2013-2014学年八年级数学上册_13.4_课题学习_最短路径问题课件_(新版)新人教版

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13.4课题学习最短路径问题如图所示,从A地到B地有三条路可供选择,你会选走哪条路最近?你的理由是什么?两点之间,线段最短FEDCBA①②③(Ⅰ)两点在一条直线异侧已知:如图,A,B在直线L的两侧,在L上求一点P,使得PA+PB最小。P连接AB,线段AB与直线L的交点P,就是所求。思考???为什么这样做就能得到最短距离呢?根据:两点之间线段最短.引言:前面我们研究过一些关于“两点的所有连线中,线段最短”、“连接直线外一点与直线上各点的所有线段中,垂线段最短”等的问题,我们称它们为最短路径问题.现实生活中经常涉及到选择最短路径的问题,本节将利用数学知识探究数学史中著名的“将军饮马问题”.引入新知问题1相传,古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者,名叫海伦.有一天,一位将军专程拜访海伦,求教一个百思不得其解的问题:从图中的A地出发,到一条笔直的河边l饮马,然后到B地.到河边什么地方饮马可使他所走的路线全程最短?探索新知BAl精通数学、物理学的海伦稍加思索,利用轴对称的知识回答了这个问题.这个问题后来被称为“将军饮马问题”.你能将这个问题抽象为数学问题吗?探索新知BAl追问1这是一个实际问题,你打算首先做什么?将A,B两地抽象为两个点,将河l抽象为一条直线.探索新知B··Al(1)从A地出发,到河边l饮马,然后到B地;(2)在河边饮马的地点有无穷多处,把这些地点与A,B连接起来的两条线段的长度之和,就是从A地到饮马地点,再回到B地的路程之和;探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗?探索新知追问2你能用自己的语言说明这个问题的意思,并把它抽象为数学问题吗?(3)现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点.设C为直线上的一个动点,上面的问题就转化为:当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小(如图).BAlC追问1对于问题2,如何将点B“移”到l的另一侧B′处,满足直线l上的任意一点C,都保持CB与CB′的长度相等?探索新知问题2如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?B·lA·追问2你能利用轴对称的有关知识,找到上问中符合条件的点B′吗?探索新知问题2如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?B·lA·作法:(1)作点B关于直线l的对称点B′;(2)连接AB′,与直线l相交于点C.则点C即为所求.探索新知问题2如图,点A,B在直线l的同侧,点C是直线上的一个动点,当点C在l的什么位置时,AC与CB的和最小?B·lA·B′C探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?B·lA·B′C证明:如图,在直线l上任取一点C′(与点C不重合),连接AC′,BC′,B′C′.由轴对称的性质知,BC=B′C,BC′=B′C′.∴AC+BC=AC+B′C=AB′,AC′+BC′=AC′+B′C′.探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?B·lA·B′CC′探索新知问题3你能用所学的知识证明AC+BC最短吗?B·lA·B′CC′证明:在△AB′C′中,AB′<AC′+B′C′,∴AC+BC<AC′+BC′.即AC+BC最短.若直线l上任意一点(与点C不重合)与A,B两点的距离和都大于AC+BC,就说明AC+BC最小.探索新知B·lA·B′CC′追问1证明AC+BC最短时,为什么要在直线l上任取一点C′(与点C不重合),证明AC+BC<AC′+BC′?这里的“C′”的作用是什么?探索新知追问2回顾前面的探究过程,我们是通过怎样的过程、借助什么解决问题的?B·lA·B′CC′1.如图,A.B两地在一条河的两岸,现要在河上建一座桥MN,桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短?(假设河的两岸是平行的直线,桥要与河垂直)A·BMNE作法:1.将点B沿垂直与河岸的方向平移一个河宽到E,2.连接AE交河对岸与点M,则点M为建桥的位置,MN为所建的桥。证明:由平移的性质,得BN∥EM且BN=EM,MN=CD,BD∥CE,BD=CE,所以A.B两地的距:AM+MN+BN=AM+MN+EM=AE+MN,若桥的位置建在CD处,连接AC.CD.DB.CE,则AB两地的距离为:AC+CD+DB=AC+CD+CE=AC+CE+MN,在△ACE中,∵AC+CE>AE,∴AC+CE+MN>AE+MN,即AC+CD+DB>AM+MN+BN所以桥的位置建在CD处,AB两地的路程最短。A·BMNECD(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小.BCDE分析:当AB、BC和AC三条边的长度恰好能够体现在一条直线上时,三角形的周长最小(Ⅲ)一点在两相交直线内部已知:如图A是锐角∠MON内部任意一点,在∠MON的两边OM,ON上各取一点B,C,组成三角形,使三角形周长最小.分别作点A关于OM,ON的对称点A′,A″;连接A′,A″,分别交OM,ON于点B、点C,则点B、点C即为所求

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