二面角求法大全

1二二面面角角求求法法之之面面面面观观求解二面角是立体几何中最基本、最重要的题型，也是各地高考中的“热点”问题，虽然对此可说是“千锤百炼”，但我们必须面对新的情境、新的变化，如何以基本方法的“不变”去应对题目中的“万变”就是我们研究的中心话题.总的来说，求解二面角的大体步骤为：“作、证、求”.其中“作、证”是关键也是难点，“求”依靠的计算，也决不能忽视，否则因小失大，功亏一篑，也是十分遗憾之事.1定义法即在二面角的棱上找一点，在二面角的两个面内分别作棱的射线即得二面角的平面角.定义法是“众法之源”，万变不离其宗，“树高千尺，叶落归根”，求二面角的一切方法盖源出定义这个“根”！.例1正方体ABCD-A1B1C1D1中，求二面角A-BD-C1的正切值为.分析与略解：“小题”不必“大做”，由图1知所求二面角为二面角C-BD-C1的“补角”.教材中根本就没有“二面角的补角”这个概念，但通过几何直观又很容易理解其意义，这就叫做直觉思维，在立体几何中必须发展这种重要的思维能力.易知∠COC1是二面角C-BD-C1的平面角，且tan∠COC1=2。将题目略作变化，二面角A1-BD-C1的余弦值为.在图1中，∠A1OC1是二面角A1-BD-C1的平面角，设出正方体的棱长，用余弦定理易求得cos∠A1OC1=31例2(2006年江苏试题)如图2(1)，在正三角形ABC中，E、F、P分别是AB、AC、BC上的点，满足AE：EB=CF：FA=CP：BP=1：2.如图2(2)，将△AEF折起到△A1EF的位置，使二面角A1-EF-B成直二面角，连接A1B、A1P.(Ⅰ)与(Ⅱ)略；(Ⅲ)求二面角B-A1P-F的余弦值。分析与略解：在例1中，图形的对称和谐状态对解题产生了很好的启迪作用，在这里更离不开图形的这种对称和谐性.若取BP的中点Q，连接EQ，则在正三角形ABC中，很容易证得△BEQ≌△PEQ≌△PEF≌△AEF，那么在图2(2)中，有A1Q=A1F.作FM⊥A1P于M，连接QH、QF，则易得△A1QP≌△A1FP，△QMP≌△FMP，所以∠PMQ=∠PMF=90o，∠QMF为二面角B-A1P-F的平面角，使题解取得了突破性的进展.设正三角形的边长为3，依次可求得A1P=5，QM=FM=552，在△QMF中，由余弦定理得cos∠QMF=87。练习：2011广东高考理18.(本小题满分13分)如图5.在锥体P-ABCD中，ABCD是边长为1的菱形，且∠DAB=60，2PAPD,PB=2,E,F分别是BC,PC的中点.DB1图1AOA1CBD1C1O1MAFA1QPBCECBPEF图2(2)图2(1)Q2(1)证明：AD平面DEF;(2)求二面角P-AD-B的余弦值.解：(2)由（1）知PGB为二面角PADB的平面角，在RtPGA中，222172()24PG；在RtBGA中，222131()24BG；在PGB中，22221cos27PGBGPBPGBPGBG.2三垂线法这是最典型也是最常用的方法，当然此法仍扎“根”于二面角平面角的定义.此法最基本的一个模型为：如图3，设锐二面角l，过面内一点P作PA⊥于A，作AB⊥l于B，连接PB，由三垂线定理得PB⊥l，则∠PBA为二面角l的平面角，故称此法为三垂线法.最重要的是在“变形(形状改变)”和“变位(位置变化)”中能迅速作出所求二面角的平面角，再在该角所在的三角形(最好是直角三角形，如图3中的Rt△PAB)中求解.对于钝二面角也完全可以用这种方法，锐角的补角不就是钝角吗？例3(2006年陕西试题)如图4，平面⊥平面，∩=l，A∈，B∈，点A在直线l上的射影为A1，点B在l的射影为B1，已知AB=2，AA1=1，BB1=2，求：(Ⅰ)略；(Ⅱ)二面角A1－AB－B1的正弦值.分析与略解：所求二面角的棱为AB，不像图3的那样一看就明白的状态，但本质却是一样的，对本质的观察能力反映的是思维的深刻性.作A1E⊥AB1于AB1于E，则可证A1E⊥平面AB1B.过E作EF⊥AB交AB于F，连接A1F，则得A1F⊥AB，∴∠A1FE就是所求二面角的平面角.