大学物理课件0机械振动

定义振动：任何一个物理量在某一数值附近作周期性的变化，称为振动；机械振动：物体在一定位置附近作来回往复的运动，称为机械振动。简谐振动；简谐振动合成；阻尼振动、受迫振动、共振。主要内容)()(tMTtM)()(txTtx10.1简谐运动一、简谐运动（SimpleHarmonicMotion)物体在一定位置附近的位移变化满足简谐函数形式，称为简谐运动。弹簧振子单摆复摆二、基本特征xo弹Fx以弹簧振子为例,振子受力是kxF由牛顿第二定律得xxmkmFdtxda222物体受力和加速度与位移x成正比,且方向相反（动力学特征）式中:mk2上式可以改写为微分方程形式0222xdtxd其解为)cos(tAx式中A、φ是待定常数，此式称为简谐运动的运动方程。(ω称为角频率）位移x按余弦函数的规律随时间变化（运动学特征）三、简谐运动的速度与加速度速度：dtdxφtωAωsin)cos(2πφtωAω++=加速度：dtυda)cos(2tA)cos(πφtωAω2位移x、速度υ、加速度a三者与时间t的关系如图所示。四、描述简谐振动的物理量2.周期（Priod）1.振幅（Amplitude）离开平衡点的最大量值的绝对值。给出振动量的变化幅度。注意：A、ωA、ω2A分别是位移、速度、加速度振幅。完成一次全振动所需的时间T，单位是秒（s）。)cos(tAx表示：由运动方程])(cos[)cos(φTtωAφtωA2T2Tkm2简谐运动的周期是决定于系统自身的常量，又称为固有周期(naturalneriod)。3.频率（Frequency）物体单位时间内做完全振动的次数称为振动频率，单位是赫兹（Hz）。表示:由定义可知Tν1πων2或式中ω是角频率,单位是rad·s-1频率ν只与振动系统自身性有关,也称为固有频率(naturalfrequency)。4.相位与初相位(phaseandinitialphase）一是振动的周期性由相位来反映；二是相位确定了振动物体运动状态。ωt+称为相位,称为初相位，单位是rad。1o相位的意义是：2o初相，由开始时刻振动物体的运动状态决定由运动方程可知：t=0时刻φAxcos0φAω0υsinooooxωυφωυxAtan,2225.相位差(phasefifference)两个简谐振动的相位之差称为相位差,用Δ表示表示:)()(1122φtωφtωφ)()(1212φφtωω对同频情况：12φφφ1oΔ反映两振动的步调情况：Δ=0（或2π整数倍)，同步振动Δ=π（或π奇数倍），振动步调相反Δ0,x2振动超前;Δ0,x1振动超前)cos(1111tAx)cos(2222tAx)()(1122φtωφtω1212ttt2o两振动到达同一状态的时间差是五、旋转矢量(rotationalvector)在x轴上的投影为:矢径A与x轴夹角为:x=Acos(t)(t)x参考圆AAt+oxtt=0·xxpO旋转矢量10.2简谐运动的能量KPEEE2k2Pυ2121mEkxE)cos(φtωAx由)sin(φtωAωυ)(cos2221tkAEp)(sinφtωAωmE222k21以弹簧振子为例:2kA21Exox1o动能与势能均为时间的函数，位相差为π/2，二者可以相互转化，总能量是与时间t无关的恒量。tpEkExE能量随时间变化能量随空间变化xpEAAxkEEE2oTppdtETE0122204121cos1kAdttkATTTkkdtETE01dttmATT2220sin121241kAEEEpk21考察一个周期内的动能与势能平均值在一个周期内的平均动能与平均势能相等，各是总能量的一半。10.3简谐运动的合成一、同频率同方向简谐振动合成)cos(111tAx)cos(222tAx合振动位移x就是x1与x2的代数和21xxx2211coscostAtA特点:ω1=ω2=ω,x1//x2表示:对如下两个振动合成结果为频率为的简谐振动)cos(tAx)cos(212212221AAAAA22112211coscossinsinAAAAtg12x2x2x1xM2M1MAA1A2PxO由旋转矢量法得出A、φ是：k2)1(12,1,0k则：21AAA12)2(12k,1,0k21AAA则：)cos(212212221AAAAAox1x2xt合振幅最大合振幅最小ox1x2xt当A1=A2时：合振幅最小值是0。合振幅最大值是2A1；为其它值时12φφφ3)(则A在上述两者之间。二、相互垂直同频率简谐振动的合成特点:ω1=ω2=ω,21xx)cos(11φtωAx)cos(22φtωAy对如下两个振动合成得到质点的轨迹方程是)(sin)cos(1221221222212φφφφAAxy2AyAx,,,)(210kπkφφ112xAA1y12k)(质点沿1、3(2、4）象限直线作简谐振动。=0yx=yx=3/2=5/4=/2=/4P··Q质点轨迹正椭圆质点轨迹是任意形状椭圆。321k2π1k2φφ212,,)()(1AyAx222212其它值12)3(10.5阻尼振动受迫振动共振一、阻尼振动（dampedvibration）振幅随时间减小的振动称为阻尼振动。