在点P满足，知此题转化为直线3x-4y+m=0与圆x2+y2=1相交时m的范围即可本题考查了向量在几何中的应用，直线与圆的位置关系，属于基础题．10.【答案】B【解析】解：数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，∴an=1+2（n-1）=2n-1．数列{bn}满足关系，∴n≥2时，++…+=，可得：=-，可得bn=（1-2n）•2n．n=1时，=，解得b1=2．第10页，共17页S5=2-3×22-5×23-7×24-9×25=-450．故选：B．数列{an}是首项为1，公差为2的等差数列，可得an=2n-1．数列{bn}满足关系，n≥2时，++…+=，可得：=-，可得bn=（1-2n）•2n．n=1时，可得b1，即可得出．本题考查了等差数列的通项公式、数列递推关系、数列求和，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．11.【答案】D【解析】【分析】本题考查椭圆的定义、方程和性质，主要是离心率的求法，考查等腰直角三角形的性质和勾股定理，以及运算求解能力，属于中档题．由题意可得△PQF1为等腰直角三角形，设|PF1|=t，|QF1|=m，运用椭圆的定义可得|PF2|=2a-t，|QF2|=2a-m，再由等腰直角三角形的性质和勾股定理，计算可得离心率．【解答】解：PF1⊥PQ且|PF1|=|PQ|，可得△PQF1为等腰直角三角形，设|PF1|=t，|QF1|=m，由椭圆的定义可得|PF2|=2a-t，|QF2|=2a-m，即有t=4a-t-m，m=t，则t=2（2-）a，在直角三角形PF1F2中，可得t2+（2a-t）2=4c2，4（6-4）a2+（12-8）a2=4c2，化为c2=（9-6）a2，可得e==-．故选D．第11页，共17页12.【答案】A【解析】解：函数，当x≤-2时，，函数y=的图象如图：方程至多一个解，此时满足1＜-3a≤2，可得a∈[-，-）．当x∈（-2，0）时，，即a=xex，y=xex，可得y′=ex（1+x），令ex（1+x）=0，可得x=-1，x∈（-2，-1）时，y′＜0，函数是减函数，x∈（-1，0）时，函数是增函数，所以函数的最小值为f(-1)=-，又x=-2时，y=，所以由方程有两个解，可得a∈，综上，函数恰有3个零点，满足a∈.故选：A．第12页，共17页利用分段函数，画出函数的图象，判断零点个数求解a的范围即可．本题考查函数的导数的应用，函数的最值以及函数的单调性的判断，函数的零点的求法，考查计算能力．1.【答案】解：（1）因为sinBcosA=sin（A+B）=sin2C，在三角形ABC中有：sin（A+B）=sinC，从而有sinC=2sinCcosC，即，则C=60°；（2）由sinA+sinB=2sinC，结合正弦定理知：a+b=2c，又，知：ab=36，根据余弦定理可知：c2=a2+b2-2abcosC=（a+b）2-3ab=4c2-108，解得：c=6．【解析】（1）利用平面向量数量积的运算，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式可求有sinC=2sinCcosC，可求，进而可求C的值．（2）由已知结合正弦定理知：a+b=2c，利用三角形面积公式可求ab的值，再根据余弦定理可求c的值．本题主要考查了平面向量数量积的运算，三角形内角和定理，两角和的正弦函数公式，正弦定理，三角形面积公式，余弦定理在解三角形中的应用，考查了转化思想，属于中档题．1.【答案】解：（1）由频率分布直方图可知，m+n=0.01-0.0015×2-0.001=0.006，由中间三组的人数成等差数列可知m+0.0015=2n，可解得m=0.003