用积分因子法解常微分方程

第1页共19页用积分因子法解常微分方程摘要当一个方程为恰当方程时，可以运用求解恰当方程的方法进行求解，因此非恰当微分方程转化成恰当方程是求解微分方程的重要步骤，转化成恰当方程需要求解出积分因子，因此积分因子的求解变得非常重要.此论文主要研究几类微分方程积分因子，从而使微分方程的求解变得较简便.关键词微分方程；恰当微分方程；积分因子；通解AbstractWheneachdifferentialequationthroughintotheappropriateequation,canusetheappropriateequationsforsolvingnonappropriateformula,thedifferentialequationistransformedintoanappropriateequationisanimportantstepinsolvingdifferentialequations,intotheappropriateequationrequiresthesolutionoftheintegralfactor,thussolvingtheintegralfactorbecomesveryimportant.Thispapermainlyresearchforseveralkindsofdifferentialequationofintegralfactor,tomakeiteasyforsolvingdifferentialequations.KeyWordsDifferentialequation；Exactdifferentialequation；Integratingfactor；Generalsolution自变量只有一个的微分方程称为常微分方程.常微分方程是数学分析或基础数学的一个重要的组成部分，在整个数学大厦中占据着重要的位置.本文通过运用求微分方程的积分因子来将微分方程转化为恰当微分方程求解[1].1.恰当微分方程1.1常微分方程联系自变量、未知函数以及未知函数的某些导数（或微分）之间的关系式称为微分方程.未知函数是一元函数的微分方程称为常微分方程，未知函数是多元函数的微分方程称为偏微分方程.方程第2页共19页2(),2dydybcyftdtdt（1.1）20dydytydtdt（1.2）就是常微分方程的例子，这里y是未知数，t是自变量.1.2恰当微分方程考虑一阶方程(,)(,)0MxydxNxydy（1.3）这里假设(,)Mxydx，(,)Nxydy在某区域内是连续函数且具有连续的一阶偏导数.若方程（1.3）的左端恰好是某个二元函数(,)uxy的全微分，即(,)(,)(,)MxydxNxydyduxy（1.4）则称（1.3）为恰当微分方程（全微分方程）.恰当微分方程（1.3）的通解就是(,),uxyc（1.5）这里c是任意常数.定理1[2]设函数(,)Mxydx和(,)Nxydy在一个矩形区域R中连续且有连续的一阶偏导数，则称（2.1）为恰当微分方程的充要条件是(,)(,).MxyNxyyx（1.6）1.3恰当微分方程的解法方法1凑微分法利用熟知的二元函数微分公式，重新分组组合，分块凑成全微分式.方法2不定积分法利用关系式(,)(,)(,)MxydxNxydyduxy由此，函数(,)uxy应适合方程组(,),(,)uuMxyNxyxy第3页共19页对(,)uMxyx关于x积分得(,)()uMxydxy两端关于y求导数，并利用恰当微分方程的充要条件，得''()()(,)uMNdxydxyNxyyyx通过对方程'()(,)NdxyNxyx关于y积分，解出()y，从而可得(,)()uMxydxy的表达式，令(,)()Mxydxyc即得方程的通解.如果对(,)uNxyx关于y积分，同理可得方程的通解为(,)()Nxydxxc其中()x可类似于()y求解的方法得到.方法3公式法方程的通解为000(,)(,)xyxyMxydxNxydyc或000(,)(,)xyxyMxydxNxydyc其中c是任意常数[3].例1求2()(2)0xydxxydy的通解.解这里2,2MxyNxy,在xy平面上有连续偏导数，这时1,1,MNyx因此方程为恰当微分方程.方法1（不定积分法）现在求u，使它同时满足如下两个方程