1.阻尼模型摩擦阻尼：摩擦阻力使振动系统能量逐渐转化为热能辐射阻尼：振动系统引起临近质点的振动，使系统能量逐渐向四周辐射阻尼模型Fγ称为阻尼系数条件：适用于物体低速运动情况2.阻尼振动方程以弹簧振子为例xofF,弹x022xmkdtdxmdtxd阻尼振动微分方程m2kxdtxdm22或写为定义固有角频率ω0和阻尼因子β，有mk20022022xdtdxdtxd通解：ttececx)(2)(1202202（1）欠阻尼振动0令220)cos(tAextA与由初始条件确定方程的解可写成3.三种阻尼形式txotAeT这时是准周期性振动:22022T0由通解ttececx)(2)(1202202两项都衰减，不是周期振动，不能往复运动。如单摆放在粘滞的油筒中摆到平衡位置须很长时间。（2）过阻尼振动otx0（3）临界阻尼振动方程解teccx)(21—衰减函数临界阻尼达到平衡位置的时间最短，但仍不能超过平衡位置。三种阻尼振动比较otx过阻尼临界阻尼欠阻尼otx欠阻尼0过阻尼0临界阻尼0弹性力kxF弹阻尼力阻F驱动力tFFcos策二、受迫振动（forcedvibration）物体在周期性外力持续作用下发生振动，称为受迫振动，这个外力称为驱动力以弹簧振子为例，振子受力有则运动方程是thxdtdxdtxdcos22022式中,2m,20mkmFh受迫振动方程的解为)cos()cos(0tAteAxt此式表明：第一项为阻尼振动项，当时间较长时衰减为0。第二项为驱动力产生的简谐运动。当系统达到稳定状态后，方程的解是)cos(tAx2222204)(hA2202tg稳定的受迫振动是一个与驱动力同频率的余弦振动，其振幅和初相是0A小阻尼大阻尼阻尼00A0AFA0ddA022dAd2222204)(hA二、共振（resonance）当驱动力频率接近或等于系统固有频率时，受迫振动振幅急剧达到最大值的现象称为共振，其频率称为共振频率。由表达式利用关系0A小阻尼大阻尼阻尼0共振频率与系统自身性质和阻尼常数有关。2202hAr2202r相应的最大振幅和共振频率是0A小阻尼大阻尼阻尼0共振危害；共振利用。振子共振鱼洗共振现象3证明：在小角度下单摆作简谐运动。lmmgFT0证明:1、细线质量不计3、阻力不计sin052、约定质点重力矩：sinmglMmgl质点动量矩：lmLdtdlml由动量矩定理MdtdLlgdtd22lmmgFT0则令,2lg0222dtd方程的解是：tcos0其中，单摆的周期是glT221.、的确定：A00cossinxAvA2200200arctanvAxvx2.(结合周期T,结合旋转矢量法)：2km3.振动方程：4.振动合成：5.振动能量：1一水平弹簧振子做简谐振动，振幅A=410-2m，周期T=2s，t=0时，试分别写出这两种情况下的振动方程。解：[1]由初始条件3m3πtπ104x2)cos([1]，且向负方向运动；mx20102[2]，且向正方向运动；mx20102cos2AA0sin0A[2]同理：3π2φm3π2tπ104x2)cos(说明：利用旋转矢量法可以更方便求解初始相位。cos2AA0sin0Av00v00x0A/2-A/2如图：3πφ1][3π2φ2][已知一简谐振动曲线,求振动方程.2解:由图可知0υ2Ax0too,:3πφxv000A/2t=5,x=0:2π3πtω6πωm3πt6π106x2)cos(635)10(2mx)(st一质点作简谐振动，其振动方程（SI），试用旋转矢量法求出质点由初始状态（t=0的状态）运动到x=-0.12，＜0的状态所需最短时间t。3解:由振动方程可知1232330.6672t)3121cos(24.0txt=0tAr32300.120.24-0.12-0.24x一质点沿x轴作简谐振动，其圆频率，试写出以下初始状态下的振动方程：其初始位移，初始速度4解：设振动方程为：cos()xAt07.5cosxcmA1075sincmsA2200()10.6Axcm210.610cos(10)4xt1075cms1010rads07.5xcm001tgx00cos0,sin04xAA位移是振幅一半时,动能和势能各是总能量的多少?在什么位置动能和势能各是总能量的一半?5解：（1）x=A/2代入中221kxEp)21(412kAEp22214121kAkAEk22143kA22212121kAkxEp（2）Ax226弹簧振子沿x轴做简谐振动，其振动的最大位移xm=0.3m，最大恢复Fm=1.2N，最大速度m=1.2m·s-1。t=0时刻的初位移是,且方向同x轴正方向一致。求:[1]振动能量;[2]振动方程.解:[1]Ax230kAkxFmm43.02.1kmA43.02.1JkAE18.0212[2]由初始条件一弹簧振子沿x轴做简谐振动，已知其振动的最大位移xm=0.3m，最大恢复力Fm=1.2N，最大速度m=1.2m•s-1.当t=0时的初位移,且方向同x轴正方向一致.求:[1]振动能量;[2]振动方程.