积分变换课后答案

1-11．试证：若ft满足Fourier积分定理中的条件，则有dd00cossinftatbt其中ddππ11cos,sin.afbf分析：由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以证明此题，请读者试用三角形式证明.证明：利用Fourier积分的复数形式，有jjeedπ12ttftfjjdedπ11cossin2tfjjd1cossin2abtt由于,,aabb所以dd11cossin22ftatbtdd00cossinatbt2．求下列函数的Fourier积分：1）2221,10,1ttftt;2)0,0;esin2,0ttfttt3)0,11,101,010,1ttfttt分析：由Fourier积分的复数形式和三角形式都可以解此题，请读者试用三角形式解.解：1）函数2221,10,1ttftt为连续的偶函数，其Fourier变换为j21()[()]()ed2()cosd2(1)cosd00tFftfttfttttttF122330sin2cos2sinsin4(sincos)2tttttt(偶函数)f(t)的Fourier积分为j311()()ed()cosd02ππ4(sincos)cosd0πtftFFtt2)所给函数为连续函数，其Fourier变换为jjω()()edesin2ed0tttFftfttttF2j2jj(12jj)(12jj)ee1eed[ee]d02j2j0tttttttt(12jj)(12jj)01ee2j12jj12jjtt224252jj1121(2)j1(2)j256（实部为偶函数，虚数为奇函数）f(t)的Fourier变换为j1()ed2πtftF224252j1cosjsind2π256tt2224242245cos2sin5sin2cos11ddπ256π2565cos2sin2dπ0256tttttt这里用到奇偶函数的积分性质.3）所给函数有间断点-1，0，1且f(-t)=-f(t)是奇函数，其Fourier变换为j()()ed2j()sind0tFftfttftttF12j(cos1)2j1sind0tt（奇函数）f(t)的Fourier积分为jj()edsindπ0π021cossindπ0tftFFtt1=2其中t-1，0，1（在间断点0t处，右边f(t)应以00002ftft代替）.3．求下列函数的Fourier变换，并推证下列积分结果：1）e(0),tft证明：22cosπde;02tt2）()ecostftt，证明：242πcosdecos;042ttt3）sin,π()0,πttftt，证明：2πsin,πsinπsin2d010,πtttt证明：1）函数etft为连续的偶函数，其Fourier变换为jeed2ecosd0tttFfttttF22220ecossin22ttttt再由Fourier变换得j22112edcosd2ππ0tftFtt即22cosπde02tt2）函数ecostftt为连续的偶函数，其Fourier变换为jj()edecosedtttFfttttjjjeeeed2ttttt(1jj)(1jj)(1jj)(1jj)001edededed200tttttttt(1jj)(1jj)(1jj)(1jj)001eeee21jj1jj1jj01jj0tttt2411111221jj1jj1jj1jj4再由Fourier变换公式得2j41112()edcosdcosd2ππ0π04tftFFtt即242πcosdecos042ttt3）给出的函数为奇函数，其Fourier变换为ππjjππedsinedsincosjsindttFfttttttttππ002jsinsindjcos1cos1dtttttt2sin1πsin1πsinsin2jsinjj1010111tt-1j2112jsinπedcosjsind2π2π1tFFttF20sin,π2sinπsindπ10,πtttt故20πsin,πsinπsin2d10,πtttt4.求函数e0,0tftt的Fourier正弦积分表达式和Fourier余弦积分表达式.解：根据Fourier正弦积分公式，并用分部积分法，有002sindsindπfttf002sindsindπett220sincos2sindπ0ett2202sind.πt根据Fourier余弦积分公式，用分部积分法，有002cosdcosdπfttf002cosdcosdπett220sincos2cosdπ0ett2202cosd.πt1-21．求矩形脉冲函数,0()0,Atft其他的Fourier变换.解：jjjj01ee()()()eded0jjttttAFftfttAtAF2.设F是函数ft的Fourier变换，证明F与ft有相同的奇偶性.证明：F与ft是一个Fourier变换对，即jedtFftt，j1ed2πtftF如果F为奇函数，即FF，则jj11eded2π2πttftFF（令u）j1ed2πutFuu（换积分变量u为）j1ed2πtFft所以ft亦为奇函数.如果ft为奇函数，即ftft，则jjededttFfttftt（令tu）jedufuu（换积分变量u为t）jedtfttF所以F亦为奇函数.同理可证ft与F同为偶函数.4．求函数e0tftt的Fourier正弦变换，并推证20012sinπde解：由Fourier正弦变换公式，有()ssFftF0sinftttd0sinttted2sincos10ttte21由Fourier正弦逆变换公式，有120022sin()()sin1ssstftFFtFddππ由此，当0t时，可得20sinππde0122f5．设()ftFF，试证明：1）ft为实值函数的充要条件是()()FF；2）ft为虚值函数的充要条件是()()FF.证明：在一般情况下，记riftftftj其中rft和ift均为t的实值函数，且分别为ft的实部与虚部.因此jedjcosjsindtriFfttftfttttcossindjsincosdririfttftttfttftttReImFjF其中RecossindriFfttfttt，aImsincosdriFfttftttb1）若ft为t的实值函数，即,0rifttfft.此时，a式和b式分别为RecosdrFftttImsindrFfttt所以RejImFFFRejImFFF反之，若已知FF，则有RejImRejImFFFF此即表明F的实部是关于的偶函数；F的虚部是关于的奇函数.因此，必定有cosdjsindrrFftttfttt亦即表明rftft为t的实值函数.从而结论1）获证.2）若ft为t的虚值函数，即j,0irftfftt.此时，a式和b式分别为ResindiFftttImcosdiFfttt所以RejImFFFRejImFFRejImFFF反之，若已知FF，则有RejImRejImFFFF此即表明F的实部是关于的奇函数；F的虚部是关于的偶函数