二重积分的分部积分公式与格林公式

在导出黎曼问题的弱解概念时，在欧拉方程两边同时乘以任意函数再积分转化为一等价的“弱”形式的方程时用到了二重积分的分部积分方法，其实就是格林公式。一般意义下的分部积分公式：uvdxuvvudx或udvuvvdv证明：分部积分实际上是把普通积分公式fdxf中的被积函数f换成了两个函数的乘积，故可称之为一维情况下的分部积分；把普通积分公式运用到二维情况，其实就得到了格林公式，格林公式实现了把面积分转换成了线积分（降次）。格林公式：FdxdyFdyxFdxdyFdxy一般合并写为DLQPdxdyPdxQdyxy证明（以第一个公式为例）：积分域为(x,y)|a(y)xb(y),cyd，如图：则：(y)(y)(y)(y)(x,y)((y),y)((y),y)dbcadxbxacddccFdxdyxFdxdyxFdyFbdyFadyFdy类似地，把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出二维情况下的分部积分。二重积分的分部积分公式：()gffdxdyfgdygdxdyxx()gffdxdyfgdxgdxdyyy证明（以第一个公式为例）：在FdxdyFdyx中，把F换为fg，则：()()fgdxdyfgdyx，即()()gffgdxdyfgdyxx即()gffdxdyfgdygdxdyxx综上：把普通积分公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了一维分部积分公式；把格林公式中的被积函数换成两个函数的乘积，则导出了二维分部积分公式。且两种分部积分公式在形式上是很相似的：uvdxuvvudx对比()gffdxdyfgdygdxdyxx北航曾元圆