高数课件导数与微分

第二章倒数与微分第一节倒数的概念一.变速直线运动的速度问题1.汽车的行驶在很短的时间内，我们用平均速度来近似的代替瞬时速度，当很小时，近似程度就越好,此时由近似值就过渡到精确值汽车在t+内的行驶路程为，在t时刻的速度v(t)=t0tts)0(/)(lim/limttttsts例已知自由落体运动方程S=1/2gt2求（1）落体在t0到t0+这段时间内的平均速度；（2）落体在t=t0时的瞬时速度；（3）落体在t=10s到t=10.1s这段时间内的平均速度；（4）落体在t=10s时的瞬时速度。t（1）（2）由上式知，t=t0时的瞬时速度为：（3）当t0=10,=0.1s时，平均速度为（4）当t=10s时，瞬时速度为)(21)(2100220ttgtgtttgtSV000)21(lim0gtttgVtttt)/(05.10)1.02110(smggV)/(1010tsmgV二.曲线的切线问题与曲线只有一个交点的直线为圆的切线，y=x2在原点两个坐标轴都符合圆的切线的定义，但在实际中切线只有一条导数的定义定义2-1设函数y=f(x)在点x0及其邻域有定义，当自变量x在点x0处取得增量时，相应函数y取得增量如果存在，则称函数y=f(x)在点x0处可导，并称此极限为函数y=f(x)在点x0处的导数，记做，即=x)()(00xfxxfyxxfxxfxyx)()(000lim)(f0xxxfxxfxyx)()(000lim)(f0x比值反映自变量时，函数的平均变化率；导数反映函数在点x0处的瞬时变化率，即函数随自变量变化而变化的快慢程度；若函数y=f(x)在区间（a,b）内每一点都可导，则称函数y=f(x)在区间（a,b）内可导；导函数简称导数xyxxx00)(f0x求导数的步骤•（1）求增量：•（2）算比值：•（3）取极限：)()(xfxxfyxxfxxfxy)()(xxfxxfxyx)()(lim0常见的导数公式•（常数的导数等于零）•幂函数•0）（C)()(x1Raaxaaxxxxxxxxxxxxcsccot)(cscsectan)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin22•对数函数•指数函数)(1)(lnlog1)(loga时eaxxexxaxxxxeea)(lna)(a导数的几何意义•函数y=f(x)在点x0处的导数表示曲线y=f(x)上点M（x0,f(x0)）的切线斜率k,k=tan=•函数在点M（x0,f(x0)）处的切线方程•函数在点M（x0,f(x0)）的法线方程)(f0x)(f0x例2-7求曲线在点（4,2）处的切线方程和法线方程。例2-8曲线上何处的切线平行于直线y=x+1。xyxyln可导的充要条件•定义2-2若存在，则称其为函数y=f(x)在点x0处的左导数，记作，即=xxfxxfxyxx)()(lim0000lim)(f0x)(f0xxxfxxfxyxx)()(0000limlim•同样，如果存在，则称其为函数y=f(x)在点x0处的右导数，记作，即=因此，函数y=f(x)在点x0处可导的充要条件是左右导数存在且相等，即=xxfxxfxyxx)()(lim0000lim)(f0x)(f0xxxfxxfxyx)()(000lim)(f0x)(f0x例2-9讨论函数y=f(x)=在点x=0处的可导性。0,0,{xxxxx可导与连续的的关系定理2-1若函数y=f(x)在点x处可导，则它在该点处必连续。若函数y=f(x)在点x处连续，则它在该点处不一定可导。例2-11讨论函数y=f(x)=在点x=1处的连续性与可导性。连续性左极限=右极限=函数值可导性左导数=右导数1,1,223{xxxxx第二节函数的和、差、积、商求导法则一、函数的和、差、积、商的导数定理2-2（导数的四则运算的法则）若函数u=u(x),v=v(x)都是x的可导函数，则（1）也是x的可导函数，且（2）u*v也是x的可导函数，且（3）也是x的可导函数，且特别vuvvuu）（vuvuv）（u)0(uvv)0()(2vvvuvuvu)0()1(),()(u2uuuuxuCxC•（4）•（5）例2-12求例2-13求例2-14例2-15例2-16nnuuuuuu321321u)u(nnnnuuuuuuuuu21212121uuu）（7352y23xxxy的导数2lgsin22xxxyyxxy，求3lnsin3yxxy，求sin2yxxeyx，求)cos(sin例2-17求y=tanx的导数；例2-18求y=secx的导数；例2-19求函数的导数，并求例2-20求函数的导数xxxfycos1cos1)()2(f