高等数学同济第五版(下)微分方程

微分方程第十二章yxfy求已知,)(—积分问题yy求及其若干阶导数的方程已知含,—微分方程问题推广一阶微分方程高阶微分方程微分方程的基本概念第一节微分方程的基本概念引例几何问题物理问题第十二章引例1.一曲线通过点(1,2),在该曲线上任意点处的解:设所求曲线方程为y=y(x),则有如下关系式:xxy2dd①(C为任意常数)由②得C=1,.12xy因此所求曲线方程为21xy②由①得切线斜率为2x,求该曲线的方程.引例2.列车在平直路上以的速度行驶,制动时获得加速度求制动后列车的运动规律.解:设列车在制动后t秒行驶了s米,已知,00ts由前一式两次积分,可得2122.0CtCts利用后两式可得因此所求运动规律为tts202.02即求s=s(t).常微分方程偏微分方程含未知函数及其导数的方程叫做微分方程.方程中所含未知函数导数的最高阶数叫做微分方程(本章内容)0),,,,()(nyyyxF),,,,()1()(nnyyyxfy(n阶显式微分方程)微分方程的基本概念一般地,n阶常微分方程的形式是的阶.分类或,00ts200ddtts引例24.022ddxy—使方程成为恒等式的函数.通解—解中所含独立的任意常数的个数与方程)1(00)1(0000)(,,)(,)(nnyxyyxyyxy—确定通解中任意常数的条件.n阶方程的初始条件(或初值条件):的阶数相同.特解xxy2dd21xy引例1Cxy22122.0CtCts通解:tts202.0212xy特解:微分方程的解—不含任意常数的解,定解条件其图形称为积分曲线.(4)410125sinyyyyyx2()20xyyyxsinxdyxyedxcos1dyxydx线性：未知函数及其各阶导数都是一次的。第二节第十二章一阶微分方程一、可分离变量微分方程二、齐次方程三、全微分方程（数一）四、一阶线性微分方程一、可分离变量微分方程转化解分离变量方程xxfyygd)(d)(可分离变量方程)()(dd21yfxfxy0)(d)(11xNxxMyyNyMd)()(22分离变量方程的解法:xxfyygd)(d)(设y＝(x)是方程①的解,xxfxxxgd)(d)())((两边积分,得xxfd)(①则有恒等式②当G(y)与F(x)可微且G’(y)＝g(y)≠0时,说明由②确定的隐函数y＝(x)是①的解.则有称②为方程①的隐式通解,或通积分.同样,当F’(x)=f(x)≠0时,上述过程可逆,由②确定的隐函数x＝(y)也是①的解.例1.求微分方程的通解.解:分离变量得xxyyd3d2两边积分得13lnCxyCxylnln3即1CeC令(C为任意常数)或说明:在求解过程中每一步不一定是同解变形,因此可能增、减解.(此式含分离变量时丢失的解y=0)例2.解初值问题0d)1(d2yxxyx解:分离变量得xxxyyd1d2两边积分得即Cxy12由初始条件得C=1,112xy(C为任意常数)故所求特解为1)0(y例3.求下述微分方程的通解:解:令,1yxu则故有uu2sin1即Cxutan解得Cxyx)1tan((C为任意常数)所求通解:练习:解法1分离变量Ceexy即01)(yxeCe(C0)解法2,yxu令故有ueu1积分Cxeuu)1(ln(C为任意常数)所求通解:Cyeyx)1(lnueeeuuud1)1(二、齐次方程一、齐次方程二、可化为齐次方程一、齐次方程形如的方程叫做齐次方程.令,xyu代入原方程得)(dduxuxuxxuuud)(d两边积分,得xxuuud)(d积分后再用代替u,便得原方程的通解.解法:分离变量:例1.解微分方程.tanxyxyy解:,xyu令,uxuy则代入原方程得uuuxutan分离变量xxuuuddsincos两边积分xxuuuddsincos得,lnlnsinlnCxuxCusin即故原方程的通解为xCxysin(当C=0时,y=0也是方程的解)(C为任意常数)例2.解微分方程解:,2dd2xyxyxy方程变形为,xyu令则有22uuuxu分离变量xxuuudd2积分得,lnln1lnCxuuxxuuudd111即代回原变量得通解即Cuux)1(yCxyx)(说明:显然x=0,y=0,y=x也是原方程的解,但在(C为任意常数)求解过程中丢失了.(h,k为待二、可化为齐次方程的方程(数一))0(212cc,.111时当bbaa作变换kYyhXx,,dd,ddYyXx则原方程化为ckbha111ckbha令,解出h,k(齐次方程)定常数),求出其解后,即得原方程的解.,.211时当bbaa原方程可化为1)(ddcybxacybxaxy令,ybxavxybaxvdddd则1ddcvcvbaxv(可分离变量方程)注:上述方法可适用于下述更一般的方程)0(212cc)0(b例4.求解解:04kh令,5,1YyXxYXYXXYdd得再令Y＝Xu,得令06kh5,1kh得XXuuudd112积分得uarctan)1(ln221uXCln代回原变量,得原方程的通解:15arctanxy2151ln21xy)1(lnxC得C=1,故所求特解为思考:若方程改为如何求解?