金陵科技学院微积分B2知识点

微积分B2复习要点一题型1.填空题(3×7=21分)；2.单项选择题(3×6=18分)；3.计算题(51分)；4.解答题(10分)二知识点第七章向量代数与空间解析几何空间曲面的方程(平面、球面、柱面、旋转曲面)例求球心为点),,(0000zyxM，半径为R的球面方程例平面直角坐标系中224xz的图形是圆，空间直角坐标系中224xz的图形是圆柱面。例XOZ面上224xz绕x轴旋转一周后的旋转体方程为。第八章多元函数微分学1.二元函数的定义域；例1求函数2244zxy=--的定义域D.解要使2244zxy=--有意义,应有22440xy--?,即2214yx+?.故22(,)14yDxyx禳镲镲=+?睚镲镲铪例2求ln()zxy=-的定义域D.解要使ln()zxy=-有意义,应有0xy-,故{}(,)0Dxyxy=-.例3求函数2222141zxyxy=--++-的定义域D。解要使2222141zxyxy=--++-有意义,应有22224010xyxyìï--?ïíï+-ïî,即2214xy+?,故{}22(,)14Dxyxy=+?2.二元函数的极限的计算；定义如果对于任意给定的正数，总存在一个正数，使得当20200)()(yyxx时，Ayxf),(恒成立，则称当),(yx趋于),(00yx时，函数),(yxf以A为极限。记作Ayxfyxyx),(lim),(),(00或Ayxf),(lim0例求2222001yxyxyxsin)(lim),(),(解当00yx,时022yx，1122yxsin由于无穷小量与有界量的乘积仍为无穷小量，所以2222001yxyxyxsin)(lim),(),(03.多元函数偏导数计算；（1）一阶偏导数的计算；（2）全微分的计算；概念：函数(,)zfxy的全微分为zzdzdxdyxy例求函数2235zxyxy的全微分．解因为2223,25zzxyxyxy，所以22(23)(25)dzxydxxydy．（3）多元复合函数的偏导数的计算；概念：设(,),(,),(,)zfuvuxyvxy，若(,),(,)uxyvxy在点(,)xy处偏导数存在，而(,)zfuv在对应点(,)uv处可微，则复合函数((,),(,))zfxyxy在点(,)xy处可导，且zzuzvxuxvxzzuzvyuyvy例已知22153,cos,coszuvuxyvyx，求,zzxy．解由链式法则有226cos2(sin)6cossin2zzuzvuyvyxxyyxxuxvx．用同样的方法，可得223sin22coszxyyxy（4）隐函数的偏导数的计算；例：设(,)zzxy是由方程zxyze确定的隐函数，试求,.zzxy（5）抽象函数求导例求复合函数(,)yzfxyx的一阶偏导数xz和yz。解令,yuxyvx，则(,)yzfxyx变为(,)zfuv，,yuxyvx复合而成的复合函数。2()zfufvffyyxuxvxuvx1zfufvffxyuyvyuvx练习：设(2,sin)zfxyyx，f具有一阶连续偏导数，求,zzxy6.可微、偏导、连续的关系;7.多元函数极值的计算。概念：设函数(,)zfxy在点000(,)Pxy的某邻域内有定义,若对于该邻域内异于0P的点,Pxy,有00(,)(,)fxyfxy(或00(,)(,)fxyfxy),则称00(,)fxy为函数(,)fxy的一个极大值(或极小值).例；求函数22442yxyxyxz的极值。解：解3342204220xyzxxyzyxy，得(,)(1,1),0,0xy。而22122,2,122xxxyyyzxzzy对(,)(1,1)xy，2212210,2,12210xxxyyyzxzzy，知(,)(1,1)xy为极小值点。且极小值为-2。第九章二重积分1.二重积分的计算(直角坐标,极坐标)；例（1）Ddyx6，其中D由1,2,xxyxy所围成（2）求DDxyd,是由直线3xy与曲线1212xy所围成（3）计算DyxxyIdd，其中D由曲线2yx及yx562所围成．解画出积分区域D的图形．265xy2yx2Dx(1,1)Oy(4,-2)积分区域D的不等式组表示为2:yD≤x≤y56，2≤y≤1，所以yyyyxxyyIyyd)56(21dd12456122427613532121632yyy．（4）4:2222yxDdyxD(5)41:)(22522yxDdyxD2.交换积分次序；例交换二重积分xedyyxfdxln),(01的积分次序。解：由二次积分的上、下限知积分D的图形是0y与xyln在],[e1之间的部分，则:Dxyexln,01若先对y后对x积分，此时积分区域可表示为:Dexeyy,10因此，我们可以交换积分次序xedyyxfdxln),(01=eeydxyxfdy),(10例（1）4122),(ydxyxfdyexyo11Dlnyx(2)xdyyxfdx010),(+xdyyxfdx2021),(3.