依次可求得AB1=B1B=2，A1B=3，A1E=22，A1F=23，则在Rt△A1EF中，sin∠A1FE=A1EA1F=63.与图3中的Rt△PAB比较，这里的Rt△A1EF就发生了“变形”和“变位”，所以要有应对各种变化，乃至更复杂变化的思想准备.3垂面法事实上，图1中的平面COC1、图2(2)中的平面QMF、图3中的平面PAB、图4中的平面A1FE都是相关二面角棱的垂面，这种通过作二面角棱的垂面得平面角的方法就叫做垂面法.在某些情况下用这种方法可取得良好的效果.例4空间的点P到二面角l的面、及棱l的距离分别为4、3、3392，求二面角l的大小.A图3PBl图4B1AA1BlEFP图5lCBAPAＳBＳCＳDＳFGPAＳBＳCＳDＳFE3分析与略解：如图5，分别作PA⊥于A，PB⊥于B，则易知l⊥平面PAB，设l∩平面PAB=C，连接PC，则l⊥PC.分别在Rt△PAC、Rt△PBC中，PC=3392，PA=4，PB=3，则AC=332，BC=335.因为P、A、C、B四点共圆，且PC为直径，设PC=2R，二面角l的大小为.分别在△PAB、△ABC中，由余弦定理得AB2=AC2+BC2-2·AC·BCcos=PA2+PB2-2·PA·PBcos()，则可解得cos=21，=120o，二面角l的大小为120o.4面积法如图1，设二面角C-BD-C1的大小为，则在Rt△COC1中，cosBDCCBDSSBDOCBDCOOCCO1112121，在某些情况下用此法特别方便.例5如图6，平面外的△A1B1C1在内的射影是边长为1的正三角形ABC，且AA1=2，BB1=3，CC1=4，求△A1B1C1所在的平面与平面所成锐二面角的余弦值分析与略解：问题的情境很容易使人想到用面积法，分别在BB1、CC1取BD=CE=AA1，则△A1B1C1≌△A1DE，可求得A1B=2，A1C1=5，B1C1=2，所以等腰△A1B1C1的面积为415，又正△ABC的面积为43.设所求二面角的大小为，则cos=55.5变式二面角的求法以上列举了求解二面角的四种基本方法，但在现实中，问题往往不是那么简单与单纯，而是有诸多的变化，“源于基本方法，适应各种变化”就是我们总的策略.5.1“无棱”二面角的求法严格地说，任何二面角都是有棱的，“无棱”其实是指二面角的棱处于隐含的状态.对于这样的问题，有两种处理办法：(1)用面积法，见例5；(2)找出隐含的棱，此法可称为“找棱法”.在例5中，延长C1B1和C1A1分别交CB和CA的延长线于G、H，连GH.作CM⊥GH于M，连C1M，C1M⊥GH，则∠CMC1是所求二面角的平面角.由平几知识得CG=4，CH=2，则△CGH的面积为32，又△CGH的面积为21CH·CM.DAM图6ECBC1A1B1HG4又由余弦定理得GH=32，所以CM=2，则在Rt△CMC1中，cos=55.在原图中，面A1B1C1与的公共点都不知道，所以必须找出它们的两个公共点，才能找到二面角的棱；而在另一些问题中，知道两个面的一个公共点，那么只须再找出另一个公共点就可以了.面积法比找棱法似乎要简单些，但看问题不能简单化，例5的第二种解法是非常重要的一种方法，其中蕴涵的知识和技能的“营养”对于滋补人大大脑是十分有价值的，所以决不要忽视找棱法.5.2有关二面角的最值问题求最值是代数、三角、解几的“热点”问题，殊不知立体几何中也有引人入胜的最值问题.例6二面角-l-的大小是变量)20(，点B、C在l上，A、D分别在面、内，且AD⊥BC，AD与面成6角，若△ABC的面积为定值S，求△BCD面积Q的最大值.分析与略解：如图9，作AE⊥BC于E，连DE，则由AD⊥BC得BC⊥平面ADE，则DE⊥BC，∠AED=，∠ADE=6.在△AED中，由正弦定理得6sin)6sin(AEDE，所以)6sin(2,6sin)6sin(SQSQ，则当3时，有Qmax=2S.△BCD和△ABC有公共的底边BC，则它们的面积比等于对应高之比，这是简单的平几知识，但用在这里却发挥了以简驭繁的奇妙功能.三角函数与正弦定理给题目注入了新的活力.图7EDCBAl