第二类曲线积分的计算

第二类曲线积分的计算作者：钟家伟指导老师：张伟伟摘要：本文结合第二类曲线积分的背景用定义的方法进行第二类曲线积分的计算，重点是利用对称性，参数方程，格林公式斯托克斯公式以及两类曲线积分之间的联系对第二类曲线积分进行计算。关键词：第二类曲线积分二重积分参数积分对称性原理斯托克斯公式第二类曲面积分1引言本文介绍第二类曲线积分的定义以及与两类曲线积分之间的联系，重点介绍若干种主要的计算方法。1.1第二类曲线积分的概念介绍了第二类曲线积分的物理学背景，平面和空间第二类曲线积分的定义以及对坐标的第二类曲线积分的定义。1.2第二类曲线积分的计算方法介绍了关于第二类曲线积分的参数计算法，利用格林公式和斯托克斯公式计算的方法以及利用对称性简化或计算的方法。2.1第二类曲线积分的物理学背景力场),(,),(),(yxQyxPyxF沿平面曲线L从点A到点B所作的功一质点受变力yxF,的作用沿平面曲线L运动,当质点从L之一端点A移动到另一端B时,求力yxF,所做功W.大家知道,如果质点受常力F的作用从A沿直线运动到B,那末这个常力F所做功为W=ABF.现在的问题是质点所受的力随处改变，而所走路线又是弯弯曲曲.怎么办呢?为此,我们对有向曲线L作分割},,.....,,{110nnAAAAT,即在AB内插入1n个分点,,.....,,121nMMM与A=nMBM,0一起把曲线分成n个有向小曲线段iiMM1),,2,1(ni,记小曲线段iiMM1的弧长为iS.则分割},,.....,,{110nnAAAAT的细度为}{max1iniST.设力yxF,在x轴和y轴方向上的投影分别为),(yxP与),(yxQ,那么yxF,=),(),,(yxQyxPjyxQiyxP),(),(由于),,(),,(111iiiiiiyxMyxM则有向小曲线段iiMM1),,2,1(ni在x轴和y轴方向上的投影分别为11iiiiiiyyyxxx与.记iiMML1=),(iiyx从而力yxF,在小曲线段iiMM1上所作的功iW),(iFiiMML1=iiP,ix+iiQ,iy其中(ji,)为小曲线段iiMM1上任一点,于是力yxF,沿L所作的功可近似等于iW=niiW1iniiiiniiiysQxSP11),(),(当0T时,右端积分和式的极限就是所求的功.这种类型的和式极限就是下面所要讨论的第二型曲线积分.2.2第二型曲线积分的定义设),(yxP,),(yxQ为定义在光滑或分段光滑平面有向曲线ABL上的函数,对ABL任一分割T,它把ABL分成n个小弧段iiMM1),,2,1(ni；其中A=nMBM,0.记各个小弧段iiMM1弧长为is,分割T的细度为}{max1iniST,又设T的分点的坐标为),(iiiyxM,并记11,iiiiiiyyyxxx,),,2,1(ni.在每个小弧段iiMM1上任取一点ii,,若极限niiiiTxP10),(limniiiiTyQ10),(lim存在且与分割T与点ii,的取法无关,则称此极限为函数),(yxP,),(yxQ在有向线段ABL上的第二类曲线积分,记为LdyyxQdxyxP),(),(或ABdyyxQdxyxP),(),(也可记作LLdyyxQdxyxP),(),(或ABABdyyxQdxyxP),(),(注：(1)若记yxF,=),(),,(yxQyxP,dydxsd,则上述记号可写成向量形式:LsdF.(2)倘若L为光滑或分段光滑的空间有向连续曲线,),,(zyxP,),,(zyxQ,),,(zyxR为定义在L上的函数,则可按上述办法定义沿空间有向曲线L的第二类曲线积分,并记为dzzyxRdyzyxQdxzyxPL),,(),,(),,(按照这一定义,有力场),(,),(),(yxQyxPyxF沿平面曲线L从点A到点B所作的功为ABQdyPdxW.第二型曲线积分的鲜明特征是曲线的方向性.对二型曲线积分有BAAB,定积分是第二型曲线积分中当曲线为x轴上的线段时的特例.可类似地考虑空间力场),,(,),,(,),,(),,(zyxRzyxQzyxPzyxF沿空间曲线ABL所作的功.为空间曲线ABL上的第二型曲线积分ABdzzyxRdyzyxQdxzyxP),,(),,(),,(.2.1对坐标的第二类曲线积分的概念设函数在平面P(x，y)上的一条光滑（或分段光滑）曲线上有定义且有界，用分点(,)(0,1,2)iiiMXYin将曲线L从起点A到B分为n个有向小弧的长度(,)iiil，作和式1(,)()niiiiiiPXXX。记1maxiinl，若极限1lim()niiiiPXI存在，且对曲线L的分点及点的选取方式无关，则称此极限为函数P(x,y)按从A到B的方向沿曲线L对坐标x的曲线积分，记作的曲线积分记作1(,)lim()niiiiLPxydxPX，其中P（x，y）称为被积函数，L称为被积路径，对坐标的曲线积分也称之为第二类曲线积分。类似的，设函数Q（x，y）在xy平面上的一条光滑（或分段光滑）曲线L（AB）上有定义且有界。