《工程数学-复变函数与积分变换》吉林大学数学学院 习题详解

《工程数学-复变函数与积分变换》课后习题详解吉林大学数学学院（主编：王忠仁张静）高等教育出版社习题一（P12）1.1对任何z，22zz是否成立？如果是，就给出证明。如果不是，对哪些z值才成立？解：设zxiy，则2222zxyxyi，222zxy；若22zz成立，则有22222xyxyixy，即222220xyxyxy，解得0y，即zx。所以，对任何z，22zz不成立，只对z为实数时才成立。1.2求下列各式的值：（1）5(3)i；（2）6(1)i；（3）61；（4）13(1)i。解：（1）因为632iie，所以5555566631(3)223232()16(3)22iiiieeeii（2）因为412iie，所以63663442(1)2288iiieeei（3）因为1cossini，所以166221cossincossin66kkkwii，其中0,1,2,3,4,5k；即031cossin6622wii，1cossin22wii，25531cossin6622wii，37731cossin6622wii，433cossin22wii，5111131cossin6622wii。（4）因为12cos()sin()44ii，所以11362244(1)2cossin33kkkwii，其中0,1,2k；即1602cos()sin()1212wi，161772cossin1212wi，162552cossin44wi。1.3求方程380z的所有根。解法一：用因式分解法求解。因为3332282(2)(24)(2)(21)3zzzzzzzz22(2)(1)(3)(2)(13)(13)zzizzizi所以由380z，得(2)(13)(13)0zzizi，解得12z，213zi，313zi；故方程380z的所有根为12z，213zi，313zi。解法二：用复数的方根的方法求解。由380z，得38z，即z是8的三次方根；而88(cossin)i，所以33222288cossin2cossin3333kkkkkzii，其中0,1,2k；即02cossin1333zii，12(cossin)2zi，2552cossin1333zii。故方程380z的所有根为013zi，12z，213zi1.4指出下列各题中点z的轨迹或所在范围，并作图，（1）56z；（2）21zi；（3）Im()2z；（4）0argz。解：（1）56z表示以点(5,0)为中心，6为半径的圆周；（2）21zi表示以点(0,2)为圆心，1为半径的圆周及圆周的外部；（3）Im()2z表示直线2y及其下面的部分；（4）0argz表示位于x轴上方的部分。1.5指出下列不等式所确定的区域或闭区域，并指明它是有界的还是无界的，单联通的还是多联通的。（1）Im()0z；（2）14z；（3）0Re()1z；（4）23z。解：（1）Im()0z表示位于x轴上方的区域，它是无界区域，是单联通的；（2）14z表示以点(1,0)为中心，4为半径的圆周的外部区域，它是无界区域，是多联通的；（3）0Re()1z表示介于两直线0x与1x之间的区域，它是无界区域，是单联通的；（4）23z表示夹在以原点为圆心，2和3为半径的圆周之间的部分并且包含那两个圆周的闭区域，它是有界的，但它是多联通的。1.6已知映射3wz，求：（1）点1zi，21zi，33zi在w平面上的像；（2）区域0arg3z在w平面上的像。解：（1）将1zi，21zi，33zi分别代入3wz，得33211wziiii，33222(1)(1)(1)2(1)22wziiiiii，3333366233(3)2288iiiwzieeei，即点1zi，21zi，33zi在w平面上的像分别为i，22i，8i。（2）设wuiv，则由3wz，可得3arg2Argwzk（kZ）；又arg2Argwwm（mZ），所以，当0arg3z时，0argw；从而区域0arg3z在w平面上的像是位于u轴上方的部分。1.7设1()2zzfzizz（0z），试证当0z时()fz的极限不存在。证：因为222221()()2Re()2Im()2Re()Im()()2222zzzzzzzzzizzzfzizzizzizizz，则令zxiy（,xyR），()(,)(,)fzuxyivxy，代入上式，得222(,)(,)xyuxyivxyxy，即222(,)(,)0xyuxyxyvxy；又当0z时，有0x且0y；而220002lim(,)limxxoyyxyuxyxy不存在，所以0lim()zfz不存在。1.8试证argz在原点与负实轴上不连续。证：（1）因为0Arg无意义，故rg0a也无意义，即argz在0z处无定义，故argz在0z处不连续。