微分方程及其分类

一、微分方程的概念二、二阶线性偏微分方程的分类微分方程及其解法函数是研究客观事物运动规律的一个重要工具，因此寻求客观事物运动变化过程中的函数关系是十分重要的，然而，在许多问题中，往往不能直接找出所需的函数关系。但根据问题所给的条件，有时可以列出含有要找的函数及其导数的关系式，这样的关系式就是所谓的微分方程。解。则有设所求曲线为)(xyyxy2Cxy2.1C则.xy12所求曲线方程为为了便于阐述微分方程的有关概念，先看下面例子：21xy即满足例1一曲线通过点，且在该曲线上任一点切线的斜率为，求这曲线的方程。)2,1()(yx,Mx2对上式两边积分有由于所求曲线通过点)2,1(一、微分方程的概念1.微分方程的定义凡含有未知函数以及未知函数的导数（或微分）的方程叫微分方程。,xyy,32xeyyy.0)(2xdxdtxt例2.微分方程的分类微分方程。未知函数是多元函数的偏微分方程：微分方程。未知函数是一元函数的：常微分方程3.微分方程的阶微分方程中所出现的未知函数的最高阶导数的阶数。例2判断下列方程是否为微分方程？若是，是几阶的微分方程？xyxysin(1)20)1()2(2dyxxydx0)3(yy1)()5(22xyx13)4(xyy423)6(3xyy解（1）是，1阶；（2）是，1阶；（3）是，2阶；（4）是，3阶；（5）是，1阶；（6）不是。4.微分方程的解任何代入微分方程后使微分方程恒成立的函数。（1）微分方程的通解如果在微分方程的解中，所含的独立的常数的个数与微分方程的阶数相同，这样的解就叫微分方程的通解（2）微分方程的特解当微分方程的通解中各任意常数都取定值时所得的解（3）微分方程的初始条件验证:xCxCy2cos2sin21是0422ydxyd的解,并求满足初始条件1000xxy,y的特解.确定通解中的任意常数的附加条件。5.微分方程解的几何意义通解的图象:积分曲线族.特解的图象:微分方程的积分曲线.例3解x,CxCdxdy2sin22cos221xCxCdxyd2cos42sin42122，有代入原方程.02cos42sin42cos42sin42121xCxCxCxC是原方程的解。故函数x,CxCy2cos2sin21又因为这个解中含有两个独立的任意常数，而方程为二阶微分方程，所以21,CC是原方程的通解。函数x,CxCy2cos2sin21xxy2cos2sin21因此方程满足初始条件的特解为12C,211C得代入把条件x,CxCyyx2cos2sin0210得代入把条件x,CxCyyx2sin22cos21210二阶线性偏微分方程的分类本章将介绍二阶线性偏微分方程的基本概念、分类方法和偏微分方程的标准化.特别对于常系数的二阶线性偏微分方程的化简方法也进行了详细讨论，这对后面的偏微分方程求解是十分有用的.在数学物理方程的建立过程中，我们主要讨论了三种类型的偏微分方程：波动方程；热传导方程；稳定场方程．这三类方程描写了不同物理现象及其过程，后面我们将会看到它们的解也表现出各自不同的特点．我们在解析几何中知道对于二次实曲线其中为常数，且设10.2数学物理方程的分类则当时，上述二次曲线分别为双曲线、抛物线和椭圆．受此启发，下面我们来对二阶线性偏微分方程进行分类.下面主要以含两个自变量的二阶线性偏微分方程为例，进行理论分析．而对于更多个自变量的情形尽管要复杂一些，但讨论的基本方法是一样的．两个自变量(x,y)的二阶线性偏微分方程所具有的普遍形式为（10.2.1）其中为的已知函数．定理10.2.1如果是方程(10.2.2)的一般积分，则是方程(10.2.3)的一个特解．在具体求解方程(10.2.10)时，需要分三种情况讨论判别式1.当判别式以求得两个实函数解时，从方程(10.2.10)可也就是说，偏微分方程(10.2.1)有两条实的特征线．于是，令即可使得．同时，根据(10.2.4)式，就可以断定．