2011年高考数学热点：攻略探索性问题

高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-1-2011年高考数学热点：攻略探索性问题一、考情分析探索性问题常常需要由给定的题设条件去探索相应的结论，或由问题的题干去追溯相应的条件，要求在解题之前必须透过问题的表象去寻找、去发现规律性的东西。问题增加了许多可变的因素，思维指向不明显，解题时往往难于下手。近年来，探索性问题在高考试题中多次出现，主要有以下几类：(1)探索条件型问题：从给定的问题结论出发，追溯结论成立的充分条件；(2)探索结论型问题：从给定的题设条件出发，探求相关的结论；(3)探索存在型问题：从假设相关结论存在出发，从而肯定或否定这种结论是否存在；(4)探索综合型问题：从变更题设条件或问题的结论的某个部分出发，探究问题的相应变化。二、高考预测预测年数学试卷中继续保持了探索型、开放型、研究型等题型，形式上也会有所突破，如只猜不证，只算不写等；填空题中出现了条件、结论完全开放的设计，题型的创新，带来了新的理念，这必将促进教学的创新。三、突破策略问题的条件不完备，结论不确定是探索性问题的基本特征，从探索性问题的解题过程来看，没有确定的模式，可变性多，对观察、试验、联想、类比、猜想、抽象、概括，特别是对发现问题、分析问题的能力要求较高，探索性问题的解题策略有：1攻略之一——特殊值探路，一般化证明从最简单、最特殊的情况出发，有时也可借助直觉观察或判断，推测出命题的结论，必要时给出严格证明。【例1】已知,,2,322Nnbnnannn试判断na与nb的大小关系。解析：由1a＜1b，2a＞2b，3a＞3b，4a＞4b，55ba，6a＜6b，7a＜7a……猜想出结论：当5n时，nnba；当2n、3、4时na＞nb，当1n或6n时na＜nb，然后用数学归纳法证明猜想的正确性。2攻略之二——假设存在，推理检验此类题型需从题目所给出的条件及所探求的结论两方面入手，充分挖掘题设条件的内涵与外延，积极向所探究的结论靠拢。解答这类问题的一般思路是：先假定对象存在，运用条件进行推理。若得到相应的合理结论，断言这个对象是存在的；若出现矛盾，则否定先前假设，断言对象是不存在的。【例2】抛物线过定点A（0，2）且以x轴为准线。（1）求抛物线的顶点M的轨迹C。高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-2-（2）问过定点B25，1是否存在一对互相垂直的直线同时都与轨迹C有公共点？证明你的结论。解析：（1）利用数形结合法，根据抛物线定义可求得动点M的轨迹方程为：x2+4（y－1）2=4（y≠0）（2）过点B的直线与曲线C有交点需满足什么条件？两直线垂直的条件又是什么？这两者中有何关系？从而推出合理的结论。设过点B25，1的直线L为：y－1=k（x+25），L与C有交点的条件为方程组41412522yxxky有解320k现假设存在一对过B且与轨迹C有公共点的互相垂直的直线L1和L2，则有112121kkkk,但由上述结果知,9421kk这就产生矛盾，故这样的直线不存在。【例3】（2008年湖北高考试题）已知数列{}na和{}nb满足：1a,124,(1)(321),3nnnnnaanban其中为实数，n为正整数。（Ⅰ）对任意实数，证明数列{}na不是等比数列；（Ⅱ）试判断数列{}nb是否为等比数列，并证明你的结论；（Ⅲ）设0ab,nS为数列{}nb的前n项和.是否存在实数，使得对任意正整数n，都有naSb？若存在，求的取值范围；若不存在，说明理由。（Ⅰ）证明：假设存在一个实数λ，使｛an｝是等比数列，则有a22=a1a3，即,094949494)494()332(222矛盾。所以｛an｝不是等比数列。(Ⅱ)解：因为bn+1=(-1)n+1［an+1-3(n-1)+21］=(-1)n+1(32an-2n+14)=32(-1)n·（an-3n+21）=-32bn又b1=-(λ+18),所以当λ＝－18，bn=0(n∈N+),此时｛bn｝不是等比数列：高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-3-当λ≠－18时，b1=(λ+18)≠0,由上可知bn≠0，∴321nabb(n∈N+).故当λ≠-18时，数列｛bn｝是以－（λ＋18）为首项，－32为公比的等比数列.(Ⅲ)由（Ⅱ）知，当λ=-18,bn=0,Sn=0,不满足题目要求.∴λ≠-18，故知bn=-（λ+18）·（－32）n-1，于是可得Sn=-.321·)18(53n）－（－　要使aSnb对任意正整数n成立，即a-53(λ+18)·［1－（－32）n］〈b(n∈N+)3(18)2251()1()332()1()nnnabfn得　　　　　　　　　　令，则3①当n为正奇数时，1f(n),1)(95;35nfn为正偶数时，当∴f(n)的最大值为f(1)=35,f(n)的最小值为f(2)=95,于是，由①式得95a-53(λ+18),.1831853abb当ab3a时，由－b-18=-3a-18，不存在实数满足题目要求；当b3a存在实数λ，使得对任意正整数n,都有aSnb,且λ的取值范围是（－b-18,-3a-18）点评：本小题主要考查等比数列的定义、数列求和、不等式等基础知识和分类讨论的思想，考查综合分析问题的能力和推理认证能力。对于参数存在型探索性命题，其求解关键是对参数进行合理全面地分类讨论。这类探索性命题结论的成立与否取决于参数的范围的取舍。