（2）设00x为负实轴上的任意一点，因为argz，如右图所示，当z在第二象限中沿直线0xx趋于0x时，argz趋于；而当z在第四象限中沿直线0xx趋于0x时，argz趋于；所以0limargzxz（00x）不存在，故argz在负实轴上不连续。由（1）（2）可知，argz在原点与负实轴上不连续。第二章解析函数习题二（P25）2.1利用导数定义指出：（1）1()nnznz（n为正整数）；（2）211zz。解：（1）由导数的定义，有0()()limnnnzzzzzz1232210()()()()...()limnnnnnzzzzzzzzzzzzzzzzz分子分解因式1232210lim()()()...()nnnnnzzzzzzzzzzzzz1232211...nnnnnnzzzzzzzznz所以1()nnznz。（2）由导数的定义，有20000()11111()()limlimlimlim()zzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzzz，故211zz。2.2下列函数何处可导？何处解析？（1）2()fzxiy；（2）33()23fzxyi；（3）22()fzxyixy；（4）()sincosfzxchyixshy解：（1）因为2()fzxiy，所以2uxvy，则2uxx，0uy，0vx，1vy；显然，这四个偏导函数在整个复平面上都是连续的；若CR方程成立，则2100x，即12x；即只有当12x时，2()fzxiy才满足CR方程。所以，函数2()fzxiy只在直线12x上的点可导。由函数解析的定义可知，函数2()fzxiy在整个复平面内处处不解析。（2）因为33()23fzxyi，所以3323uxvy；则26uxx，0uy，0vx，29vyy；显然，这四个偏导函数在整个复平面上都是连续的；若CR方程成立，则226900xy，即230xy；即只有当230xy时，33()23fzxyi才满足CR方程。所以，函数33()23fzxyi只在直线230xy上的点可导。由函数解析的定义可知，函数33()23fzxyi在整个复平面内处处不解析。（3）因为22()fzxyixy，所以22uxyvxy；则2uyx，2uxyy，2vxyx，2vxy；显然，这四个偏导函数在整个复平面上都是连续的；若CR方程成立，则2222yxyxyx，即0xy；即只有当0xy时，22()fzxyixy才满足CR方程。所以，函数22()fzxyixy只在点0z处可导。由函数解析的定义可知，函数22()fzxyixy在整个复平面内处处不解析。（4）因为()sincosfzxchyixshy，所以sincosuxchyvxshy；则cosuxchyx，sinuxshyy，sinvxshyx，cosvxchyy；显然，这四个偏导函数在整个复平面上都是连续的，并且()sincosfzxchyixshy在整个复平面内满足CR方程；所以，函数()sincosfzxchyixshy在整个复平面内处处可导，从而处处解析。2.3指出下列函数的解析性区域，并求其导数。（1）5(1)z；（2）32ziz；（3）211z；（4）azbczd（c，d中至少有一个不为零）解：（1）函数5(1)z在整个复平面内处处解析，且54(1)5(1)zz。（2）函数32ziz在整个复平面内处处解析，且32(2)32zizzi。（3）函数211z在除去1z的复平面内处处解析，且当1z时222121(1)zzz。（4）因为c，d中至少有一个不为零，则①当0c时，函数为azbd，它在整个复平面内处处解析，且azbadd；②当0c时，函数azbczd在除去dzc的复平面内处处解析，且当dzc时22()()()()azbaczdcazbadbcczdczdczd。2.4求下列函数的奇点：（1）21(1)zzz；（2）222(1)(1)zzz。解：（1）函数21(1)zzz的奇点即为该函数没有意义的点，也即为该函数分母等于零的点，即0,zi为函数21(1)zzz的奇点。（2）函数222(1)(1)zzz的奇点即为该函数没有意义的点，也即为该函数分母等于零的点，即1,zi为函数222(1)(1)zzz的奇点。2.5如果()fzuiv是z的解析函数，证明：222()()()fzfzfzxy。证：由()fzuiv是z的解析函数，得uvxyuvyx且()uufzixy，从而222()uufzxy；又22()fzuv，则2222()uuuvuvuvfzxyxxxuvuv，2222()uvuuuvuvfzyyyxyuvuv；所以22222222()()uuuuuvuvfzfzxyyxxyuvuv222222222222uuuuuuuuuuvvuuvvxxyyyxyxuv