所以，方程(10.2.6)即为(10.2.4)或者进一步作变换于是有所以又可以进一步将方程(10.2.11)化为这种类型的方程称为双曲型方程．我们前面建立的波动方程就属于此类型．2．当判别式时：这时方程(10.2.10)一定有重根因而只能求得一个解，例如，，特征线为一条实特征线．作变换就可以使由(10.2.4)式可以得出，一定有，故可推出．这样就可以任意选取另一个变换，只要它和彼此独立，即雅可俾式即可．这样，方程(10.2.6)就化为此类方程称为抛物型方程．热传导（扩散）方程就属于这种类型．3.当判别式面的讨论，只不过得到的时：这时，可以重复上和是一对共轭的复函数，或者说，偏微分方程(10.2.1)的两条特征线是一对共轭复函数族．于是是一对共轭的复变量．进一步引进两个新的实变量于是所以方程(10.2.11)又可以进一步化为这种类型的方程称为椭圆型方程．拉普拉斯(Laplace)方程、泊松(Poisson)方程和Helmholtz方程都属于这种类型．综上所述，要判断二阶线性偏微分方程属于何种类型，只需讨论判别式即可.10.3二阶线性偏微分方程标准化对于二阶线性偏微分方程(10.3.1)若判别式为，则二阶线性偏微分方程分为三类：时，方程称为双曲型;时，方程称为抛物型;时，方程称为椭圆型;1.双曲型偏微分方程因为双曲型方程对应的判别式所以特征曲线是两族不同的实函数曲线，设特征方程的解为令(10.3.2)进行自变量变换，则原偏微分方程变为下列形式(10.3.3)上式称为双曲型偏微分方程的第一种标准形式，再作变量代换，令或则偏微分方程又变为(10.3.4)上式称为双曲型偏微分方程的第二种形式．注：上式中的“*”号不代表共轭，仅说明是另外的函数。如与是两个不同的函数。2．抛物型偏微分方程因为抛物型偏微分方程的判别式线是一族实函数曲线．，所以特征曲其特征方程的解为(10.3.5)因此令进行自变量变换，则原偏微分方程变为(10.3.6)上式称为抛物型偏微分方程的标准形式．3.椭圆型偏微分方程椭圆型偏微分方程的判别式，所以特征曲线是一组共轭复变函数族．其特征方程的解为(10.3.7)若令(10.3.8)作自变量变换，则偏微分方程变为(10.3.9)上式称为椭圆型偏微分方程的标准形式．10.4二阶线性常系数偏微分方程的进一步化简如果二阶偏微分方程的系数是常数，则标准形式的方程还可以进一步化简．下面按三种类型分别介绍化简的方法1.双曲型对于下列含常系数的第一种标准形式的双曲型标准方程还可进一步化简注：上式中用小写字母代表常系数，以便与我们不妨令大写字母代表某函数区别开来,例如．为了化简，从而有(10.4.2)其中由第二种标准形式的双曲型偏微分方程（含常系数）可以进一步化简(10.4.3)式中均为常系数．若令则有(10.4.4)(10.4.5)其中对于含常系数的抛物型偏微分标准方程（含常系数）（10.4.6）还可以进一步化简．上式中小写字母均为常系数．为了化简，不妨令从而有(10.4.7)2.抛物型3.椭圆型对于下列第一种标准形式的椭圆型标准方程(含常系数)(10.4.8)还可以进一步进行化简．上式中小写字母的为常系数．为了化简，不妨令从而有(10.4.9)其中含有两个自变量的线性偏微分方程的一般形式也可以写成下面的形式：其中L是二阶线性偏微分算符，G是x,y的函数．线性偏微分算符有以下两个基本特征：10.5线性偏微分方程解的特征其中均为常数．进一步有如下结论：1.齐次的线性偏微分方程的解有以下特性：为方程的解时，则也为方程的解；(1).当为方程的解，则也是方程的解；(2)若2.非齐次的线性偏微分方程的解具有如下特性：为非齐次方程的特解，为齐次方程的通解，则为非齐次方程的通解；(1)若(2)若则3．线性偏微分方程的叠加原理需要指出:线性偏微分方程具有一个非常重要的特性，称为叠加原理，即若是方程（其中L是二阶线性偏微分算符）的解.如果级数收敛，且二阶偏导数存在（其中为任意常数），则一定是方程的解程右端的级数是收敛的）．（当然要假定这个方