八年级上册分式专题讲义

1八年级上册分式专题讲义一、分式的定义：如果A、B表示两个整式，并且B中含有字母，那么式子BA叫做分式.例1.下列各式a，11x，15x+y，22abab，-3x2，0中，是分式的有______个二、分式有意义的条件是分母不为零：（B≠0）分式没有意义的条件是分母等于零.（B=0）分式值为零的条件分子为零且分母不为零.(B≠0且A=0,即分子零分母不零)例1.下列分式，当x取何值时有意义.（1）2132xx（2）2323xx练习1．当x______时，分式2134xx无意义，当x_______时，分式2212xxx的值为零.练习2.下列各式中，无论x取何值，分式都有意义的是（）A．121xB．21xxC．231xxD．2221xx中考链接：（2007昆明，10，3分）当x________时，分式13x有意义.（2014昆明，12，3分）要使分式101x有意义，则x的取值范围是.2三、分式的基本性质：分式的分子与分母同乘或除以一个不等于0的整式，分式的值不变.（C≠0）（C≠0）四、分式的通分和约分：关键是因式分解分式的约分定义：根据分式的基本性质，把一个分式的分子与分母的公因式约去，叫做分式的约分.如果一个分式中没有可约的因式，则为最简分式.步骤：把分式分子分母因式分解，然后约去分子与分母的公因式.注意：①分式的分子与分母为单项式时可直接约分，约去分子、分母系数的最大公约数，然后约去分子分母相同因式的最低次幂.②分子分母若为多项式，约分时先对分子分母进行因式分解，再约分.分式的通分定义：根据分式的基本性质，把几个异分母的分式分别化成同分母分式（分式值不变）.步骤：分式的通分最主要的步骤是最简公分母的确定.最简公分母的定义：取各分母所有因式的最高次幂的积作公分母，这样的公分母叫做最简公分母.确定最简公分母的一般步骤：①取各分母系数的最小公倍数；②单独出现的字母（或含有字母的式子）的幂的因式连同它的指数作为一个因式；③相同字母（或含有字母的式子）的幂的因式取指数最大的；④保证凡出现的字母（或含有字母的式子）为底的幂的因式都要取；注意：分式的分母为多项式时，一般应先因式分解.CBCABACBCABA3例1.分式434yxa，2411xx，22xxyyxy，2222aababb中是最简分式的有个.练习1.约分：（1）22699xxx（2）2232mmmm练习2.通分：（1）26xab，29yabc（2）2121aaa，261a例2.已知1x-1y=3，求5352xxyyxxyy的值.五、分式的运算分式乘法法则：分式乘分式，用分子的积作为积的分子，分母的积作为分母.分式除法法则：分式除以分式，把除式的分子、分母颠倒位置后，与被除式相乘.分式乘方法则：分式乘方要把分子、分母分别乘方.bcadcdbadcba分式的加减法则：同分母的分式相加减，分母不变，把分子相加减.异分母的分式相加减，先通分，变为同分母分式，然后再加减.cbacbcabdbcadbdbcbdaddcba混合运算:运算顺序和以前一样.能用运算率简算的可用运算率简算.bdacdcbannnbaba)(4例1.当分式211x-21x-11x的值等于零时，则x=_________.练习1．已知a+b=3，ab=1，则ab+ba的值等于_______.例2.计算：222xxx-2144xxx练习2.计算：21xx-x-1练习3.先化简，再求值:3aa-263aaa+3a，其中a=32练习4．计算34xxy+4xyyx-74yxy得（）A．-264xyxyB．264xyxyC．-2D．2练习5.计算a-b+22bab得（）A．22abbabB．a+bC．22ababD．a-b5中考链接：（2009昆明，17改编，6分)化简，求值：x6)1x11x1(x3x3，其中x＝23（2010昆明，12，3分）化简：1(1)1aa（2011昆明，13，3分）计算：2()ababaabab错误!未找到引用源。=（2012昆明，15,5分）化简求值：211()(1)11xxx，其中12x（2013昆明，12，3分）化简：xxx2422__________（2014昆明，17，5分）先化简，再求值：1)11(22aaa，其中3a（2015昆明，12,3分）计算：222223baababa6六、任何一个不等于零的数的零次幂等于1,即：a0=1(a≠0)当n为正整数时，nnaa1(a≠0)例1.计算:10123)326(34例2.若25102x,则x10等于()A.51B.51C.501D.6251练习1.若31aa,则22aa等于()A.9B.1C.7D.11中考链接：（2009昆明，16，5分）(2009×2008－1)0＋(－2)－1（2010昆明，16，5分）1021()32010(2)4（2011昆明，16，5分）102011112()(21)(1)27（2012昆明，3，3分）判断正误：B.236D.014（2013昆明，15，5分）计算：30sin2)31()1()12(120130（2014昆明，15，5分）计算：45cos221)3(|2|10）（（2015昆明，15，5分）计算：20201521619七、正整数指数幂运算性质也可以推广到整数指数幂(m,n是整数)（1）同底数的幂的乘法：nmnmaaa；（2）幂的乘方：mnnmaa)(；（3）积的乘方：nnnbaab)(；（4）同底数的幂的除法：nmnmaaa(a≠0)；（5）商的乘方：nnnbaba)((b≠0)；8（2009昆明，5，3分）判断正误：D．(－nm)2＝n2m2（2010昆明，7，3分）判断正误：D．