微积分课件换元积分法5.xls

5.2换元积分法xxd2cosCx2sin解决方法将积分变量换成令xt2xxd2costtdcos21Ctsin21Cx2sin21x2sinx2cosxxdcosCxsinx2cos2.2x因为xd)d(221x,d21dtxtdt21xt2第一换元积分法例5.6求下列不定积分22xaxdx求定理()[()]()dgxdxfxxxuufd)(第一类换元公式)(d)]([xxf)(xu（凑微分法）)(xu可导,则有换元公式设)(uf具有原函数,注“凑微分”的主要思想是:将所给出的积分凑成积分表里已有的形式,合理选择是凑微分的关键.)(xu)(xu小结常见的凑微分类型有xbaxfd)(xxbaxfmmd)(1)(d)()1(111baxbaxfmamm)0()(d)(1abaxbaxfa2d)1(xxxf)1d()1(xxfxxxfd1)(ln)lnd()(lnxxfxeefxxd)()d()(xxeefxxxfd)()d()(2xxfxxxfdsec)(tan2xxxfdcsc)(cot2xxxfd11)(arcsin2xxxfd11)(arctan2小结xxxfdcos)(sinxxxfdsin)(cosxxfdsin)(sinxxfdcos)(cosxxftand)(tanxxfcotd)(cotxxfarctand)(arctanCxf)(lnxxfarcsind)(arcsinxxfxfd)()()()(dxfxf例5.7求下列不定积分50(1)(2)xdx221(2)dxax221(3)dxax221(4)dxax(5)tanxdx1(6)lndxxx例5.7（4）)0(d122axxa解:因为221xa原式=xxaxxaad1d121Cxaxaalnln21Cxaxaaln21xaxaa1121)0(ln21d122aCaxaxaxax例5.7（5）xxdtan解：原式=xxxdcossinxxcoscosdCxcoslnCxxxsinlndcot换元积分法例5:8求下列积分2(1)sindxx2cosd=xx思考：？例5.10求下列积分223(1)d1xxxx补充例题求xxd2sin法一xxd2sind2sinxCx2cos21法二xxd2sinxxxdcossin2)(sindsin2xxCx2sinxu2uudsin21xusinCucos21uud2Cu221)2(x解CxxxcosdsinCxxx1d1法三xxd2sinxxxdcossin2)(cosdcos2xxCx2cosxucosuud2Cu2同一个积分用不同的方法计算,可能得到表面上不一致的结果,但是实际上都表示同一族函数.注换元积分法Cxxx1d1第二换元积分法xxd11有根式解决方法消去根式,,xt令xdxxd11ttt1d2tttd1112tttd11d2Ctt)1ln(22Cxx)1ln(22)0(2ttx困难即则ttd2tttd2回代根据被积函数f(x)的形式，选择不同的变量代换，如：.)]([)()()]([)(1)(1cxFctFdtttfdxxfxttxdttdx）（）（第二种换元积分法1.根式换元法（消去根式法）举例：x1dx.1313dxxx当被积函数中含有被开方因式为一次式的根式,baxn则设.tbaxn1d(1665.12)xxx课本页例（1）2.三角换元法（课本164页）三角换元的目的是化掉根式.一般规律如下：当被积函数中含有22)1(xa可令;sintax22)2(xa可令;tantax22)3(ax可令.sectaxaxa22ax例5.11求下列积分22(1)d(0)axxa解令taxsinttaxdcosd2,2txxad22ttadcos22taa222sin)d2cosd1(2d22cos122tttattaCtta)2sin21(22tax22xa辅助三角形axarcsinttadcosaxaarcsin22Cttta)cossin(22Cxax222回代例5.12求下列积分1(1)dxxx