4(9)定积分在物理学上的应用

1变力沿直线所作的功质心第九节定积分在物理上的应用第六章定积分的应用引力液体的压力小结思考题作业2一、变力沿直线所作的功如果一常力F作用于一物体使其沿直线移动了距离s,那么就说力对这一物体作了功,且所作功积分得到总功的表达式.sFW如果计算功时力或距离是变化的,则需要在某一变量的小区间上求出功元素,然后求定定积分在物理学上的应用3设物体在变力F(x)作用下沿x轴从ax移动到,)(babx力的方向与运动方向平行,求变力所做的功.在],[ba上任取小区间,]d,[xxx在其上所作的功元素xxFWd)(d因此变力F(x)在区间],[ba上所作的功为W定积分在物理学上的应用bxxxdxaxxFd)(ba1.变力做功4kgm20,28质量为一长为顶部28m解建立坐标系.oxy链条密度上在]28,0[上对应的链条重此]d,[xxxWd功元素例1).(752820mkg,dxxxgd75定积分在物理学上的应用xgxWd75.是焦耳J总功)(2744J028的均匀链条被悬挂于一建筑物顶部(如图),问需要作多大的功才能把这一链条全部拉上建筑物顶部.取任一小区间xxdx],d,[xxx)d(xgx52.抽液做功设有一个平行截面面积已知的容器,其中盛满密度为的液体,用泵将容器中的液体抽出离容器口液面距离为0aa的平面(出液面),讨论所做的功.定积分在物理学上的应用6例2设有一个半径为r的球沉入水中,它与水平面相切,球的比重为1现将球从水中取出,问要做多少功?定积分在物理学上的应用7二、质心由力学知识知道，则该质点组的重心的坐标为(,)1,,,,1,,.iiixyinmin质量为11niiiniimxxm11niiiniimyym设有一质点组,每个质点的位置为对y轴的静力矩对x轴的静力矩定积分在物理学上的应用8(1)()tL当表示的线密度时22()d()()()LMtstxtytdt()(),()xxtLtyyt的参数方程为（2）曲线L对y轴和x轴的静力矩分别为：22()()d()()()()yLMtxtstxtxtytdt22()()d()()()()xLMtytstytxtytdt定积分在物理学上的应用9曲线弧的质心坐标)3(22d1()()()()dLLxsxtxtxtytdtMs22d1()()()()dLLysytytxtytdtMs定积分在物理学上的应用10例3已知螺旋形弹簧一圈的方程:cossin,02xatyattzbt弹簧上各点处的线密度等于该点到原点距离的平方,求(1)它的质量;(2)它的质心;定积分在物理学上的应用11质量分别为mM,的质点,rMmr二者间的引力:大小2rmMkF方向沿两质点的连线三、引力定积分在物理学上的应用相距则要用定积分计算.采用“元素法”思想.如果要计算一根细棒对一个质点的引力,那么,由于细棒上各点与该点的距离是变化的,且各点对该点的引力方向也是变化的,故不能用上述公式计算.12xyoMa)(m2l2l解建立坐标系.2,2lly将典型小段近似看成质点小段的质量为,dyrydyy取y为积分变量,取任一小区间]d,[yyy有一长度为,l线密度为的均匀细棒,在其中垂线上距棒a单位处有一质量为m的质点M,计算该棒对质点M的引力.例4小段与质点的距离为22yar定积分在物理学上的应用13细杆对质点引力元素22ddyaymkF水平方向的分力元素,)(d2322yayamk23)(d22yayamkFx,)4(22122laalkm引力在铅直方向分力为.0yFxyoMa2l2lrydyyxFdcosdFFdFyaad22taytan设)cos(22cosyaa对称性2l2l2rMmkF)(m定积分在物理学上的应用14四、液体的压力在很多实际问题要求计算液体作用于一物体表面上的侧压力.如,水坝或闸门的压力.当压强为常数时,压力=压强×面积,当物体表面位于液体中时,不同深度所受的压强是故往往需要用定积分计算液体对表面因而采用“元素法”思想.的侧压力.定积分在物理学上的应用不同的,15解在端面建立坐标系.],0[RxxxxdxxRd222,xpxoyR取x为积分变量,取任一小区间]d,[xxx小矩形片上各处的压强近似相等小矩形片的面积为定积分在物理学上的应用一个横放着的圆柱形水桶,桶内盛有半桶水,例5设桶的底半径为R,水的比重为,计算桶的一端面上所受的压力.如图xPd小矩形片的压力元素为xxRd222端面上所受的压力P.323RxxRxd222R0桶内盛满水?16和引力等物理问题．(注意熟悉相关的物理知识)五、小结利用“元素法”的思想求变力沿直线作功、水压力定积分在物理学上的应用17泥后提出井口,已知井深30m,抓斗自重400N,缆绳为清除井底污泥,用缆绳将抓斗放入井底,抓起污每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m∕s,在提升过程中,污泥以20N∕s的速度从抓斗缝隙中漏掉,现将抓起污泥的抓斗提升至井口,问克服重力需作多少焦耳(J)功?提示定积分在物理学上的应用思考题1作x轴如图ox30xxdx18定积分在物理学上的应用井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m∕s,污泥以20N∕s的速度从抓斗缝隙中漏掉解ox30xxdx将抓起污泥的抓斗提升至井口,需作功w1w是克服抓斗自重所作的功;2w是克服缆绳重力所作的功;3w为提出污泥所作的功,1w1200030400x提升到xxd将抓斗由克服缆绳重力所作功元素2dw1w3w2wxd50)30(x19定积分在物理学上的应用2dwxd50)30(xox30xxdx2w井深30m,抓斗自重400N,缆绳每米重50N,抓斗抓起的污泥重2000N,提升速度为3m∕s,污泥以20N∕s的速度从抓斗缝隙中漏掉在时间间隔]d,[ttt内提升污泥需作功为3dw将污泥从井底提升至井口共需时间,103303wttd)202000(301057000共需作功120001wwtd3)202000(t300d)30(50xx22500)(91500570002250012000J20思考题2定积分在物理学上的应用某闸门的形状与大小如图所示,其中直线l为对称轴,闸门的上部为矩形ABCD,下部为由二次抛物线与线段AB所围成.当水面与闸门的上端相平时,欲使闸门矩形部分承受的水压力与闸门下部承受的水压力之比为5:4,闸门矩形部分的高h应为多少m(米)?BACD1hOxy1h解建立坐标系.令抛物线方程为aa矩形hxgxaP01d22gha)1(22hxpyha22ap则抛物线方程为)1(22hxay21,2h)1(22hxay定积分在物理学上的应用矩形21ghaPBACDhOxy1haa1抛物线方程为二次抛物线与线段AB所围成的2Pxhay1y21hxxxhgahhd121htxh1设1022d)1(4ttthga)1523(4hga4521PP45)15231(42hh31hxdgx.2mh22作业习题4.9(240页)（A）2.5.（B）1.2.定积分在物理学上的应用