二次函数新定义问题

专题训练(四)与二次函数相关的新定义问题►类型之一应用型：阅读——理解——建模——应用图4－ZT－11．2017·巴中如图4－ZT－1，我们把一个半圆与抛物线的一部分合成的封闭图形称为“蛋圆”，点A，B，C，D分别是“蛋圆”与坐标轴的交点，AB为半圆的直径，且抛物线的函数表达式为y＝x2－2x－3，则半圆圆心M点的坐标为________.2．一个函数的图象关于y轴成轴对称图形时，我们称该函数为“偶函数”．如果二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，该函数的图象与x轴交于点A和点B，顶点为P，那么△ABP的面积是________．3．2017·余杭区一模如果两个二次函数的图象关于y轴对称，我们就称这两个二次函数互为“关于y轴对称二次函数”，如图4－ZT－2所示，二次函数y1＝x2＋2x＋2与y2＝x2－2x＋2是“关于y轴对称二次函数”．(1)直接写出两条图中“关于y轴对称二次函数”图象所具有的特点．(2)二次函数y＝2(x＋2)2＋1的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________；二次函数y＝a(x－h)2＋k的“关于y轴对称二次函数”表达式为____________．(3)平面直角坐标系中，记“关于y轴对称二次函数”的图象与y轴的交点为A，它们的两个顶点分别为B，C，且BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，求“关于y轴对称二次函数”的表达式．图4－ZT－2►类型之二探究型：阅读——理解——尝试——探究4．若抛物线y＝ax2＋bx＋c过定点M(1，1)，则称此抛物线为定点抛物线．(1)张老师在投影屏幕上出示了一个题目：请你写出一条定点抛物线的函数表达式．小敏写出了一个答案：y＝2x2＋3x－4，请你写出一个不同于小敏的答案；(2)张老师又在投影屏幕上出示了一个思考题：已知定点抛物线y＝－x2＋2bx＋c＋1，求该抛物线顶点纵坐标的值最小时的函数表达式．请你解答．5．2017·衢州定义：如图4－ZT－3①，抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P在该抛物线上(点P与A，B两点不重合)，若△ABP的三边满足AP2＋BP2＝AB2，则称点P为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的勾股点．(1)直接写出抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标；(2)如图②，已知抛物线C：y＝ax2＋bx(a≠0)与x轴交于A，B两点，点P(1，3)是抛物线C的勾股点，求抛物线C的函数表达式；(3)在(2)的条件下，点Q在抛物线C上，求满足条件S△ABQ＝S△ABP的点Q(异于点P)的坐标．图4－ZT－36．2017·嵊州市模拟在平面直角坐标系中，我们把直线y＝ax＋c称为抛物线y＝ax2＋bx＋c的生成线，抛物线与它生成线的交点称为抛物线的生成点，例如：抛物线y＝x2－2的生成线是直线y＝x－2，生成点是(0，－2)和(1，－1)．(1)若抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，求m与n的值．(2)已知抛物线y＝x2－3x＋3如图4－ZT－4所示，若它的一个生成点是(m，m＋3)．①求m的值．②若抛物线y＝x2＋px＋q是由抛物线y＝x2－3x＋3平移所得(不重合)，且同时满足以下两个条件：一是这两个抛物线具有相同的生成线；二是若抛物线y＝x2－3x＋3的生成点为点A，B，抛物线y＝x2＋px＋q的生成点为点C，D，则AB＝CD.求p与q的值．图4－ZT－47．2017·随州在平面直角坐标系中，我们定义直线y＝ax－a为抛物线y＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0)的“梦想直线”；有一个顶点在抛物线上，另有一个顶点在y轴上的三角形为其“梦想三角形”．已知抛物线y＝－233x2－433x＋23与其“梦想直线”交于A，B两点(点A在点B的左侧)，与x轴负半轴交于点C.(1)填空：该抛物线的“梦想直线”的函数表达式为__________________，点A的坐标为________，点B的坐标为________．(2)如图4－ZT－5，M为线段CB上一动点，将△ACM以AM所在直线为对称轴翻折，点C的对称点为N，若△AMN为该抛物线的“梦想三角形”，求点N的坐标．(3)当点E在抛物线的对称轴上运动时，在该抛物线的“梦想直线”上，是否存在点F，使得以点A，C，E，F为顶点的四边形为平行四边形？若存在，请直接写出点E，F的坐标；若不存在，请说明理由．图4－ZT－5►类型之三概括型：阅读——理解——概括——拓展8．2017·郴州设a，b是任意两个实数，用max{a，b}表示a，b两数中较大者，例如：max{－1，－1}＝－1，max{1，2}＝2，max{4，3}＝4，参照上面的材料，解答下列问题：(1)max{5，2}＝________，max{0，3}＝________；(2)若max{3x＋1，－x＋1}＝－x＋1，求x的取值范围；(3)求函数y＝x2－2x－4与y＝－x＋2的图象的交点坐标，函数y＝x2－2x－4的图象如图4－ZT－6所示，请你在图中作出函数y＝－x＋2的图象，并根据图象直接写出max{－x＋2，x2－2x－4}的最小值．