Lebesgue积分思想简介

第一页（共八页）Lebesgue积分思想简介数学与信息工程系数学与应用数学2012级吴茂岚指导老师柳彦军摘要：实变函数论的创立是为了克服牛顿和莱布尼茨所建立的微积分学存在的缺点，黎曼积分的积分对象是连续函数和“基本连续”函数。而许多现实问题中遇到的函数并不具有这种特性。另外，黎曼积分在处理积分与极限交换次序、重积分交换次序等问题时对条件的要求过于苛刻，一般来说是不容易被满足的，这就使得黎曼积分在解决具体问题时受到很大的限制。虽然黎曼积分在微积分学领域的重大贡献是无可替代的，但摆脱各种条件的限制，使得运算变得灵活是数学家们一直以来追求的目标。关键词：Riemann积分，实变函数，微积分Abstract：ThefoundationoftherealvariablefunctiontheoryistoovercometheshortcomingsoftheNewtonandLeibniz'scalculus.TheintegralobjectoftheRiemannintegralisthecontinuousfunctionandthebasiccontinuousfunction.Andmanyoftherealproblemsencounteredinthefunctiondoesnothavethisfeature.Inaddition,theRiemannintegralintheprocessofintegralandlimitexchangeorder,theweightoftheexchangesequenceandotherissuesoftherequirementsoftheconditionsaretooharsh,generallyspeaking,isnoteasytobesatisfied,whichmakestheRiemannpointsinsolvingthespecificproblemisverylimited.AlthoughtheRiemannintegralcalculusinthefieldofmajorcontributionisirreplaceable,butgetridofthelimitationofvariousconditions,makingtheoperationmoreflexibleismathematicianshavebeenpursuingthegoalof.Keyword:Riemannintegral,Realvariablefunction,calculus一、引言Lebesgue在发表于1902年的经典论文《积分、长度与面积》与随后出版的两部论著《论三角函数》和《积分与原函数的研究》中第一次阐述了测度理论与积分思想。其后十年，一批数学家广泛发展了Lebesgue的工作。包括Lebesgue本人、奥地利数学家Radon、美国数学家Nikodym等人相继推广了Lebesgue积分与Lebesgue测度理论，一般测度空间中的积分理论是由法国数学家费雷歇在第一页（共八页）1915年前后完成的。到20世纪30年代，Lebesgue积分理论已经很成熟，并在概率论、普理论、泛函分析等学科中获得广泛应用。现代积分理论的基本框架至20世纪50年代已大体形成。二、Riemann积分有缺陷，引入Lebesgue积分2.1Riemann积分回顾设f(x)是在［a,b]上的有界函数，取分割T={bXXaXn10}若有0lim0||||iTiTXw，则称f(x)在区间[a,b]上Riemann积分可积，积分写作iTiabTxfdxxf)(lim)(0||||],[1iiixx①然后我们看最简单的Dirichlet函数：QxQRxxf,1,0{)(，容易证明这个函数并不是Riemann可积的，由此我们看到了Riemann积分的要求太苛刻，至于一个简单的函数都未必可积。在①式中我们不难发现，要求Riemann可积，必须该极限与i的选取无关，这要求f(x)在区间[1,iixx]上改变很小，也就是函数不能“太过间断”，而满足这个条件的比较是少数，而这也是Riemann积分定义缺陷所在。1我们知道，积分与分割、介点集的取法无关。先看Riemann积分的定义：iniiabTxfdxxfR10||||)(lim)(）（，iiiiiixxxxx11割于是，它的几何意义（非负函数）：函数图像下发图形的面积。[1]2.2Riemann积分的充要条件要使f(x)在[a,b]上Riemann可积,即iniiTabXMdxxfbaxf10||||lim)(]),([)(dxxfxmabiniiT)(lim10||||inqiixtsT'0，分割，iiiiiiiiimMxxxxfmxxxxfM}:)(inf{}:)(sup{11iniiTabxfdxxfR10||||)(lim)(）（例：Dirichlet函数QxQxcxD]1,0[,1]1,0[,0{）（，1)(10dxxD，010dxxD）（D（x）不是Riemann可积。第一页（共八页）2.3Riemann积分的缺陷a）微积分基本定理若F’(x)在[a,b]上连续，则xaaFxFdttFR)()()('）（。1881年，Voltema作一可微函数，导函数有界，但是不Riemann可积。