《初等数学研究习题解答》

1《初等数学研究》习题解答第一章数系1.1集合论初步·自然数的基数理论习题1.11．证明集合0{|}xx与实数集对等。证明：取对应关系为lnyx，这个函数构成0(,)与(,)的一一对应，所以集合0{|}xx与实数集对等。2．证明()()()ABCABAC证明：()xABCxA或xBC，xA或（xB且xC），那么有xA或xB同时还有xA或xC，即xAB同时还有xAC，所以()()()()()xABACABCABAC反过来：()()xABACxAB且xAC，对于前者有xA或者xB；对于后者有xA或者xC，综合起来考虑，xB与xC前后都有，所以应是“xB且xC”即“xBC”，再结合xA的地位“或者xA”以及前后关系有“xA或xBC”即()xABC，所以()()()()xABCABCABAC所以()()()ABCABAC。3．已知集合A有10个元素，,BC都是A的子集，B有5个元素，C有4个元素，BC有2个元素，那么()BAC有几个元素？解：集合()BAC如图1所示：由于452(),(),()rCrBrBC，所以32(),()rBCrCB，从而1028(())rBAC，即()BAC有8个元素4．写出集合{,,,}abcd的全部非空真子集。图1CBA2{,}{},{},{},{,},{,},{,},{,},{,},{,},{,,},{,,},{,,},{,,}abcdabacadbcbdcdabcabdacdbcd5．证明，按基数理论定义的乘法对加法的分配律成立。证明：设,,ABC是三个有限集合，并且BC，记(),(),()arAbrBcrC首先：由于BC，所以ABAC，所以()()()rABACrABrACabac其次：对于(,)(){(,)|,}axABCaxaAxBC，由于xBC，那么若xB，于是(,)axAB；若xC，于是(,)axAC，所以总有(,){(,)|,}{(,)|,}axaxaAxBaxaAxCABAC即()(())()ABCABACrABCrABAC()abcabac反过来：(,)axABAC，那么(,)axAB或者(,)axAC于是有,aAxB或者xC，即,aAxBC，所以(,)()axABC即()(())()ABCABACrABCrABAC()abcabac所以()abcabac6．在基数理论定义的乘法下，证明1aa。证明：设{}B，则1()rB，A是任意有限集，并且()rAa。作集合：{(,)|}BAaaA，显然1()rBAa作对应:(,)faa，而这个对应是从BA到A的一一对应，所以BA与A对等，从而有：()()rBArA，即1aa。1.2自然数的序数理论习题1.231．用定义计算54。解：515652515167;();53525278()；54535389()。2．用定义计算34解：32313133363332323639343333393123．在序数理论下，证明自然数的离散性，即不存在自然数b，使b介于a与a之间。证明：假若不然，由于aa，则必然是1abaa，由于ab，所以存在c使1acba，由于1c，所以aca，即ba，矛盾（此前有ba）4．用第一归纳法证明4151nn是9的倍数。证明：对于1n，有41511829，结论成立；设41519kkm成立，那么111111214151144151441513415934593315933339993399()()[()]()()kkkkkkkkkkkkkkkkkkkmmmCCmCCml所以结论在1nk也成立。5．用第二归纳法证明数列11515225nnna的每一项都是自然数。证明：由于1115151512255a，即1a是自然数；设12,,,kaaa都是自然数，那么1111151511515222255kkkkkkaa411111212111151511515112222551153511535222255115151151522225511515225kkkkkkkk1ka从而1ka也是自然数，故“{}na的每一项都是自然数”成立。1.3复数的三角形式与指数形式习题1.31．利用复数推导三倍角公式解：设cossinzi，那么333cossinzi，另一方面，将33(cossin)zi展开：3332233223333331314334(cossin)coscossincossinsincoscos(cos)[(sin)sinsin]coscos(sinsin)ziiiii比较实部和虚部，即得：33343334coscoscos,sinsinsin2．设M是单位圆周221xy上的动点，点N与定点A(2,0)和点M构成一个等腰直角三角形斜边的端点，并且MNAM成逆时针方向，当M点移动时，求点N的轨迹。