《利用函数性质判定方程解的存在》教学设计

第1页共7页单元课题：函数与方程一、课标要求与教材分析这一节，是用函数来研究方程，具体研究的是方程的实数解，先是判断方程实数解的存在性，然后是求方程的近似解。方程f(x)=0的实数解就是函数f(x)的零点，解方程的过程（求方程的近似解）就是细化函数连续区间的过程。这样容易看出函数对方程的统领作用，使学生感受函数的核心地位。学生将通过本节学习，结合实际问题，感受运用函数概念简历模型的过程与方法，体会函数在数学和其他学科中的重要性，初步运用函数思想理解和处理现实生活中的简单问题。学生还将学习利用函数的性质求方程的近似解，体会函数与方程的有机联系，并为今后进一步学习函数与不等式等知识奠定了坚实的基础．二、学情分析高一学生在函数的学习中，常表现出不适，主要是数形结合与抽象思维尚不能胜任．具体表现为将函数孤立起来，认识不到函数在高中数学中的核心地位．例如一元二次方程根的分布问题，学生自然会想到韦达定理，而不是看二次函数的图象．函数与方程相联系的观点的建立，函数应用的意识的初步树立，就成了本节内容必须承载的任务．通过本节学习要让学生意识到“数学可以解决实际问题”并且也认识到“自己的数学知识还有待进一步提高”。三、教学目标1．知识与技能目标：（1）正确认识函数与方程的关系，求方程f(x)=0的实数解就是函数f(x)的零点，体会函数知识的核心作用。（2）能够利用函数的性质判定方程解得存在性（3）能够用二分法求方程的近似解，认识求方程近似解方法的意义。2．过程与方法目标：在近似计算的学习中感受近似，逼近和算法等数学思想的含义和作用。3．情感、态度和价值观目标：通过本节的学习，进一步拓展学生的视野，使他们体会数学不同内容之间是存在一定联系的。第2页共7页课时课题：利用函数性质判定方程解的存在一、教学目标：（1）知识与技能目标了解函数零点的概念；理解函数零点与方程的根之间的关系；掌握判断函数零点存在的方法；（2）过程与方法目标培养学生独立思考,自主观察和探究的能力；树立数形结合，函数与方程相结合的思想；（3）情感态度与价值观目标培养学生用联系的观点看待问题；感悟由具体到抽象、由特殊到一般地研究方法，形成严谨的科学态度。二、教学重点：函数零点与方程根之间的联系及零点存在的判定定理三、教学难点：探究发现零点存在条件，准确理解零点存在性定理四、教学方法与手段：实例引入、探究新知、实践探索、总结提炼、总结、反思。五、使用教材的构想：倡导积极主动，勇于探索的学习方式，运用数形结合、教师引导——学生探索相结合的教学方法，学生亲身经历、感受来获取知识，培养学生观察、发现、抽象与概括、运算求解等思维过程。六、教学流程（一）设置情景，导入新课1、实例引入解方程：（1）2-x=4；（2）2-x=x．设计意图：通过纯粹靠代数运算无法解决的方程，引起学生认知冲突，激起探求知的热情．2、一元二次方程的根与二次函数图象之间的关系．填空：方程x2-2x-3=0x2-2x+1=0x2-2x+3=0根x1=-1，x2=3x1=x2=1无实数根函数y=x2-2x-3y=x2-2x+1y=x2-2x+3图象图象与x轴的交点两个交点：(-1,0)，(3,0)一个交点：(1,0)没有交点问题1：从该表你可以得出什么结论？42-2-43-112Oxy42-2-43-112Oxy42-23-112Oxy第3页共7页归纳：判别式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0方程ax2+bx+c=0(a0)的根两个不相等的实数根x1、x2有两个相等的实数根x1=x2没有实数根函数y=ax2+bx+c(a0)的图象函数的图象与x轴的交点两个交点：(x1,0)，(x2,0)一个交点：(x1,0)无交点问题2：一元二次方程的根与相应的二次函数的图象之间有怎样的关系？学生讨论，得出结论：一元二次方程的根就是函数图象与x轴交点的横坐标．设计意图：通过回顾二次函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，为一般函数的图像及相应方程的根的关系作准备．