1980年，Cohn证明：若])),([(']),,([baLfbaDf则],[)()()('baafbfdxxfL）（。b）积分与极限交换次序数列的极限与积分交换次序是在数学分析中经常碰到的问题。然而,交换次序的条件是需要函数列一致收敛,这是不易满足的也不易验证的。例如，)10()(xxxfnn收敛于10,01,1{)(xxxf，但不是一致收敛的。可是，dxxfdxxfdxxfnnnn)(lim)(0)(lim101010。另一方面，即使是可积的，渐升的函数列，也不能保证其极限函数的可积性。如，设|r|n是[0,1]中的有理数的全体，作函数列Qrrrrxnnnxf;,,,,1,021{)(其他显然有1)()()()(121xfxfxfxfnn；)(xfi有i个间断点。)({)()(lim]1,0[,,,1,021xDxfxfQxrrrxnnn；其他不存在。而dxxfdxxfnnnn)(lim,0)(lim1010由于)(xfn只收敛，而不满足一致收敛，所以Riemann不可积。这里，每个)(xfn皆是[0,1]上的Riemann可积函数，且积分值为0，故0)(lim10dxxfnn。但是函数f(x)（Dirichlet函数）不是Riemann可积的。因此，不能在积分号取下极限了。再说，设)}({)},({xgxfnn是[a,b]上的可积函数列，且,,2,1,|)(|,)(fnnMxgMxn以及)()(lim),()(limxfxgxfxfnnn，则必有第一页（共八页）bannbanndxxgdxxf)(lim)(lim，然而f(x)的积分可能是不存在的，也就是说，上述积分的极限并不依赖与(x)}{fn本身，而依赖于f(x)。既然如此，定义积分为dxxfdxxfbanban)(lim)(也无妨，这说明Riemann积分的定义太窄。[6]2.4勒贝格积分的引入在黎曼积分的范围内对具有无穷多次激烈震荡的函数无法进行研究，于是勒贝格提出不分割函数的定义区间，而是从分割函数的值域入手定义积分，引入勒贝格积分的方式通常有三种：方式1：设xf是定义在nR中可测集E上的有界函数。作可测集E的任意可测划分：imiEED1:,jiEEji.令：xfbiExiinf,xfBiExisup,,,2,1mi对应分划D的小和与大和分别为miiiDmEbs1与miiiDmEBS1.讨论其小和的上确界DDssup与大和的下确界DDSinf是否相等，若二者相等，则称xf在可测集E上勒贝格可积，并称二者的共同值为xf在E上的勒贝格积分。方式2：设xf是定义在nR中可测集E上的有界函数，即BxfA。将BA,任意分成n个小区间：.:110ByyyyyADnii在每个小区间上任取一点iiiyy,1ni,,2,1，xf关于分划D的勒贝格和为,,11niiiiyfymEDfL其中.,11iiiiyxfyExxyfyE且记.11maxiiniyy对BA,的任意分划D及任意的iiiyy,1，讨论极限niiiiyxfymE110lim第一页（共八页）是否存在。若极限存在，则称xf在可测集E上勒贝格可积，并称该极限值为xf在E上的勒贝格积分。方式3：设xf是定义在nR中可测集E上的非负可测函数，令，为简单函数,0ff定义xf在E上的勒贝格积分为Efdxsup，其中非负简单函数miEiic1，的示性函数为iEEi在E上的积分EmiiimEcdx1，然后利用非负可测函数的勒贝格积分定义一般可测函数的勒贝格积分。[2][7]2.5Lebesgue积分的性质（1）设0mEE但，则对于E上的任何实函数xf都有Efdx.0（2）设xf在E上的积分确定，则0fmE，即xf在E上a.e.有限。（3）设xf在E上的积分确定，则xf在E上的任一可测子集A上的积分也是确定的。又如BAE，A与B皆可测且BAE，则.dxxfdxxfdxxfBAE（4）设xf在E上的积分确定，并且Eeaxgxf于..，则xg在E上的积分也是确定的，并且.dxxgdxxfEE（5）设xf和xg在E上非负可测，则.dxxgdxxfdxxgxfEEE（6）设xf和xg在E上积分确定，并且xgxf，则.dxxgdxxfEE（7）设xf和xg在E上可积，c为一实数，则xcf和gf在E上也是可积的，并且,EEfdxcdxcfEEEgdxfdxdxgf.（8）当xf在E上的积分值确定时，dxffdxEE，f在E上可积的充分必要条件是xf在E上可积（勒贝格积分的绝对可积性）。（9）当xf在E上非负可积时，若Efdx0，则EEeafdx...0于第一页（共八页）（10）（积分的绝对连续性）设xf在E上可积且EA，则0lim0dxxfAmA，即0，有0，使得当EA且mA时有.Afdx注：（1）关于黎曼积分，性质（8）是不成立的。对于正常黎曼积分来说，虽然当f在某区域D上可积时，f在D上也可积，但是当f在D上可积时，f在D上却不一定是可积的。对于广义黎曼积分来说，当f在某区域D上可积时，f在D上不一定可积。（2）关于非正常黎曼积分，性质（10）不成立。[1][3]2.6一般可测函数的勒贝格积分2.6.1非负函数的勒贝格积分定义1：设xf为定义在可测集nRE上的非负可测函数。若存在测度有限的单调递增可测集列iEi1，满足EEiilim，且存在定义在E上的单调递增有界可测函数列xfii1，满足xfxfiilim，则称dxxfEiilim（其为有限值或）为xf在E上的勒贝格积分，记为