圆与方程知识点整理

1关于圆与方程的知识点整理一、标准方程222xaybr1.求标准方程的方法——关键是求出圆心,ab和半径r①待定系数：往往已知圆上三点坐标，例如教材119P例2②利用平面几何性质往往涉及到直线与圆的位置关系，特别是：相切和相交相切：利用到圆心与切点的连线垂直直线相交：利用到点到直线的距离公式及垂径定理2.特殊位置的圆的标准方程设法（无需记，关键能理解）条件方程形式圆心在原点2220xyrr过原点2222220xaybabab圆心在x轴上2220xayrr圆心在y轴上2220xybrr圆心在x轴上且过原点2220xayaa圆心在y轴上且过原点2220xybbb与x轴相切2220xaybbb与y轴相切2220xaybaa与两坐标轴都相切2220xaybaab二、一般方程2222040xyDxEyFDEF1.220AxByCxyDxEyF表示圆方程则222200004040ABABCCDEAFDEFAAA2.求圆的一般方程一般可采用待定系数法：如教材122P例r43.2240DEF常可用来求有关参数的范围2三、点与圆的位置关系1.判断方法：点到圆心的距离d与半径r的大小关系dr点在圆内；dr点在圆上；dr点在圆外2.涉及最值：（1）圆外一点B，圆上一动点P，讨论PB的最值minPBBNBCrmaxPBBMBCr（2）圆内一点A，圆上一动点P，讨论PA的最值minPAANrACmaxPAAMrAC思考：过此A点作最短的弦？（此弦垂直AC）四、直线与圆的位置关系1.判断方法（d为圆心到直线的距离）（1）相离没有公共点0dr（2）相切只有一个公共点0dr（3）相交有两个公共点0dr这一知识点可以出如此题型：告诉你直线与圆相交让你求有关参数的范围.2.直线与圆相切（1）知识要点①基本图形②主要元素：切点坐标、切线方程、切线长等问题：直线l与圆C相切意味着什么？圆心C到直线l的距离恰好等于半径r（2）常见题型——求过定点的切线方程①切线条数点在圆外——两条；点在圆上——一条；点在圆内——无②求切线方程的方法及注意点．．．3i）点在圆外如定点00,Pxy，圆：222xaybr，[22200xaybr]第一步：设切线l方程00yykxx第二步：通过drk，从而得到切线方程特别注意：以上解题步骤仅对k存在有效，当k不存在时，应补上——千万不要漏了！如：过点1,1P作圆2246120xyxy的切线，求切线方程.答案：3410xy和1xii）点在圆上1）若点00xy，在圆222xyr上，则切线方程为200xxyyr会在选择题及填空题中运用，但一定要看清题目.2）若点00xy，在圆222xaybr上，则切线方程为200xaxaybybr碰到一般方程则可先将一般方程标准化，然后运用上述结果.由上述分析，我们知道：过一定点求某圆的切线方程，非常重要的第一步就是——判断点与圆的位置关系，得出切线的条数.③求切线长：利用基本图形，22222APCPrAPCPr求切点坐标：利用两个关系列出两个方程1ACAPACrkk3.直线与圆相交（1）求弦长及弦长的应用问题垂径定理．．．．及勾股定理——常用弦长公式：222121212114lkxxkxxxx（暂作了解，无需掌握）（2）判断直线与圆相交的一种特殊方法（一种巧合）：直线过定点，而定点恰好在圆内.（3）关于点的个数问题例：若圆22235xyr上有且仅有两个点到直线4320xy的距离为1，则半径r的取值范围是_________________.答案：4,64.直线与圆相离会对直线与圆相离作出判断（特别是涉及一些参数时）五、对称问题1.若圆222120xymxmym，关于直线10xy，则实数m的值为____.4答案：3（注意：1m时，2240DEF，故舍去）变式：已知点A是圆C:22450xyaxy上任意一点，A点关于直线210xy的对称点在圆C上，则实数a_________.2.圆22131xy关于直线0xy对称的曲线方程是________________.变式：已知圆1C：22421xy与圆2C：22241xy关于直线l对称，则直线l的方程为_______________.3.圆22311xy关于点2,3对称的曲线方程是__________________.4.已知直线l：yxb与圆C：221xy，问：是否存在实数b使自3,3A发出的光线被直线l反射后与圆C相切于点247,2525B？若存在，求出b的值；若不存在，试说明理由.六、最值问题方法主要有三种：（1）数形结合；（2）代换；（3）参数方程1.已知实数x，y满足方程22410xyx，求：（1）5yx的最大值和最小值；——看作斜率（2）yx的最小值；——截距（线性规划）（3）22xy的最大值和最小值.——两点间的距离的平方2.已知AOB中，3OB，4OA，5AB，点P是AOB内切圆上一点，求以PA，PB，PO为直径的三个圆面积之和的最大值和最小值.数形结合和参数方程两种方法均可！3.设,Pxy为圆2211xy上的任一点，欲使不等式0xyc恒成立，则c的取值范围是____________.