不定积分表

Yz.Liu.2013.09卷终公式表注解四基本不定积分表序言：微积分创立之初，牛顿与莱布尼茨分享荣誉。虽其间发生很多在优先权上的争论，但最终依然走向了发展之正轨。在微积分公式体系上，莱布尼茨对之要求甚严，并总结其基本微分表和基本积分表。如今随微积分之发展，公式表逐渐全面，分类亦几乎覆盖各种不定积分。积分表的编订对于积分运算可以说是必要，亦是数学发展之必要结果。本表给出常用不定积分的计算公式和运算方法，以及每个积分的简要推演方法，其中引入了除一般之换元法，凑微分法，分部积分法之外，亦引入虚数单位，并使用虚数单位推演某些复杂的不定积分运算。而对于简单的不定积分运算和基本的微分公式之反用，或均不在此给出推演方法，或仅以推演步骤简要之说明。本表收录公式16组，151式。公式一基本初等函数的不定积分18式：幂函数11,1;(1).1ln||,1.xCxdxxC指数函数1(2).ln(3).xxxxadxaCaedxeC对数函数(4).logloglog(5).lnlnaaaxdxxxxeCxdxxxxC三角函数(6).sincos(7).cossin(8).tanln|cos|(9).cotln|sin|11sin(10).secln|sectan|ln21sin(11).cscln|csccot|ln|tan|2xdxxCxdxxCxdxxCxdxxCxxdxxxCCxxxdxxxCC反三角函数22(12).arcsinarcsin1(13).arccosarccos1xdxxxxCdxxxxC221(14).arctanarctanln(1)21(15).arccotarccotln(1)2xdxxxxCxdxxxxC22(16).arcsecarcsecln(1)(17).arccscarccscln(1)xdxxxxxCxdxxxxxC常数函数(18).RdxRxC上述公式均为基本初等函数之不定积分，其中部分公式均可以由分部积分公式给出，特别的，对于正切函数，余切函数，正割函数与余割函数的不定积分，使用了诸多三角变换完成。公式二含axb的积分（要指出a非零）10式：21(19).()21(20).()(),1(1)11(21).ln||aaxbdxxbxCaxbdxaxbCadxaxbCaxba对于其中的第二式，是利用换元积分完成的。222231(22).(ln||)11(23).()2()ln||2xdxaxbbaxbCaxbaxdxaxbbaxbbaxbCaxba对于第一者，可以利用凑的方式，我们考虑分式11xbaxbaaxb，则得其积分是显的：111()ln||xbbdxxdaxxaxbaCaxbaaaxbaa。而第二式依然采取类似的方式，可借由带余多项式除法算得：22211()2xxaxbabbaxbaaxbaxb，然后利用第一个积分式即可得到结论。2211(24).ln()11(25).ln()axbdxCxaxbbxaaxbdxCxaxbbxbx对于分母是二次多项式或者更高者，常常分成多个低次多项式之和，这两个积分便是沿用了此结论所得到的。我们注意第一式中有111111()(/)/bxaxbaxxbaaxxbaa，积分即得。对于第二式依然可用分离拆项的方式：221()11()()axbaxabxaxbbxbxaxb，然后积分即可，而一般对于拆项，常用待定系数的方法完成。222223221(26).ln||()1(27).2ln||()111(28).ln()()xbdxaxbCaxbaaxbxbdxaxbbaxbCaxbaaxbaxbdxCxaxbbaxbbx公式三含axb的积分9式332222332(29).()32(30).(32)()152(31).(15128)()105axbdxaxbCaxaxbdxaxbaxbCaxaxbdxaxabxbaxbCa第一式的证明用凑微分的方式即可完成。而有了第一式的结论，第二式可用分部积分完成计算。我们有：3322()()33xxaxbdxxaxbdxaxbdxdxaxbaxbdxaa其中，对上式右侧的32()3axbdxa再次使用凑微分的方法，即可得解：533222333222224()()()()3315242()()()32()31515axbdxaxbdaxbaxbCaaaxxaxbdxaxbaxbaxbCaxbaxbCaaa同理利用分部积分可以将第三式拆开，并以第二式证明之。2222222(32).(2)32(33).(348)15xdxaxbaxbCaaxbxdxaxabxbaxbCaaxb利用凑微分的方式，我们显然有不定积分1()2dxdaxbaxbCaaaxbaxb，本组公式可以考虑用此公式，并使用分部积分即可证明一式：32222224()3242()(2)33xxxdxaxbaxbdxaxbaxbCaaaaaxbxaxbaxbCaxbaxbCaaa二式同理使用分部积分，并利用一式的结论即可证明。