提示:三、一阶线性微分方程一、一阶线性微分方程二、伯努利方程一、一阶线性微分方程一阶线性微分方程标准形式:)()(ddxQyxPxy若Q(x)0,0)(ddyxPxy若Q(x)0,称为非齐次方程.1.解齐次方程分离变量两边积分得CxxPylnd)(ln故通解为xxPeCyd)(称为齐次方程;对应齐次方程通解xxPeCyd)(齐次方程通解非齐次方程特解xxPCed)(2.解非齐次方程)()(ddxQyxPxy用常数变易法:,)()(d)(xxPexuxy则xxPeud)()(xPxxPeud)()(xQ故原方程的通解xexQexxPxxPd)(d)(d)(CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(y即即作变换xxPeuxPd)()(CxexQuxxPd)(d)(两端积分得例1.解方程解:先解,012ddxyxy即1d2dxxyy积分得即2)1(xCy用常数变易法求特解.令,)1()(2xxuy则)1(2)1(2xuxuy代入非齐次方程得解得Cxu23)1(32故原方程通解为例2、1dydxxy解：dxxydy例3.求方程的通解.解:注意x,y同号,,d2d,0xxxx时当yyP21)(yyQ1)(由一阶线性方程通解公式,得exey1故方程可变形为0d2d3yyxyyxxy1lndCy所求通解为)0(CCeyyx这是以x为因变量,y为自变量的一阶线性方程例4、解微分方程sin2cos2xyyxy解：方程变形为222cossin2yyyxx令2,zy方程化为2cossin2zzxx二、伯努利(Bernoulli)方程（数一）伯努利方程的标准形式:)()(dd1xQyxPxyynn令,1nyzxyynxzndd)1(dd则)()1()()1(ddxQnzxPnxz求出此方程通解后,除方程两边,得换回原变量即得伯努利方程的通解.解法:(线性方程)例4.求方程的通解.解:令,1yz则方程变形为xaxzxzlndd其通解为ez将1yzxxd1exa)ln(xxd1Cxd2)ln(2xaCx代入,得原方程通解:内容小结1.一阶线性方程方法1先解齐次方程,再用常数变易法.方法2用通解公式CxexQeyxxPxxPd)(d)(d)(,1nyu令化为线性方程求解.2.伯努利方程思考与练习判别下列方程类型:xyyxyxyxdddd)1()ln(lndd)2(xyyxyx0d2d)()3(3yxxxy0d)(d2)4(3yxyxyyxxyxydd)2ln()5(提示:xxyyydd1可分离变量方程xyxyxylndd齐次方程221dd2xyxxy线性方程221dd2yxyyx线性方程2sin2ddyxxyxxy伯努利方程1.求一连续可导函数使其满足下列方程:提示:令txuuufxxfxd)(sin)(0则有xxfxfcos)()(0)0(f利用公式可求出)sin(cos21)(xexxxf2.设有微分方程,)(xfyy其中)(xf10,2x1,0x试求此方程满足初始条件的连续解.解:1)先解定解问题10,2xyy00xy利用通解公式,得xeyd1dd2Cxex)2(1CeexxxeC12利用00xy得21C故有)10(22xeyx2)再解定解问题1,0xyy1122)1(eyyx此齐次线性方程的通解为)1(2xeCyx利用衔接条件得)1(22eC因此有)1()1(2xeeyx3)原问题的解为y10),1(2xex1,)1(2xeex四、全微分方程（数一）判别:P,Q在某单连通域D内有连续一阶偏导数,①为全微分方程则求解步骤:方法1凑微分法;方法2利用积分与路径无关的条件.1.求原函数u(x,y)2.由du=0知通解为u(x,y)=C.一、全微分方程使若存在),(yxuyyxQxyxPyxud),(d),(),(d则称0d),(d),(yyxQxyxP为全微分方程.①),(yxyxo例1.求解0d)33(d)35(222324yyyxyxxyyxx解:因为yP236yyx,xQ故这是全微分方程.,0,000yx取则有xxyxuxd5),(04yyyxyxyd)33(02225x2223yx3yx331y因此方程的通解为Cyyxyxx332253123)0,(x例2.求解解:21xyP∴这是一个全微分方程.用凑微分法求通解.将方程改写为0ddd2xxyyxxx即,0d21d2xyx故原方程的通解为021d2xyx或Cxyx221,xQ可降阶高阶微分方程第三节一、型的微分方程二、型的微分方程三、型的微分方程（数一、数二）一、)()(xfyn令,)1(nyz因此1d)(Cxxfz即同理可得2)2(dCxynxd依次通过n次积分,可得含n个任意常数的通解.21CxC型的微分方程例1.解:12cosCxdxeyx12sin21Cxexxey241xey281xsin21xC32CxCxcos21CxC),(yxfy型的微分方程设,)(xpy原方程化为一阶方程设其通解为),(1Cxp则得),(1Cxy再一次积分,得原方程的通解21d),(CxCxy二、例3.求解yxyx2)1(2,10xy30xy解:代入方程得pxpx2)1(2分离变量积分得,ln)1(lnln12Cxp,30xy利用,31C得于是有)1(32xy两端再积分得233Cxxy