11xxy第三节反函数与复合函数的导数一反函数的导数定理2-3设为直接函数，是它的反函数，如果在区间I内严格单调、可导，且，那么它的反函数在对应的区间内可导，且有)(yx)(xfy)(yx0)(y)(xfy)(1)(,1yxfdydxdxdy或结论概括：反函数的导数等于它的原函数导数的倒数例2-21求的导数例2-22求的导数xyarcsinxyarctan基本初等函数的导数公式•（常数的导数等于零）•幂函数•三角函数0）（C)()(x1Raaxaaxxxxxxxxxxxxcsccot)(cscsectan)(seccsc)(cotsec)(tansin)(coscos)(sin22•反三角函数222211)cot(;11)(arctan;11)(arccos;11)(arcsinxxarcxxxxxx•对数函数•指数函数)(1)(lnlog1)(loga时eaxxexxaxxxxeea)(lna)(a二复合函数的导数定理2-4（复合函数求导法则）若函数在点x处可导，函数在对应点u处可导，则复合函数在点x处可导，且)(xu)(ufy)]([xufy)()u(,xfyuyydxdududydxdyxxux，或或例2-23例2-24例2-25例2-26例2-27dxdyxy，求tanlndxdyeyx，求3dxdyxxy，求212sindxdyxy，求sinlndxdyxy，求3221例2-28例2-29例2-30dxdyeyx，求)cos(lnyeyx，求1sinyxnxyn，求sinsin第四节隐函数、幂指函数及参数式函数的导数一隐函数的导数用自变量x表示y的函数即，如y=3x+1,y=lnx+sinx等，称之为显函数；函数y与自变量x的关系由方程F（x,y）=0表示的函数称为隐函数，如3x-y+1=0,xy+x+1=0等。)(xfy隐函数的求导法则：方程两边同时对自变量x求导，得到一个含的方程式，从中解出即可。注：方程两边对x求导，是指遇到x时，可直接求出其导数；遇到y或y的函数时，把y看成中间变量，按照复合函数的求导法则先对y求导，再对x求导。yy例2-31求由方程所确定的函数y对自变量x的导数例2-32求由方程所确定的隐函数y对自变量x的导数例2-33求曲线上点（3,-4）处的切线方程和法线方程0yxexye03275xxyy2522yx二幂指函数的导数形如的函数称为幂指函数。如等幂指函数求导方法：1.对数求导法2.指数求导法)0)(()()(xfxfyxg其中)(,sinoxxyxyxx1.对数求导法步骤：1）两边取对数2）方程两边同时对X求导，得到一个关于的方程式，从中解出2.指数求导法yy例2-34求函数的导数例2-35设例2-36求函数的导数xxysinyxyx求,)cos1(1)4)(3()2)(1(xxxxy三参数式函数的导数定理2-5设函数由参数方程所确定，当都可导，且，则由参数方程所确定的函数（参数式函数）的导数为)(xfy)()({txty)(t)()(tytx与0)(t)(xfy)()(,ttyxydtdxdtdydxdyxtt或例2-37求参数方程的导数例2-38求曲线在处的切线方程和法线方程例2-39已知参数方程，求。)sin1(cos{xytaxtbycossin{4ttexteyttsincos{dxdy第五节高阶导数定义一函数的导数的导数称为函数二阶导数，记为定义二若函数存在n-1阶导数，并且n-1阶导数可导，那么函数的n-1阶导数的导数，称为的n阶导数，记为二阶和二阶以上的导数统称为高阶导数)(xfy)(xf)(xfy).(,,),(2222xfdxddxydyxf)(xfy)(xfy)(xfy).(,,),()()()2()()()(xfdxddxydyxfnnnnn例2-40求函数y=ax+b的二阶导数例2-41设，求例2-42设，求例2-43求函数的四阶导数例2-44求由方程所确定的隐函数的二阶导数xxy232yxxeyy653423xxxy422yxy例2-45求参数方程所确定的函数的二阶导数例2-46求的n阶导数例2-47设txtysincos{22dxydxysin)(),1ln(nyxy求第六节微分的概念、基本公式及运算法则一.面积的增量定义2-3设函数在点处可导，则称为函数在点处的微分，记做或，即这时也称函数在点x处可微)(xfyxxxf)(0)(xfyxdy)(xdfxxfdy)()(xfy例2-48求函数时的。例2-49已知半径为r的球，其体积为，当半径r增大时，求体积的增量和微分例2-50求下列函数的微分01.032xxxy处，当在dyy和234rvrxxexxfxy2)()2(;sin)1(二微分的几何意义