复变函数与积分变换课件第二章

12无关的充要条件是与路径曲线积分CQdyPdx格林定理：.,,,,都连续yQxQyPxPxQyP3又称为柯西-古萨定理4练习:解1.d321zzz计算积分,1321内解析在函数zz根据柯西积分定理,有1.0d321zzz56BB0z1z0z1z1C2C1C2C,,10zz终点为如果起点为21d)(d)(CCzzfzzf10d)(zzzzf,,,110zzBzz并令内变动在让如果固定.d)()(0zzfzFB内的一个单值函数便可确定7.)()(,d)()(,)(0zfzFBfzFBzfzz并且析函数内的一个解必为那末函数内处处解析在单连通域如果函数定理3：Bz0y)iQ(x,y)P(x,udyvdxivdyudxdξf(ξ)F(z)证：因y)(x,)y,(xy)(x,)y,(xzz000008).()('),(),()(.,,,.,zfivuxQixPzFEyxiQyxPzFuyQvxQvPuxudyvdxdQvdyudxdP而且内的解析函数，是由此可知即，因此两个线积分与路径无关yP9原函数的定义:.)()(,)()(,)()(的原函数内在区域为那末称即内的导数为在区域如果函数BzfzzfzzfBz.)(d)()(0的一个原函数是显然zffzFzz原函数之间的关系:.)(一个常数的任何两个原函数相差zf证:,)()()(的任何两个原函数是和设zfzHzG10)()()()(zHzGzHzG那末0)()(zfzf.)()(czHzG于是)(为任意常数c,)()(zFBzf内有一个原函数在区域如果那末它就有无穷多个原函数,.)()(为任意常数一般表达式为cczF根据以上讨论可知:[证毕]11定理4:.,内的两点为域这里Bzz10)G(z)G(zdζf(ζ)那末的一个原函数,f(z)为G(z)内处处解析,B在单连通域f(z)如果函数01zz10(类似于牛顿-莱布尼兹公式)12证明:,)(d)(0的原函数也是因为zffzz,)(d)(0czGfzz所以,0时当zz根据柯西积分定理,,)(0zGc得,)()(d)(00zGzGfzz所以.)()(d)(,zz01110zGzGfzz即得令上式中[证毕]说明:有了以上定理,复变函数的积分就可以用跟微积分学中类似的方法去计算.13例1计算下列积分:1)2)222(2)izdz20cos()2izdz.)2;311eei）解：1415定理5（复合闭路定理）如果在多连域内解析，复合闭路所围的区域全部包含于中，那么．E()fzE)(10nCCCC01)()(CnkCkdzzfdzzf或C0f(z)dz160L1L2LnL1E2E17复合闭路定理的一个特殊情形：重要性在于能够把函数沿一闭曲线的积分转化到另一闭曲线的积分．01CCC01)()(CCdzzfdzzf闭路变形公式:18例2设为包含的任一正向闭曲线，求.10dzzzCC0z.211,100110idzzzdzzzCCCzCC式，得的内部，由闭路变形公含于使为圆心作圆周解：以19例3计算的值，其中为包含圆周在内的任何正向简单闭曲线．Cdzzz21C1z1C2C20002201111111111,022112122221iidzzdzzdzzdzzdzzzdzzzdzzzzzCCCCCCCCCC由复合闭路定理得交的正向圆周，圆心，互不包含也不相为内分别以是及解：设21作业:P99：4：1），3），6），5：1）.