3、一般函数的图象与方程根的关系．问题3：其他的函数与方程之间也有类似的关系吗？请举例！师生互动，在学生提议的基础上，老师加以改善，现场在课件上展示类似如下函数的图象：y＝2x－4，y＝2x－8，y＝ln(x－2)，y＝(x－1)(x＋2)(x－3)．比较函数图象与x轴的交点和相应方程的根的关系，从而得出一般的结论：方程f(x)＝0有几个根，y＝f(x)的图象与x轴就有几个交点，且方程的根就是交点的横坐标．设计意图：通过各种函数，将结论推广到一般函数，为得到零点概念做好铺垫．（二）引导探究，获得新知1、函数零点．概念：对于函数y＝f(x)，把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点．即兴练习：函数f(x)=x(x2－16)的零点为（）A．(0，0)，(4，0)B．0，4C．(–4，0)，(0，0)，(4，0)D．–4，0，4设计意图：及时矫正“零点是交点”这一误解．说明：①函数零点不是一个点，而是具体的自变量的取值．②求函数零点就是求方程f(x)＝0的根．2、归纳函数的零点与方程根的关系．问题4：函数的零点与方程的根有什么共同点和区别？（1）联系：①数值上相等：求函数的零点可以转化成求对应方程的根；②存在性一致：方程f(x)＝0有实数根⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有交点⇔函数y＝f(x)有零点．（2）区别：零点是对于函数而言，根是对于方程而言．以上关系说明：函数与方程有着密切的联系，函数问题有时可转化为方程问题，同样，Oxyx1x2Oyxx1Oxy第4页共7页有些方程问题可以转化为函数问题来求解，这正是函数与方程思想的基础．练习：求下列函数的零点：22(1)()34(2)()lg(44)fxxxfxxx设计意图：使学生熟悉零点的求法（即求相应方程的实数根）．3、零点存在性定理的探索．问题5：在怎样的条件下，函数y＝f(x)在区间[a，b]上一定有零点？探究：（1）观察二次函数f(x)＝x2－2x－3的图象：在区间[-2，1]上有零点______；f(-2)=_______，f(1)=_______，f(-2)·f(1)_____0（“＜”或“＞”）．在区间(2，4)上有零点______；f(2)·f(4)____0（“＜”或“＞”）．（2）观察函数的图象：①在区间(a，b)上___(有/无)零点；f(a)·f(b)___0（“＜”或“＞”）．②在区间(b，c)上___(有/无)零点；f(b)·f(c)___0（“＜”或“＞”）．③在区间(c，d)上___(有/无)零点；f(c)·f(d)___0（“＜”或“＞”）．设计意图：通过归纳得出零点存在性定理．4、零点存在性定理：如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是连续不断的一条曲线，并且有f(a)·f(b)＜0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内有零点．即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，这个c也就是方程f(x)＝0的根．即兴练习：下列函数在相应区间内是否存在零点？（1）f(x)=log2x，x∈[12，2]；（2）f(x)=ex-1+4x-4，x∈[0，1]．设计意图：通过简单的练习适应定理的使用．（三）例题剖析，巩固新知例1判断下列结论是否正确，若不正确，请使用函数图象举出反例：（1）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内有且仅有一个零点．（）（2）已知函数y=f(x)在区间[a，b]上连续，且f(a)·f(b)≥0，则f(x)在区间(a，b)内没有零点．（）（3）已知函数y=f(x)在区间[a，b]满足f(a)·f(b)0，则f(x)在区间(a，b)内存在零点．