1ln,0(34).2arctan,0axbbCbbaxbbdxxaxbaxbCbbb该公式是重要的不定积分之一，它可以解决一类带有axb的不定积分等式。但是该积分是不好计算的，首先分部积分就不容易得出结果，而另一方面我们也无法进行一个显然的凑微分，因此对于这一类带有根号式的积分，往往是先强行换掉根号，再作观察。因此令22,tbtaxbtxdxdtaa，于是22212()dxatdtdttbtatbxaxb，显然看到的是这个不定积分的结果需要讨论b的正负来决定之后使用的不定积分公式：如果b是负的，那么显然会使用反三角，如果b是正的，则可能使用三角换元：22secln|sectan|21110:(sinarcsin(/))[sinarcsin(/)]111(arcsin(/))cosarcsin(/)1lnsecarcsin(/)tanarcsin(/)11sinarcsin(/)ln1sinarxdxxxCbdtdtbtbbtbdtbbtbtbtbCbtbb21(/)11lnln1(/)2csin(/)tbtbCCCbtbbtbtb然后将axbt带入上式得原积分2112ln,0axbbdtCbtbbaxbb。另外对于负的b，有：222111110:arctan||||||||||/||11arctanttbdtdtdCtbtbbbbbtbaxbCbb即原积分2arctan,0axbCbbb。该不定积分公式对于负数的b计算是很容易的。02002(35).2(36).2(37).2dxaxbadxCbxbxaxbxaxbaxbdxdxaxbbCxxaxbaxbaxbadxdxCxxxaxb注意到微分公式2adaxbdxaxb，故上面公式均可以分部积分公式指出。公式四含有22xa的积分3式2202222212221221(38).arctan||||23(39)....()2(1)()2(1)()1(40).ln2nnndxxCxaaadxxndxCxanaxanaxadxxaCxaaxa一式用凑微分的方式以及微分公式21(arctan)1dxx容易得出。第二式是利用分部积分公式给出的递推式的形式：通过这个递推关系逐步下降分母的幂直到一式的情形，然后带入一式即可得解。三式是有理分式的不定积分，通常是将之拆分为两个容易计算的分式，则不难得出结果：221111ln||ln||22dxdxxaxaCxaaxaxaa公式五含有2(0)axba的积分7式除开显然的32()3axaxbdxbxC不列为公式表所用之公式外，其余均与2axb有关，不过在下面公式的推理中，我们可以肯定的是推理可能是不唯一的，因此某些推理也是可能涉及了该公式的。21arctan,01(41).1ln,02axCbbabdxaxbaxbCbabaxb是一个需要分类讨论的积分。显然的可以发现这个被积函数的形式与反正切是有关的，不过反正切的分母是加法运算，因此如果这里b是负的，那么就不能适用反正切，这导致了积分需要分类讨论之。2222221111arctan,01sinarcsin11111||11sinarcsinarcsin1sinarcsin111ln2cosarcsin1sinaaxbabaxabbaabbabbaxadxdxCbaxbbabbabdxaxdxdxdaxbaxbababbxdxxababx11sin,secln21sinrcsin11ln,02abxCxdxCxxbaxCbabbax该公式的证明中再一次的遇到了22dxxa形式的不定积分，虽然这里我采用的是换元为三角函数的方法，而并非使用公式四中利用有理函数积分的性质来推理，但是三角换元计算不定积分是值得深入探讨和学习的计算方法，也许在这个公式中体现不出来，但是在某些场合下，三角换元无疑是强大的。22202222202222322222221(42).ln||2(43).1(44).ln()21(45).()1(46).ln()2211(47).()22xdxaxbCaxbaxxbdxdxCaxbaaaxbdxxCxaxbbaxbdxadxCxaxbbxbaxbdxaaxbCxaxbbxbxdxxdxaxbbaxbba02Cxb一式是显然的。在这组公式中，除了一式之外，后者在各种场合的运用还是相对频繁的。二式、三式都是典型的有理函数的不定积分问题，可以采取分离常数的方法来求解，其推理及其陈述如下：22222111xaxbbbdxdxdxdxaxbaaxbaaaxb22222222111111ln()()()2111lnln()ln22dxbaxdxdxxdaxCxaxbbxaxbbxaxbbaxbxxaxbCCbbbaxb类似的对于之后的不定积分，依然可以拆项：2222222323232322222111()()()1111()()()1ln22adxadxxaxbbxbaxbxaxbbxbaxbdxxdxxadxadxdxxaxbxxaxbxbxbaxbbxbxaxbaaxbCbxbx但是对于最后一式，拆项显然是不理想的，分子也不具备变量以进行凑微分，因此从分母考