3攻略之三——等价转化,探求条件使用等价转化思想，找出命题成立的充要条件。【例4】（2009年广东）已知二次函数()ygx的导函数的图像与直线2yx平行，且()ygx在1x处取得极小值1(0)mm．设()()gxfxx．（1）若曲线()yfx上的点P到点(0,2)Q的距离的最小值为2，求m的值；（2）()kkR如何取值时，函数()yfxkx存在零点，并求出零点．W.w.w.k.s.5.u.c.o.m分析：本题是探索使结论成立的条件，可根据题意步步等价转化，寻找成立的充要条件。如函数有零点于方程有根函数图像与x轴有交点。高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-4-解：（1）依题可设1)1()(2mxaxg(0a)，则aaxxaxg22)1(2)('；又gx的图像与直线2yx平行22a1amxxmxxg21)1()(22，2gxmfxxxx，设,ooPxy，则2002020202)()2(||xmxxyxPQmmmmmxmx2||2222222220220当且仅当202202xmx时，2||PQ取得最小值，即||PQ取得最小值2当0m时，2)222(m解得12m当0m时，2)222(m解得12m（2）由120myfxkxkxx(0x)，得2120kxxm*当1k时，方程*有一解2mx，函数yfxkx有一零点2mx；当1k时，方程*有二解4410mk，若0m，11km，函数yfxkx有两个零点)1(2)1(442kkmx，即1)1(11kkmx；若0m，11km，函数yfxkx有两个零点)1(2)1(442kkmx，即1)1(11kkmx；当1k时，方程*有一解4410mk,11km,函数yfxkx有一零点mkx11综上，当1k时,函数yfxkx有一零点2mx；当11km(0m)，或11km（0m）时，高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-5-函数yfxkx有两个零点1)1(11kkmx；当11km时，函数yfxkx有一零点mkx11.4攻略之四——类比联想类比是根据两事物的一些属性相同或相似推测另一些属性也可能相同或相似的认识方法，也是人类认识事物的普遍规律之一。所谓类比猜想的策略就是由一个问题的结论或解决方法类比猜想出另一个类似问题的结论或解决方法，并以严格论证。【例5】将图表填完整平面空间三角形两边之和大于第三边三棱锥任意三个面的面积之和大于第四个面的面积三角形的面积等于任意一边的长度与这边上高的乘积的一半三棱锥的体积等于任意一个底面的面积与该底面上的高的乘积的三分之一三角形的面积等于其内切圆半径与三角形周长的乘积的一半解析：本题是平面与空间的类比，由已知前几组类比可得到如下信息：①平面中的三角形与空间中的三棱锥是类比对象；②三角形各边的边长与三棱锥的各面的面积是类比对象；③三角形边上的高与三棱锥面上的高是类比对象；④三角形的面积与三棱锥的体积是类比对象；⑤三角形的面积公式中的“二分之一”与三棱锥的体积公式中的“三分之一”是类比对象。由上分析不难知道空格处应填：三棱锥的体积等于其内切球半径与三棱锥表面积的乘积的三分之一。对于这一结论的正确性，可以通过等体积法，将三棱锥分割成四个小的三棱锥去证明。点评：平面到空间的类比是常见的类比形式，要掌握这些常见的类比方向，题目也就不难解决了。四、考点精炼1.已知直线l⊥平面α，直线m平面β，有下面四个命题，其中正确命题是()①α∥βl⊥m②α⊥βl∥m③l∥mα⊥β④l⊥mα∥βA.①与②B.①与③C.②与④D.③与④2.某邮局只有0.60元，0.80元，1.10元的三种邮票。现有邮资为7.50元的邮件一件，为使粘贴邮票的张数最少，且资费恰为7.50元，则最少要购买邮票()A.7张B.8张C.9张D.10张3.如图，有两个相同的直三棱柱，高为a2，底面三角形的三边长别为3a,4a,5a(a0)。用它们拼成一个三棱柱或四棱柱，在所有可能的情形中，全面积最小的是一个四棱柱，则a的取值范围是（）。23152315(0,)(0,1)(0,)(,)3333ABCD高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家版权所有@高考资源网-6-4.（2009安徽卷理）若不等式组03434xxyxy所表示的平面区域被直线43ykx分为面积相等的两部分，则k的值是A.73B.37C.43D.345.观察sin220°+cos250°+sin20°cos50°=43,sin215°+cos245°+sin15°·cos45°=43，写出一个与以上两式规律相同的一个等式.6.（2009浙江文）设等差数列{}na的前n项和为nS，则4S，84SS，128SS，1612SS成等差数列。类比以上结论有：设等比数列{}nb的前n项积为nT，则4T，，，1612TT成等比数列。7.（2009全国卷Ⅱ文）（本小题满分12分）)0(12222babyax3322（Ⅰ）求a,b的值；（Ⅱ）C上是否存在点P，使得当l绕F转到某一位置时，有OBOAOP成立？若存在，求出所有的P的坐标与l的方程；若不存在，说明理由。8.（2009北京卷理）如图，在三棱锥PABC中，PA底面,,60,90ABCPAABABCBCA，点D，E分别在棱,PBPC上，且//DEBC已知椭圆C:的离心率为，过右焦点F的直线l与C相交于A、B22两点，当l的斜率为1时，坐标原点O到l的距离为高考资源网（ks5u.com）您身边的高考专家