（）请一位学生板书反例，其他学生补充评析，例如：归纳：定理不能确定零点的个数；定理中的“连续不断”是必不可少的条件；不满足abOxyabOxyabOxyabcxyOd2-2-41O1-2234-3-1-1yx第5页共7页定理条件时依然可能有零点．设计意图：通过对定理中条件的改变，将几种容易产生的误解正面给出，在第一时间加以纠正，从而促进对定理本身的准确理解．例2：求函数f(x)＝lnx＋2x－6的零点的个数，并确定零点所在的区间[n，n+1](n∈Z)．解法1（借助计算工具）：用计算器作出x、f(x)的对应值表．x123456789f(x)-4.0-1.31.13.45.67.89.912.114.2由表可知，f(2)0，f(3)0,则f(2)f(3)0，这说明函数f(x)在区间(2，3)内有零点．问题6：如何说明零点的唯一性？又由于函数f(x)在(0，+∞)内单调递增，所以它仅有一个零点．解法2（估算）：估计f(x)在各整数处的函数值的正负，可得如下x1234f(x)－－＋＋结合函数的单调性，f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．解法3：将方程lnx＋2x－6=0化为lnx=6-2x，分别画出g(x)=lnx与h(x)=6-2x的草图，从而确定零点个数为1．继而比较g(2)、h(2)、g(3)、h(3)等的大小，确定交点所在的区间，即零点的区间．由图可知f(x)在区间(2，3)内有唯一的零点．设计意图：通过例题分析，能根据零点存在性定理，使用多种方法确定零点所在的区间，并且结合函数性质，判断零点个数．解法3难度比较大，视学生基础而定．（四）尝试练习，检验成果（1）已知函数f(x)的图象是连续不断的，有如下的x，f(x)对应值表：x1234567f(x)239－711－5－12－26那么函数在区间[1，6]上的零点至少有（）A．5个B．4个C．3个D．2个（2）方程–x3–3x+5=0的零点所在的大致区间为（）A．(–2，0)B．(0，1)C．(0，1)D．(1，2)6Oxy2134g(x)h(x)第6页共7页（3）求方程2-x=x的解的个数，并确定解所在的区间[n，n+1](n∈Z)．设计意图：一方面促进对定理的活用，另一方面与引例相呼应，也是例题方法的巩固，为下一节课作铺垫．（五）课堂小结（1）一个关系：函数零点与方程根的关系：（2）两种思想：函数方程思想；数形结合思想．（3）三种题型：求函数零点、判断零点个数、求零点所在区间．（六）布置作业，独立探究．1．函数f(x)＝(x＋4)(x－4)(x＋2)在区间[-5，6]上是否存在零点？若存在，有几个？2．利用函数图象判断下列方程有几个根：（1）2x(x－2)＝－3；（2）ex－1＋4＝4x．3．结合上课给出的图象，写出并证明下列函数零点所在的大致区间：（1）f(x)=2xln(x-2)-3；（2）f(x)＝3(x＋2)(x－3)(x＋4)＋x．思考题：方程2-x=x在区间______内有解，如何求出这个解的近似值？请预习下一节．设计意图：为下一节“用二分法求方程的近似解”的学习做准备．板书设计1.1利用函数性质判断方程解的存在1、零点概念：例2：……………………………………………………2、方程的根与函数零点的关系：………………………………………………………………………………3、函数零点存在性定理的条件：练习：……………………………………………………例1：……………………………………………………函数方程零点根数值存在性个数第7页共7页教学反思本节课从生活实例出发，引导学生意识到的数学来源于生活并且可以运用到生活中，在课堂上采用问题式教学,引导学生自主探究、合作学习、体会知识的形成过程，尽量创设一个民主、和谐的课堂氛围，使学生感受到他们才是课堂的主人，体现新课标精神，在教学过程中对有些数学思想的渗透还不到位，课后需要进一步加强引导。七、教师简介姓名：张锋职称：初级学校：濉溪县第二中学教学特色：教学严谨联系电话：[phone]