定积分在几何上的应用

定积分的元素法一、什么问题可以用定积分解决?二、如何应用定积分解决问题?表示为一、什么问题可以用定积分解决?1)所求量U是与区间[a,b]上的某函数f(x)有关的2)U对区间[a,b]具有可加性,即可通过“分割,近似,求和,取极限”定积分定义一个整体量;二、如何应用定积分解决问题?第一步利用“化整为零,以常代变”求出局部量的微分表达式xxfUd)(d第二步利用“积零为整,无限累加”求出整体量的积分表达式Uxxfbad)(这种分析方法成为元素法(或微元法)近似值精确值四、旋转体的侧面积三、已知平行截面面积函数的立体体积一、平面图形的面积二、平面曲线的弧长定积分在几何学上的应用一、平面图形的面积1.直角坐标情形设曲线与直线及x轴所围曲则xxfAd)(dxbaoy)(xfyxxxdxxfAbad)(边梯形面积为A,右图所示图形面积为yobxa)(2xfy)(1xfyxxfxfAbad)()(21xxxdxxy22oy4xy例1.计算抛物线xy22与直线的面积.解:由得交点)4,8(,)2,2()4,8(yyyAd)4(d221184xy所围图形)2,2(为简便计算,选取y作积分变量,则有yyyd42Aabxoyx例2.求椭圆解:利用对称性,xyAdd所围图形的面积.有axyA0d4利用椭圆的参数方程)20(sincosttbytax应用定积分换元法得202dsin4ttbaba4212ba当a=b时得圆面积公式xxd例3.求由摆线的一拱与x轴所围平面图形的面积.)cos1(tadA解:ttad)cos1(ttad)cos1(2022ttad2sin42042)2(tu令uuadsin8042uuadsin16204223a20Axyoa22.极坐标情形求由曲线及围成的曲边扇形的面积.)(rxd在区间上任取小区间则对应该小区间上曲边扇形面积的近似值为d)(21d2A所求曲边扇形的面积为d)(212A对应从0变例4.计算阿基米德螺线解:xa2odd)(212a20A22a331022334a到2所围图形面积.2coscos21)2cos1(21aa2oxyd)cos1(2122a例5.计算心形线与圆所围图形的面积.解:利用对称性,2221aA2221aad)2cos21cos223(所求面积)243(2122aa二、平面曲线的弧长定义:若在弧AB上任意作内接折线,0M1iMiMnMAByox当折线段的最大边长→0时,折线的长度趋向于一个确定的极限,此极限为曲线弧AB的弧长,即并称此曲线弧为可求长的.iiMM1定理:任意光滑曲线弧都是可求长的.ni10lims则称sdyxabo(1)曲线弧由直角坐标方程给出:)(xfy弧长元素(弧微分):xxxdxyd12因此所求弧长xysbad12xxfbad)(1222)(d)(ddyxs(2)曲线弧由参数方程给出:弧长元素(弧微分):因此所求弧长tttsd)()(22tttd)()(2222)(d)(ddyxs(3)曲线弧由极坐标方程给出:,sin)(,cos)(ryrx令因此所求弧长d)()(22rrsd)]([)]([22yxd)()(22rr则得sd弧长元素(弧微分):例6.求连续曲线段解:,0cosx22xxysd1222的弧长.xxd)cos(12202xxd2cos22200sin22222x4例7.计算摆线一拱的弧长.解:tstytxd)()(d2dd2dd)cos1(22tata22sintdttad)cos1(2ttad2sin2ttasd2sin2202cos22ta02a8xyoa2三、已知平行截面面积函数的立体体积设所给立体垂直于x轴的截面面积为A(x),则对应于小区间的体积元素为xxAVd)(d因此所求立体体积为xxAVbad)(xabx)(xA上连续,xyoabxyoab)(xfy特别,当考虑连续曲线段2)]([xf轴旋转一周围成的立体体积时,有xdbxaV当考虑连续曲线段绕y轴旋转一周围成的立体体积时,有2)]([yyddycVxxoy)(yxcdy柱壳体积说明:xxxdy柱面面积2)sin(tta)cos1(ta（以摆线为例）例8.一平面经过半径为R的圆柱体的底圆中心,并与底面交成角,222Ryx解:如图所示取坐标系,则圆的方程为垂直于x轴的截面是直角三角形,其面积为tan)(21)(22xRxA)(RxRRxxRV022dtan)(2123231tan2xxR0R利用对称性计算该平面截圆柱体所得立体的体积.oRxyxxyoab四、旋转体的侧面积设平面光滑曲线求sySd2d积分后得旋转体的侧面积xxfxfSbad)(1)(22它绕x轴旋转一周所得到的旋转曲面的侧面积.取侧面积元素:xyoab)(xfyabxxyo)(xfyabxsySd2d侧面积元素xyd2sddx2dyx的线性主部.若光滑曲线由参数方程给出,则它绕x轴旋转一周所得旋转体的不是薄片侧面积△S的)(2ttttd)()(22S注意:侧面积为xRyo例9.计算圆x轴旋转一周所得的球台的侧面积S.解:对曲线弧应用公式得212xxS22xR2122xRxxd21d2xxxR)(212xxR当球台高h＝2R时,得球的表面积公式24RS1x2xozyx例10.求由星形线一周所得的旋转体的表面积S.解:利用对称性2022Sta3sin22ttasincos32td2042dcossin12tttata52sin51122512attacossin32绕x轴旋转内容小结1.平面图形的面积边界方程参数方程极坐标方程2.平面曲线的弧长曲线方程参数方程极坐标方程22)(d)(ddyxs弧微分:d)()(d22rrs直角坐标方程上下限按顺时针方向确定直角坐标方程注意:求弧长时积分上下限必须上大下小3.已知平行截面面面积函数的立体体积旋转体的体积2)(yxA绕x轴:4.旋转体的侧面积sySd2d侧面积元素为(注意在不同坐标系下ds的表达式)yxxA2)(绕y轴:(柱壳法)