2236()(0)aaa八、科学记数法：把一个数表示成na10的形式（其中101a，n是整数）的记数方法叫做科学记数法.1、用科学记数法表示绝对值大于10的n位整数时，其中10的指数是1n.2、用科学记数法表示绝对值小于1的正小数时,其中10的指数是第一个非0数字前面0的个数(包括小数点前面的一个0).例1.人类的遗传物质就是DNA,人类的DNA是很长的链,最短的22号染色体也长达3000000个核苷酸,3000000用科学记数法表示是___________.练习1．自从扫描隧道显微镜发明后，世界上便诞生了一门新学科，这就是“纳米技术”，已知52个纳米的长度为0.000000052米,用科学记数法表示0.000000052为_________.九、分式方程：分母中含未知数的方程——分式方程1、解分式方程的过程，实质上是将方程两边同乘以一个整式（最简公分母），把分式方程转化为整式方程.2、解分式方程时，方程两边同乘以最简公分母时，最简公分母有可能为０，这样就产生了增根，因此分式方程一定要验根.93、解分式方程的步骤：（1）在方程的两边都乘以最简公分母，约去分母，化成整式方程.（2）解这个整式方程.（3）把整式方程的根代入最简公分母，看结果是不是为零，使最简公分母为零的根是原方程的增根，必须舍去.（4）写出原方程的根.增根应满足两个条件：一是其值应使最简公分母为0，二是其值应是去分母后所的整式方程的根.4、分式方程检验方法：将整式方程的解带入最简公分母，如果最简公分母的值不为0，则整式方程的解是原分式方程的解；否则，这个解不是原分式方程的解.例1.解方程（1）623xx（2）1613122xxx（3）01152xx（4）xxx38741836中考链接：（2009昆明，12，3分）分式方程2x－3＋1＝0的解是.10（2011昆明，17，3分）解方程：31122xx错误!未找到引用源。十、分式应用题（一）步骤(1)审：分析题意,找出研究对象，建立等量关系；(2)设：选择恰当的未知数,注意单位；(3)列：根据等量关系正确列出方程；(4)解：认真仔细；(5)检：不要忘记检验；（6）答：不要忘记（二）应用题的几种类型：1、工程问题基本公式：工作量=工作时间×工作效率.没有明确的工作总量时另工作总量为1例1.某车间加工1200个零件后，采用新工艺，工效是原来的1.5倍，这样加工同样多的零件就少用10小时，采用新工艺前后每时分别加工多少个零件？练习1.某化肥厂计划在规定日期内生产化肥120吨，由于采用了新技术，每天多生产化肥3吨，实际生产180吨与原计划生产120吨的时间相等，求计划每天生产多少吨化肥？11例2.一项工程要在限期内完成.如果第一组单独做,恰好按规定日期完成;如果第二组单独做,需要超过规定日期4天才能完成,如果两组合作3天后,剩下的工程由第二组单独做,正好在规定日期内完成,问规定日期是多少天?中考链接：（2010昆明，23，7分）去年入秋以来，云南省发生了百年一遇的旱灾，连续8个多月无有效降水，为抗旱救灾，某部队计划为驻地村民新修水渠3600米，为了水渠能尽快投入使用，实际工作效率是原计划工作效率的1.8倍，结果提前20天完成修水渠任务.问原计划每天修水渠多少米？12（2015昆明，21，6分）某部队将在指定山区进行军事演习，为了使道路便于部队重型车辆通过，部队工兵连接到抢修一段长3600米道路的任务，按原计划完成总任务的13后，为了让道路尽快投入使用，工兵连将工作效率提高了50%，一共用了10小时完成任务.(1)按原计划完成总任务的13时，已抢修道路米；(2)求原计划每小时抢修道路多少米.2、行程问题基本公式：路程=速度×时间而行程问题中又分相遇问题、追及问题、顺水逆水问题等。v顺水=v船+v水；v逆水=v船-v水例1.甲、乙两地相距19千米，某人从甲地去乙地，先步行7千米，然后改骑自行车，共用了2小时到达乙地，已知这个人骑自行车的速度是步行速度的4倍，求步行的速度和骑自行车的速度.13例2.已知轮船在静水中每小时行20千米，如果此船在某江中顺流航行72千米所用的时间与逆流航行48千米所用的时间相同，那么此江水每小时的流速是多少千米?练习1.甲、乙两组学生去距学校4.5千米的敬老院打扫卫生，甲组学生步行出发半小时后，乙组学生骑自行车开始出发，结果两组学生同时到达敬老院，如果步行的速度是骑自行车的速度的31，求步行和骑自行车的速度各是多少？练习2.从甲地到乙地的路程是15千米，A骑自行车从甲地到乙地先走，40分钟后，B骑自行车从甲地出发，结果同时到达.已知B的速度是A的速度的3倍，求两车的速度.143、价格问题基本公式：总价=数量×单价例1.重量相同的两种商品，分别价值900元和1500元,已知第一种商品每千克的价值比第二种少300元,分别求这两种商品每千克的价值.练习1.某种商品价格，每千克上涨1/3，上回用了15元，而这次则是30元，已知这次比上回多买5千克，求这次的价格.15练习2.小明和同学一起去书店买书，他们先用15元买了一种科普书，又用15元买了一种文学书，科普书的价格比文学书的价格高出一半，因此他们买的文学书比科普书多一本，这种科普和文学书的价格各是多少？中考链接：（2007昆明，23，7分）节日期间，文具店的一种笔记本8折优惠出售，某同学发现，同样花12元钱购买这种笔记本，节日期间正好可比节日前多买一本．这种笔记本节日前每本的售价是多少元？16（2013昆明，21，8分）某校七年级准备购买一批笔记本奖励优秀学生，在购买时发现，每本笔记本可以打九折，用360元钱购买的笔记本，打折后购买的数量比打折前多10本.（1）求打折前每本笔记本的售价是多少元？（2）由于考虑学生的需求不同，学校决定购买笔记本和笔袋共90件，笔袋每个原售价为6元，两种物品都打九折