图4－ZT－6详解详析1．(1，0)[解析]解x2－2x－3＝0得x1＝－1，x2＝3，所以抛物线与x轴交于点A(－1，0)，B(3，0)，所以AB＝4，所以点M的坐标为(1，0)．2．8[解析]∵二次函数y＝x2＋bx－4是“偶函数”，∴－b2×1＝0，∴b＝0，∴函数表达式为y＝x2－4，令y＝0，则x2－4＝0，解得x1＝－2，x2＝2，∴A(－2，0)，B(2，0)，∴AB＝2－(－2)＝4.令x＝0，则y＝－4，∴点P的坐标为(0，－4)，∴△ABP的面积＝12×4×4＝8.3．解：(1)顶点关于y轴对称，对称轴关于y轴对称．(答案不唯一)(2)y＝2(x－2)2＋1y＝a(x＋h)2＋k(3)(答案不唯一)如图，由BC＝6，顺次连结点A，B，O，C得到一个面积为24的菱形，得OA＝8，点A的坐标为(0，8)，点B的坐标为(－3，4)．设左侧抛物线的函数表达式为y＝a(x＋3)2＋4，将点A的坐标代入，得9a＋4＝8，解得a＝49，故y＝49(x＋3)2＋4，其“关于y轴对称二次函数”的表达式为y＝49(x－3)2＋4.根据对称性，开口向下的抛物线也符合题意，“关于y轴对称二次函数”的表达式为y＝－49(x＋3)2－4和y＝－49(x－3)2－4.4．解：(1)答案不唯一，合理即可．(2)因为抛物线的函数表达式可化为y＝－(x2－2bx＋b2)＋b2＋c＋1＝－(x－b)2＋b2＋c＋1，所以此定点抛物线的顶点坐标为(b，b2＋c＋1)．因为抛物线过定点M(1，1)，将其代入函数表达式可得－1＋2b＋c＋1＝1，解得c＝1－2b，则顶点纵坐标b2＋c＋1＝b2＋1－2b＋1＝(b－1)2＋1，所以当b＝1时，b2＋c＋1的值最小为1，此时c＝1－2b＝1－2×1＝－1.故抛物线的函数表达式为y＝－x2＋2x.5．解：(1)抛物线y＝－x2＋1的勾股点的坐标为(0，1)．(2)抛物线y＝ax2＋bx过原点，即点A(0，0)．如图，过点P作PG⊥x轴于点G.∵点P的坐标为(1，3)，∴AG＝1，PG＝3，PA＝AG2＋PG2＝12＋（3）2＝2，∴∠PAG＝60°，∴AB＝2PA＝4，∴点B的坐标为(4，0)．设抛物线C的函数表达式为y＝ax(x－4)，将P(1，3)代入得a＝－33，∴y＝－33x(x－4)＝－33x2＋433x.(3)①当点Q在x轴上方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为3，则有－33x2＋433x＝3，解得x1＝3，x2＝1，∴点Q的坐标为(3，3)；②当点Q在x轴下方时，由S△ABQ＝S△ABP知点Q的纵坐标为－3，则有－33x2＋433x＝－3，解得x1＝2＋7，x2＝2－7，∴点Q的坐标为(2＋7，－3)或(2－7，－3)．综上，满足条件的点Q有3个，其坐标为(3，3)或(2＋7，－3)或(2－7，－3)．6．解：(1)∵抛物线y＝mx2－5x－2的生成线是直线y＝－3x－n，∴m＝－3，－n＝－2，∴n＝2.(2)①∵抛物线y＝x2－3x＋3的一个生成点是(m，m＋3)，∴m＋3＝m2－3m＋3，整理，得m2－4m＝0，解得m＝0或4.②∵抛物线y＝x2＋px＋q是由抛物线y＝x2－3x＋3平移所得(不重合)，且这两个抛物线具有相同的生成线，∴q＝3.∵抛物线y＝x2－3x＋3与它生成线y＝x＋3的生成点为(0，3)，(4，7)，∴AB2＝(4－0)2＋(7－3)2＝32.∵抛物线y＝x2＋px＋3与它生成线y＝x＋3的生成点为(0，3)，(1－p，4－p)，∴CD2＝(1－p－0)2＋(4－p－3)2＝2(1－p)2.∵AB＝CD，∴2(1－p)2＝32，∴p＝5或－3.∵抛物线y＝x2＋px＋3与抛物线y＝x2－3x＋3不重合，∴p＝－3不合题意，应舍去，∴p＝5.7．解：(1)y＝－233x＋233(－2，23)(1，0)(2)∵抛物线与x轴负半轴交于点C，∴C(－3，0)．过点A作AG⊥y轴，垂足为G.当点N在y轴上时，△AMN为“梦想三角形”．设N(0，n)，∵A(－2，23)，C(－3，0)，∴AC＝13，∴AN＝AC＝13.在Rt△AGN中，AG2＋GN2＝AN2，AG＝2，GN＝|n－23|，∴4＋(n－23)2＝13，解得n＝23－3或n＝23＋3.设M(m，0)，当n＝23－3时，在Rt△MNO中，(23－3)2＋m2＝(m＋3)2，解得m＝2－23；当n＝23＋3时，在Rt△MNO中，(23＋3)2＋m2＝(m＋3)2，解得m＝2＋23.∵－3＜m≤1，∴m＝2＋23不合题意，舍去．∴m＝2－23，此时n＝23－3，∴N(0，23－3)；当点M在y轴上时，△AMN为“梦想三角形”，此时点M与点O重合，在Rt△AGM中，AG＝2，GM＝23，∴AGGM＝33，∴∠AMG＝30°，∴∠AMC＝∠AMN＝∠NMB＝60°.过点N作NP⊥x轴于点P，在Rt△NMP中，MN＝CM＝3，∴NP＝332，OP＝32，∴N32，332.综上所述，点N的坐标为(0，23－3)或32，332.(3)E1－1，－433，F10，233；E2－1，－433，F2－4，1033.8．解：(1)53(2)由题意可得3x＋1≤－x＋1，解得x≤0.(3)由题意得y＝－x＋2，y＝x2－2x－4，解得x1＝－2，y1＝4，x2＝3，y2＝－1，∴交点坐标为(－2，4)和(3，－1)．所作的函数y＝－x＋2的图象如图所示．由图象可知：当x＝3时，max{－x＋2，x2－2x－4}有最小值－1.