二重积分的性质与应用。例设D由xyxyy1,0,2所围成，求平面图形D的面积。第十章微分方程与差分方程1.微分方程的相关概念；2.一阶线性微分方程的通解和特解的计算；方程xQyxPdydx(1)称为一阶线性微分方程(注意其特点为它对于未知函数y及其导数dydx是一次方程)当0x时，方程(1)为齐次的，当Qx不恒等于零时，方程(1)为非齐次的．0yxPdydx(2)称为方程(1)对应的齐次方程，它是可分离变量型pxdxpxdxyeQxedxC.例求方程25112xxydxdy的通解分析(常数变易法)这是251.11xxQxxP的一阶非齐次线性方程．它有两种解法：常数变易法与公式法解法一(常数变易法)先求对应齐次方程的通解．yxdxdy12,dxxydy12,cxyln1ln2ln,21xCy,用常数变易法，把c换成u，即令21xuy,1212'xuxudxdy,代入所给非齐次方程，有121ux,Cxdxxu23211321,于是Cxxy2321321,解法二(公式法)直接由pxdxpxdxyeQxedxC给出，其中21ln12xdxxdxxp2.二阶常系数齐次线性微分方程的通解和特解的计算。二阶常系数齐次线性微分方程求通解,特解概念：若22()()0dydyPxQxydxdx中(),()PxQx为常数，称之为二阶常系数齐次微分方程。解题步骤：（1）写出微分方程对应的特征方程20rprq，并求解出特征根12,rr（2）根据特征方程的两个根的不同情形，按照下列表格写出微分方程的通解：特征方程2rprq0的两个根12r,r微分方程ypy+qy=0的通解两个不相等的实根12r,r12rxrx12yCeCe两个相等的实根12r,r一对共轭复根1,2ri1rx12yCCxe12yeCcosx+Csinxx（3）将初始条件代入（2）中的通解中求解出通解中的12,CC（4）将12,CC代入到通解里去，得到题目要求的特解。例题：求微分方程230yyy‘满足初始条件0|0xy，0'|4xy的特解。解：所给微分方程的特征方程为2230rr其根121,3rr是两个不相等的实根，因此所求通解为312xxyCeCe（1）从而312'3xxyCeCe（2）将初始条件0|0xy，0'|4xy代入（1）、（2）得：120CC，1243CC从而121,1CC所以，原微分方程的特解为3xxyee例题：求方程2220dsdssdtdt满足初始条件：2..400sstt的特解解对于求满足初始条件的特解的这类方程，应先求出原方程的通解,然后再求特解：原方程对应的特征方程为：.0122rr即0)1(2r2121,.1rrrr为重根．tetccs)(21(1)再对(1)的两边关于t求导:tttetcccetccecdtds)()1)((212212(2)把40st代入(1)的41c把4210cst代入(2)得，22ctets)24(为所求．例题：求微分方程：052yyy通解．解所给方程的特征方程为：irrr2122042,0522,12为一对共轭复根．).2sin2cos(21xcxceyx(这里2,1)3.可降阶的二阶微分方程的通解与特解的计算类型1：),(yxfy令,py则py，于是可将其化成一阶微分方程。特点含有xyy,',''，不含y。例求微分方程2'''(1)2xyxy+=满足初始条件'00|1,3xxyy====的特解。解所给方程是'''(,)yfxy=型的。设'yp=，代入方程并分离变量后，有221dpxdxpx=+。两端积分，得2ln||ln(1)pxC=++，即'211(1)()CpyCxCe==+=?。又由条件'03xy==，得21C=，于是所求得特解为331yxx=++。类型2：),(yyfy令,py则dydppdxdydydpdxdpy，于是可将其化为一阶微分方程。特点不显含x。例解微分方程32yy满足初始条件21xy，21xy的特解。解令()ypy，将dpypdy代入原方程中得32dppydy分离变量并积分得241pyc由初始条件21xy，21xy，得10c，所以24py则2py2(10,)xy因所以取正号，即2dyydx分离变量并积分得21xcy再由初始条件21xy，得23c，所以方程满足初始条件的特解为13yx.第十一章无穷级数1.级数的性质；2.会判断级数(正项级数；交错级数；任意项级数)的敛散性3.幂级数的收敛半径、收敛区间的计算；4.函数展开成幂级数。5.常见级数的敛散性(几何级数、p级数、调和级数等)例（1）判断下列级数的敛散性：111nnn123nnnn1(4)(1)!nnnn（2）讨论级数311(1)nnn，11(1)(0)npnpn是绝对收敛还是条件收敛（3）将函数21()54fxxx在5x处展开，并指明其收敛域（4）幂级数114(1)nnnxn的收敛区间