浅谈Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别

浅谈Lebesgue积分与Riemann积分的联系与区别有人说，Lebesgue积分是Riemann积分的推广。然而对广义Riemann积分来说，Riemann积分的可积性并不意味着Lebesgue积分的可积性。那么，他们之间有怎么样的联系和区别呢，首先，我们先来回顾一下两种积分的定义。一、积分定义Riemann积分定义假设)(xfy是区间ba,上的函数，若存在某个常数A，使得对区间ba,的任意分割：bxxxan10及任意,1,,1,0,,1nixxiii只要,0max110iinixx就有Axxfiinii)()(110则称f在ba,上Riemann可积。Lebesgue积分定义设nRE是测度有限的可测集，f是定义在E上的有界可测函数，即存在R,,使).,()()(ExxfEf若nlllD10:是,得任一分点组，则记kkkkklxflxEEllD)(,max)(11，对任意kkkkll1,，作和式ADS)(，则称f在E上是Lebesegue可积的。若)(xf是E上的可测函数，且mE，如果ff,在E上的积分至少有一个不为，则称)(xf在E上有积分，并记.)()()(dxxfdxxfdxxfEEE若Edxxf)(为有限数，则称)(xf在E上Lebesgue可积。二、L积分与R积分的联系由于在通常意义下的R可积性意味着L可积性，所以我们有定理如果有界函数)(xf在闭区间ba,是R可积的，则)(xf在ba,也是L可积的，且babadxxfdxxf)()(,，此处badxxf,)(表示f在ba,上的L积分，badxxf)(表示f在ba,上的R积分。证明：因为f是有界函数，所以只需证明f是ba,上的可测函数。由于f是R可积的，取ba,的分点组mD，,:)()(1)(0bxxxaDmimmmm,1mmDD0max)()(1)(1mimiiimxxDm，记)()(,mimiMm分别为f在)(1)(mimixx的下确界与上确界，由R积分的定义知)(lim)(lim)(1)(1)()(1)(1)(mimiiimimmimiiimimxxMxxmmmbadxxf)(。令mm,为如下的函数列：)(xm)()(afmmi,,axxxxmimi)()(1,()(xm=)()(afMmi,,axxxxmimi)()(1,(则因1mmDD，故当区间长度缩小时，上确界不增，下确界不减，所以,21fm.21fm于是,limffmmffmmlim，即.fff注意到ff,都是有机可测的，所以ff是非负L可积函数，从而ba,(ff0),,dxfdxfdxbaba。又dxxfxxmdxxdxxfbamimiiimibambam)()()()()(1)(1)(,,，bamimiiimibambadxxfxxMdxdxxfm)()()()(1)(1)(,,，这说明dxxfdxxfdxxfbababa)()()(,,，所以,)()(,,dxxfdxxfbaba即badxxfxf,0))()((，由定理3（曹广福版实变函数上76页）知ffbaea,..,进一步fff..eaba,。因此f在ba.上可测。证毕。上述定理中，如果f是在ba.上广义R可积，则不一定成立。然而，通过一些条件变换，我们有定理若)(xf在ba.上广义R可积，且)(xf不变号，则)(xfL可积，且积分值相等。证明：就无界函数)(xf，积分值域为1,0，)(xf仅在0a无界，)(xf在1,0上非负来证明。令)(xfn)(0xf,,1,11,0nxnx则每个)(xfn，Nn都是非负的有界可测函数，容易证明)()(021xfxf，且)()(limxfxfnn由Levi定理dmxfdmxfnn)(lim)(1,01.01,1)(limnndmxf=11)(limnndmxf=10)(dmxf。证毕三、L积分与R积分的区别从L积分与R积分的定义来看，两种积分的主要区别是，R积分是将给定函数的定义域分小而产生的，而L积分则是划分函数的值域而产生的。R积分的优点是1,iiixx得度量容易给出，但是当分发的细度T充分小时，函数)(xf在i上的振幅)(inf)(supxfxfiixxi仍可能较大。L积分的优点是函数)(xf在kE上的振幅)()(inf)(supmExExEDxfxfkkk较小，但kE不再是区间，而是可测集。L积分理论是在测度理论基础上建立的，而测度是平面上度量的推广，故而L积分可以处理有界函数和无界函数的情形，而且把函数定义在更一般的点集上，而不仅仅局限于ba.上，从而使L积分的积分范围比R积分更广泛。而在重积分运算时，R积分理论要求重积分和两个累次积分都存在时才相等，而L积分则只需可测且有一个累次积分存在即可，也就是说在L积分理论下重积分化累次积分的条件减弱了。另一方面，R积分中的逐项积分问题，也就是积分与极限交换问题，条件要求非常苛刻，被积函数必须一致收敛，极限才能通过积分号，不仅计算起来不方便，而且限制过强，L积分的要求就要比R积分少得多，只要函数非负即可。就L控制收敛定理而言，只需存在控制函数)(xF使得f)(xF即可，因此在积分与极限交换次序这个问题上，L积分要比R积分灵活方便的多。L积分与R积分的区别，受限于自身的学力，只能对上述问题进行初步探讨。三、总结本文从L积分与R积分的定义，相关积分计算，积分范围，积分与极限交换次序等简要叙述了两种积分的区别；在普遍意义与广义R积分两种情况下用两个定理表述了两种积分的联系。L积分的诞生是基于R积分本身出现的问题，如在某些求极限问题上，涉及到无界区间时等，L积分的出现，使可积函数的范围扩大，为积分与极限交换次序等问题提供了更方便实用的理论，也为泛函分析的产生奠定了基础，当然L积分的作用远远不止这些，不过由于自身的的学识，只能较浅显的对两种积分进行讨论。参考文献[1]曹广福，《实变函数与泛函分析（上）》（M），高等教育出版社，2011；[2]华师大数学系，《数学分析》（M），高等教育出版社，2001；[3]胡长松，《实变函数》（M），科学出版社，2002；[4]黄仿伦，《实变函数》）（M），安徽大学出版社，2001；[5]何穗，刘思敏，喻小培等，《实变函数》（M），科学出版社，2006。