积分变换第6讲

1积分变换第6讲2拉氏变换的性质本讲介绍拉氏变换的几个性质,它们在拉氏变换的实际应用中都是很有用的.为方便起见,假定在这些性质中,凡是要求拉氏变换的函数都满足拉氏变换存在定理中的条件,并且把这些函数的增长指数都统一地取为c.在证明性质时不再重述这些条件31.线性性质若a,b是常数L[f1(t)]=F1(s),L[f2(t)]=F2(s),则有L[af1(t)+bf2(t)]=aF1(s)+bF2(s)L-1[aF1(s)+bF2(s)]=af1(t)+bf2(t)此线性性质根据拉氏变换的定义就可得出.4微分性质若L[f(t)]=F(s),则有L[f'(t)=sF(s)-f(0)(2.3)证根据分部积分公式和拉氏变换公式00000d|d[()]()eded()e()()de(0)()ed[()](0)[()]()(0)(Re())bbbaaastststststuvuvvuftfttftftftfsfttsftfftsFsfsc----------即LLL5推论若L[f(t)]=F(s),则L[f''(t)]=sL[f'(t)]-f'(0)=s{sL[f(t)]-f(0)}-f'(0)=s2L[f(t)]-sf(0)-f'(0)...L[f(n)(t)]=sL[f(n-1)(t)]-f(n-1)(0)=snF(s)-sn-1f(0)-sn-2f'(0)-...-f(n-1)(0)(2.4)6特别,当初值f(0)=f‘(0)=...=f(n-1)(0)=0时,有L[f’(t)]=sF(s),L[f‘’(t)]=s2F(s),...,L[f(n)(t)]=snF(s)(2.5)此性质可以使我们有可能将f(t)的微分方程转化为F(s)的代数方程.7例1利用微分性质求函数f(t)=coskt的拉氏变换.由于f(0)=1,f'(0)=0,f''(t)=-k2coskt,则L[-k2coskt]=L[f''(t)]=s2L[f(t)]-sf(0)-f'(0).即-k2L[coskt]=s2L[coskt]-s移项化简得22[cos](Re()0)sktsskL8例2利用微分性质,求函数f(t)=tm的拉氏变换,其中m是正整数.由于f(0)=f'(0)=...=f(m-1)(0)=0,而f(m)(t)=m!所以L[m!]=L[f(m)(t)]=smL[f(t)]-sm-1f0)-sm-2f'(0)-...-f(m-1)(0)即L[m!]=smL[tm]1![!]![1]0).mmmmmsmtss而所以LLL9此外,由拉氏变换存在定理,还可以得到象函数的微分性质:若L[f(t)]=F(s),则F'(s)=L[-tf(t)],Re(s)c.(2.6)和F(n)(s)=L[(-t)nf(t)],Re(s)c.(2.7)这是因为对于一致绝对收敛的积分的积分和求导可以调换次序000dd()()edddd()ed()eddstststFsfttssftttftts----10例3求函数f(t)=tsinkt的拉氏变换.22222222222222222222222222)()(21)(2dd]cos[)(2dd]sin[][sinkskskskssksksskssskttkskskskskttkskkt------LLL同理可得根据上述微分性质可知因为113.积分性质若L[f(t)]=F(s))(1)(1d)()],([)0()]([)]([,0)0(),()(,d)()()8.2()(1d)(000sFstfsttfthshthsthhtfthttfthsFsttfttt-LLLLLL即有由上述微分性质且则有设证则12重复应用(2.8)式,就可得到:)9.2()(1d)(dd}{000sFsttfnttnttt次L13由拉氏变换存在定理,还可得象函数积分性质:若L[f(t)]=F(s),则000()d()edd1()()eded()()()d(),dd()dstssststssnsssnFssfttsftftttttftftFssttftssFsst----次即一般地有LLL14例4求函数sinh()tftt221[sinh](,1(5)),1sinh1d111111dln2112111ln21ssstststssssssss------因习题一由积分性质LL的拉氏变换.15其中F(s)=L[f(t)].此公式常用来计算某些积分.例如,000()d,(2.10),0()d()d,fttstfttFsst如果积分存在按式取则有202001[sin],1sin1ddarctan|12tsttssts则有L164.位移性质若L[f(t)]=F(s),则有L[eatf(t)]=F(s-a)(Re(s-a)c).