解：如图1-1，设11(,),(,)NxyMxy对应的复数记为11,ONxyiOMxyi由于MNAM成逆时针方向，将向量AN绕A点逆时针旋转300后必与向量AM重合，所以有6060(cossin)ANiAM图1-1NAM5即132()iONOAOMOA亦即：1113222()ixyixyi111113323221222()ixyxyxyixyiixyi所以1132323122,xyxyxy，但22111xy所以：223313122xyxy整理即得：2222330xyxy3．设圆的方程为224xy，点10(,)A，B在给定的圆周上，以AB为底边作等腰直角ABC，并且ABCA成逆时针方向。当B移动时，求C点的轨迹。解：设(,)Cxy、11(,)Bxy对应的复数分别为：xyi、11xyi不失一般性，不妨设ABCDA成逆时针方向。于是有BCACi这时：11111()(),()BCxxyyiACxyi所以有：11111()()[()]xxyyixyii亦即111110()()xxyyxyi故1111010,xxyyxy，从中解出11,xy得：11122,xyxyxy所以有：2211422xyxy，即2270xyx4．设123,,zzz是复平面上三个点A、B、C对应的复数，证明三角形ABC是等边三角形的充分必要条件是222123122331zzzzzzzzz证明：不失一般性，不妨设123zzz成逆时针方向，如图1-2，于是按照复数乘法的6几何意义有12326060()(cossin)zzzzi，即3333123212320()()()()zzzzzzzz221321212323220()[()()()()]zzzzzzzzzzz但123,,zzz不共线。所以13220zzz于是22121232320()()()()zzzzzzzz展开整理即得2221231223310zzzzzzzzz即222123122331zzzzzzzzz。5．试写出1的四个四次方根。解：1的幅角为180，模为1，而180的四分之一为45，所以1的四个四次方根的幅角依次为45、135、225、225，模都为1，从而这四个虚根依次为212()i、212()i、212()i、212()i6．用复数的乘法证明：（1）111135784arctanarctanarctanarctan（2）4516513652arcsinarcsinarcsin证明：（1）设四个复数12343578,,,zizizizi那么：12343578()()()()zzzziiii231134126501()()()iii所以12344arg()zzzz，即12344arg()arg()arg()arg()zzzz而123411113578arg()arctan,arg()arctan,arg()arctan,arg()arctanzzzz即111135784arctanarctanarctanarctan（2）设三个复数123341256316,,zizizi那么：123341256316()()()zzziii图1-2z3Oz2z17231134124225()()iii所以1232arg()zzz，即1232arg()arg()arg()zzz而123451651365arg()arcsin,arg()arcsin,arg()arctanzzz所以4516513652arcsinarcsinarcsin1.4近似数的概念与计算习题1.41．已知近似数2315.4的相对误差界是0.02%，试确定它的绝对误差界,并指出它的有效数字的个数.解：23154002046..%.所以，绝对误差界△=0.46，有效数字的个数为5。2．把数1460000.2471精确到十位、百位、千位、万位时，结果分别表示为什么?解：分别是：1.46000×106、1.4600×106、1.460×106、1.46×106。3．把数5.2435、6.5275000、3.5465、7.278500精确到千分位时的结果分别是多少?解：分别是5.244、6.528、3.546、7.2784．测量一个螺栓的外径和一个螺帽的内径分别应该用哪种近似数的截取方式？请简要说明理由。解：螺栓外径用进一法，螺帽内径用截尾法。因为螺栓外径的测量值必须不小于真值，而螺帽内径的测量值必须不大于真值，否则螺帽将套不住与之配套的螺栓。5．近似计算：（1）1.2×104＋1.53×103＋5003.6（2）43.26－0.3824（3）32.264×2.13（4）(2.63×103)÷2.43564解：（1）1.9×104；（2）42.88；（3）68.7；（4）1.08×1036．一块圆柱形金属部件的底面半径长的标准尺寸为75mm，高为20mm。加工时一般会有误差。但要求成品的体积的绝对误差不超过5mm3，问测量时底面半径和高各自应达到怎样的精确度？解：部件的体积22331475203534292..rhmm因为误差不能超过5mm3，它是10mm3的半个单位，所以体积的精确度应该