微积分极限极其运算法则

第一讲极限及其运算法则定理：.)(lim)(lim)(lim000AxfxfAxfxxxxxx例1、求下列函数极限。);(lim)()1(0xfxxfx);(lim][)()2(1xfxxfx).(lim010001sgn)()3(0xfxxxxxfx1极限与单侧极限2函数极限之性质定理1：.,)(lim)2(;,lim)1(0则它是唯一的存在若则它是唯一的存在若xfxxxnn定理2：.)(,0),,(,),()(),,(,)(lim)2(;,,0,}{,lim)1(000*0MxfMxUxxUxfxUxfMxNnMxxxxnnnn使即有界在使则存在若有即有界则存在若定理3：).0)((0)(,)(),(),0(0)(lim)2();0(0,,),0(0lim)1(00*0xfxfxUxxUAAAxfxxNnNNaaaxxxnnnn或时当则或且若或时当则或且若例2、.)()()(:,1)]()([lim0000的最大值内是在证明若xfxUxfxfxfxx定理4：).()(),(},{)(,)(lim)2(;lim}{,lim)1(00nAxfnxxxxfAxfaxxaxnnnxxnknnnkk则若义域的点列的定则对于若的极限则它的任一子列若.lim,}{)2(;lim,}{)1(不存在则不相等的两个子列极限存在但若不存在则的某个子列极限不存在若nnnnnnxxxx结论：例3、.lim:,)1(不存在证nnnnxx例4、.1sinlim:0不存在证xx3极限的运算法则定义1：.)(,0)(lim00时的无穷小为则称若xxxfxfxx定义2：.)(lim,)()(,0,0,0000xfxxxfMxfxxMxx记作时的无穷大为则称时当（3）有界函数与无穷小之积是无穷小；定理1：（1）有限个无穷小之和是无穷小；（2）有限个无穷小之积是无穷小；（4）常数与无穷小之积是无穷小。定理2：;)(1lim),0)((0)(lim)1(00xfxfxfxxxx则若.0)(1lim,)(lim)2(00xfxfxxxx则若例5、.1sinlim0xxx求.sin1limxxx求例6、?arctanlimxxx定理3：);0()()(lim)4(;)(lim)3(;)()(lim)2(;)]()([lim)1(,)(lim,)(lim000000BBAxgxfCAxCfABxgxfBAxgxfBxgAxfxxxxxxxxxxxx则设结论1：01010010100110110limbxbxbaxaxabxbxbaxaxammmmnnnnmmmmnnnnxx结论2：nmnmnmbabxbxbaxaxamnmmmmnnnnx0lim011011例7、求下列极限。).1211(lim)3(;1248lim)2(;23123lim)1(21232221xxxxxxxxxxxx例8、求下列极限。.2132lim)3(;122lim)2(;123432lim)1(223232233xxxxxxxxxxxxxxxxxx(复合函数的极限运算法则）：定理4.)(lim)]([lim,)(),(,)(lim,)(lim0000000AufxfuxuxUxuxAufuuxxxxuu则且设).(),(lim)]([lim),(),()1(00xuufxfxuufyuuxx换元相当于在极限里采取了则).()(lim,)(lim,0)(lim)2()(000幂指函数极限法则则若BxgxxxxxxAxfBxgAxf例9求下列极限。.lim)2(;11lim)1(3330axaxxxxaxx4极限存在准则与两个重要极限定理1：.)(lim,)(lim)(lim),()()(,)()2(.lim,limlim,,)1(00000AxfAxhxgxhxfxgxUxaxazyzxyNnxxxxxxnnnnnnnnn则且有时若当则且有时若当例10、求下列极限。.lim)2();12111(lim)1(222nnnnnnnn解题关键：适当放缩，使较小和较大数列的极限存在且相等。结论：.1lim,1lim1xxnnxn并可推广到记住1sinlim0xxx第一个重要极限定理2：单调有界数列必有极限。;tansin,)2,0()1(xxxx有时当;2sinlim,1sinlim00sinlim)2(200xxxxxxxxx而型极限才有是.11)1sin(lim),0)((1)()](sin[),()3(1xxxxxxxx如则有换成将例11、求下列极限。.sinsinlim)4(;cos1lim)3(;arcsinlim)2(;tanlim)1(02000nmxxxxxxxxxxxxexexxxxx)11(lim)1(lim10或第二个重要极限?sin11sinlim)3(?sin11sinlim)2(?sintansinlim)1(030xxxxxxxxxxxxxx0).)(()](1[:)2()(1xexx它的形式特点;,1)1(方法为固定的机械变形型第二个重要极限属于例12、求下列极限。.1lim)4(;)1212(lim)3(;lim)2(;)31(lim)1(03121xexxxxxxxxxxxx练习题求下列极限：200301200103coscoslim)8(114sinlim)7(sintanlim)6(2cot1lim)5()]2ln([lnlim)4()]1ln(1[lim)3()1ln(lim)2()11(lim)1(xxxxxxxxxxnnnxxxxxxxxxnxxxxxxexxexxxxxxxxxxxxxxnnnnxxxx2)ln()ln(sinlim(14))(coslim)13(2cos1lim)12(sin2cos1lim)11()321(lim)10()93(lim)9(2220cot000112