(2.12)证根据拉氏变换式,有0()0[e()]e()ed()edatatstsatftfttftt---L上式右方只是在F(s)中将s换为s-a,因此L[eatf(t)]=F(s-a)(Re(s-a)c)17例5求L[eattm].11(1)[],,(1)[]()mmatmmmtsmetsa-已知利用位移性质可得LL2222[sin],[esin]()atkktskkktsak已知由位移性质得LL例6求L[e-atsinkt]185.延迟性质若L[f(t)]=F(s),又t0时f(t)=0,则对于任一非负数t0,有L[f(t-t)]=e-stF(s)(2.13)证根据(2.1)式,有00()00[()]()ed()ed()ed,,dd()ede()ede()(Re())stststsussusftfttfttftttututufuufuuFsscttttttttttt------------令上式L19函数f(t-t)与f(t)相比,f(t)从t=0开始有非零数值.而f(t-t)是从t=t开始才有非零数值.即延迟了一个时间t.从它的图象讲,f(t-t)是由f(t)沿t轴向右平移t而得,其拉氏变换也多一个因子e-st.Ottf(t)f(t-t)20例7求函数-ttttttu10)(ttsestustu--1)]([,1)]([LL根据延迟性质已知的拉氏变换.1u(t-t)ttO21例8求如图所示的阶梯函数f(t)的拉氏变换.利用单位阶跃函数u(t)可将f(t)表示为0()[()()(2)]()kftAutututAutkttt---f(t)4A3A2A1AOtt2t3t22利用拉氏变换的线性性质及延迟性质,可得231111[()]eeesssftAssssttt---L2211[()]1e1e1e1coth22sssAAftssAsstttt-----L当Re(s)0时,有|e-st|1,所以,上式右端圆括号中为一公比的模小于1的等比级数,从而23一般地,若L[f(t)]=F(s),则对于任何t0,有000()[()]1()e()(Re())1ekkksskftkftkFsFssctttt-----LL24例9求如图所示的单个半正弦波f(t)的拉氏变换OT2tEf(t)T2T2OOEETTtf1(t)f2(t)t25由前图可知,f(t)=f1(t)+f2(t),所以12222[()][()][()]2sin()2sin2222(1e),2TsftftftEtutTTTEtutTETTsT----LLLLL26例10求如下图所示的半波正弦函数fT(t)的拉氏变换T23T25T2tT2TOEfT(t)27由例9可得从t=0开始的单个半正弦波的拉氏变换为2222()(1),TsEFsesT-其中222()1[()]1e1eTTsTsFsEfts----L从而28这是一个求周期函数拉氏变换的简单方法,即设fT(t)(t0)是周期为T的周期函数,如果()0()0TfttTft其他()[()]1eTsTFsft--L且L[f(t)]=F(s),则29初值定理与终值定理0[()](),lim(),lim()lim()(2.14)(0)lim()(1)stssftFssFsftsFsfsFs若且存在初值定理则或写为L30证根据拉氏变换的微分性质,有L[f'(t)]=L[f(t)]-f(0)=sF(s)-f(0)两边同时将s趋向于实的正无穷大,并因为0Re()Re()Re()0lim[()]lim()ed0lim()(0)0(0)lim()lim()stssstsftfttsFsffftsFs--因此即L31(2)终值定理若L[f(t)]=F(s),且sF(s)在Re(s)0的区域解析,则00lim()lim()(2.15)()lim()tssftsFsfsFs或写为32证根据定理给出的条件和微分性质L[f'(t)]=sF(s)-f(0),两边取s0的极限,并由0000000lim[()]lim()ed()d()lim()(0)lim()(0)lim()(0)lim()()lim()stssttstsftfttfttftftfftfsFsfftfsFs----得即L33这个性质表明f(t)在t时的数值(稳定值),可以通过f(t)的拉氏变换乘以s取s0时的极限值而得到,它建立了函数f(t)在无限远的值与函数sF(s)在原点的值之间的关系.在拉氏变换的应用中,往往先得到F(s)再去求出f(t).但经常并不关心函数f(t)的表达式,而是需要知道f(t)在t和t0时的性态,这两个性质给了我们方便,能使我们直接由F(s)来求出f(t)的两个特殊值f(0),f(+).34例11若1[()],(0),().ftffsa求L00(0)lim()lim1()lim()lim01[e],()essssatatsfsFssasfsFssaftsa--我们已知即上面所求与结果一致L根据初值定理和终值定理,3522200121,()(),1()j1,.lim()lim0,11()sin,1lim()limsinssttftFssssFsssssFssfttsftt-但应用终值定理时需要注意定理条件是否满足例如函数的则的奇点为位于虚轴上就不满足定理的条件虽然而是不存在的L