答案：21c（数形结合和参数方程两种方法均可！）七、圆的参数方程222cos0sinxrxyrryr，为参数222cos0sinxarxaybrrybr，为参数八、相关应用1.若直线240mxny（m，nR），始终平分圆224240xyxy的周长，则mn的取值范围是______________.2.已知圆C：222440xyxy，问：是否存在斜率为1的直线l，使l被圆C截得的弦为AB，5以AB为直径的圆经过原点，若存在，写出直线l的方程，若不存在，说明理由.提示：12120xxyy或弦长公式2121dkxx.答案：10xy或40xy3.已知圆C：22341xy，点0,1A，0,1B，设P点是圆C上的动点，22dPAPB，求d的最值及对应的P点坐标.4.已知圆C：221225xy，直线l：211740mxmym（mR）（1）证明：不论m取什么值，直线l与圆C均有两个交点；（2）求其中弦长最短的直线方程.5.若直线yxk与曲线21xy恰有一个公共点，则k的取值范围.6.已知圆2260xyxym与直线230xy交于P，Q两点，O为坐标原点，问：是否存在实数m，使OPOQ，若存在，求出m的值；若不存在，说明理由.九、圆与圆的位置关系1.判断方法：几何法（d为圆心距）（1）12drr外离（2）12drr外切（3）1212rrdrr相交（4）12drr内切（5）12drr内含2.两圆公共弦所在直线方程圆1C：221110xyDxEyF，圆2C：222220xyDxEyF，则1212120DDxEEyFF为两相交圆公共弦方程.补充说明：若1C与2C相切，则表示其中一条公切线方程；若1C与2C相离，则表示连心线的中垂线方程.3圆系问题（1）过两圆1C：221110xyDxEyF和2C：222220xyDxEyF交点的圆系方程为22221112220xyDxEyFxyDxEyF（1）说明：1）上述圆系不包括2C；2）当1时，表示过两圆交点的直线方程（公共弦）（2）过直线0AxByC与圆220xyDxEyF交点的圆系方程为220xyDxEyFAxByC（3）有关圆系的简单应用（4）两圆公切线的条数问题①相内切时，有一条公切线；②相外切时，有三条公切线；③相交时，有两条公切线；④相离时，6有四条公切线（数学2必修）第四章圆与方程1一、选择题１．圆22(2)5xy关于原点(0,0)P对称的圆的方程为()A．22(2)5xyB．22(2)5xyC．22(2)(2)5xyD．22(2)5xy2．若)1,2(P为圆25)1(22yx的弦AB的中点，则直线AB的方程是（）A.03yxB.032yxC.01yxD.052yx3．圆012222yxyx上的点到直线2yx的距离最大值是（）A．2B．21C．221D．2214．将直线20xy，沿x轴向左平移1个单位，所得直线与圆22240xyxy相切，则实数的值为（）A．37或B．2或8C．0或10D．1或115．在坐标平面内，与点(1,2)A距离为1，且与点(3,1)B距离为2的直线共有（）A．1条B．2条C．3条D．4条6．圆0422xyx在点)3,1(P处的切线方程为（）A．023yxB．043yxC．043yxD．023yx二、填空题1．若经过点(1,0)P的直线与圆032422yxyx相切，则此直线在y轴上的截距是___.2．由动点P向圆221xy引两条切线,PAPB，切点分别为0,,60ABAPB，则动点P的轨迹方程为。3．圆心在直线270xy上的圆C与y轴交于两点(0,4),(0,2)AB,则圆C的方程为.４．已知圆4322yx和过原点的直线kxy的交点为,PQ则OQOP的值为_________。5．已知P是直线0843yx上的动点，,PAPB是圆012222yxyx的切线，,AB是切点，C是圆心，那么四边形PACB面积的最小值是________________。三、解答题1．点,Pab在直线01yx上，求22222baba的最小值。72．求以(1,2),(5,6)AB为直径两端点的圆的方程。3．求过点1,2A和1,10B且与直线012yx相切的圆的方程。4．已知圆C和y轴相切，圆心在直线03yx上，且被直线xy截得的弦长为72，求圆C的方程。（数学2必修）第四章圆与方程一、选择题1．若直线2yx被圆4)(22yax所截得的弦长为22,则实数a的值为（）A．1或3B．1或3C．2或6D．0或42．直线032yx与圆9)3()2(22yx交于,EF两点，则EOF（O是原点）的面积为（）A．23B．43C．52D．5563．直线l过点），（02，l与圆xyx222有两个交点时，斜率k的取值范围是()A．），（2222B．），（22C．），（4242D．），（81814．已知圆C的半径为2，圆心在x轴的正半轴上，直线0443yx与圆C相切，则圆C的方程为（）A．03222xyxB．0422xyx8C．03222xyxD．0422xyx5．若过定点)0,1(M且斜率为k的直线与圆05422yxx在第一象限内的部分有交点，则k的取值范围是（）A.50kB.05kC