若对于L的任意分法和(,)ii的任意取法，极限都存在且唯一，则称此极限值1lim()niiiiQY为函数Q（x，y）按从A到B的方向沿曲线L对坐标Y的曲线积分，记作(,)LQxydy(,)ii(,)LPxydx2.2第二类曲线积分的参数计算法首先要弄清楚两类积分的定义，简单地说，第一类曲线积分就是201(,)lim(,)niiilifxydss第二类曲线积分就是01(,)(,)lim(,)(,)niiiiiiliPxydxQxydyPxQy（1）这两种曲线积分的主要区别就在于，第一型曲线积分的积分和中是乘的is，is是一小段弧的弧长，is总是正值；而第二类曲线积分和积分和中是乘的一段弧的,xy坐标的增量11,iiiiiixxxyyy，ix与iy是可正可负的。当积分的路径反向时，is不变，而ix，iy反号，因此第一类曲线积分不变而第二类曲线积分反号，在这一性质上，第二类曲线积分与定积分是一样的。计算曲线积分的基本方法是利用的参数方程将其转化成定积分，但两类曲线积分有些不同。设曲线l的参数方程为(),(),xxttyyt则第一类曲线积分的计算公式为2222'''2'2()()()()dsdxdyxtdtytdtxtdttdtdt这里要注意，即对t的定积分中，下限比上限小时才有0dt，也就有dtdt，这样才有上述计算公式。这个问题在计算中也要特别注意。沿l上的点由A变到B，即t的下限对应曲线积分的起点A，他的上限对应曲线积分的起点A，t的上限对应终点B。在计算中总要用到曲线的参数方程，这里列出一些常用曲线的参数方程。椭圆的参数方程为(sin),02(cos),xatttyatt有些较简单的曲线可取x或y为参数，即可由直角坐标方程。例如，直线yaxb，取可由直角坐标方程得出参数方程。例如，直角yaxb，取x为参数，参数方程即为,,xxxyaxb又如，抛物线yx，取y为参数，参数方程为2,0,xyyyy例1设l为以(0,0),(1,0),(0,0)OAB为顶点的三角形边界，计算（1）22()lxyds（2）2222()()lxydxxydy，沿逆时针方向。解：（1）这是第一类曲线积分。22222222()()()()lOAABOBxydsxydsxydsxyds线段OA的参数方程为,010,xxxy122201()3OAxydsxdx线段AB的参数方程为,011,xxxyx12222022()((1))23ABxydsxxdx.线段OB的参数方程为0,01,xyyy1222013iOBxydsydy所以2212212(12)()3333Lxyds（2）这是第二类曲线积分。22()(2)lxydxxdy2222()(2)()(2)OABOxydxxdyxydxxdy111222000(1)(2)(1)2xdxxxdxxdxdy12011(132)236xxdx在这个例子中，必须注意第一类曲线积分与第二类曲线积分的不同处理方法，尤其是方向性问题。2.3利用格林公式计算第二类曲线积分设D是由分段光滑的曲线l围成的连通有界闭区域，函数(,)Pxy，(,)Qxy在其上有一阶连续偏导数，则有格林公式(,)(,)()lDQPPxydxQxydydxdyxy其中l取正向。格林公式建立了第二类曲线积分也二重积分之间的联系。凡是建立了两个重要概念的联系的公式都是极为重要的，格林公式正是这样的公式。在讨论曲线积分与路径无关问题中，在许多公式的推导中，在曲线积分的计算中，格林公式都是很重要的工具。这里再列举两个计算曲线积分的例子。例2.用格林公式计算例1中（2）的第二类曲线积分。解：显然，这个积分满足格林公式的条件。用格林公式，22()(2)lxydxxdy1100(12)(12)yDydxdydyydx101(12)(12)6yydy这比例1中的解法简单一些。例3.计算第二类曲线积分22()(),lyxdxxydy其中l为从A（-2,0）到B（2,0）沿椭圆2214xy的上半部分的曲线。解：l不是一条封闭曲线，不能直接用格林公式。增加沿x轴的线段BA而成为封闭曲线。2222()()()()lBAyxdxxydyyxdxxydy(11)224Ddxdy22()()lyxdxxydy224()()AByxdxxydy224()()BAyxdxxydy22216443xdx此题重点提到的是针对于非封闭曲线如何利用格林公式通过补形的方法将第二类曲线积分的计算转化为二重积分的计算。2.4利用对称性计算第二类曲线积分定理1设L为xoy平面上关于x轴对称的一条有向光滑曲线弧，其方程是一双值函数，设为(),()yyxaxb。记12,LL分别为L位于x轴的上半部分与下半部分，12,LL分别在上的投影方向相反，函数(,)Pxy在L上连续，那么1）当(,)Pxy关于y为偶函数时，则(,)0LPxydx2）当(,)Pxy关于为奇函数时，则1(,)2(,)LLPxydxPxydx证明：依定理条件不妨设1:()Lyyx从点a变到点b2:()Lyyx从点b变到点a于是由对坐标曲线积分的性质及计算方法有12(,)(,)(,)LLLPxydxPxydxPxydx,(),()bbaaPxyxdxPxyxdx[,()],()baPxyxPxyxdx,(),()baPxyxPxyxdx故1）当(,)Pxy关于为偶函数时，有(,)[,()],()bLaPxydxPxyxPxyxdx00badx2）当(,)Pxy位于为奇函数时，有(,)[,()],()bLaPxydxPxyxPxyxdx2,()2(,)baLPxyxdxPxydx