高数(下)要点(含微分方程)——自己整理的

第六章微分方程一、一阶微分方程1、一阶线性方程)()(xQyxPdxdy])([)()(CdxexQeydxxPdxxP通解2、伯努利方程)1,0()()(ddnyxQyxPxyn).()(dd1111xQyxPxynnn令.1nyz二、可降阶的高阶方程1．)()(xfynn次积分2．)',(yxfy不显含y令)('xpy，化为一阶方程),('pxfp。3．)',(yyfy不显含自变量令)('ypy，dydppdxyd22，化为一阶方程。三、线性微分方程)()()()(1)1(1)(xfyxayxayxaynnnn，0)(xf时称为齐次的，0)(xf称为非齐次的。1．二阶线性齐次线性方程0)()(yxQyxPy（1）如果函数)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个解，则)()(2211xyCxyCy也是(1)的解,其中21,CC是任意常数。如果)(1xy与)(2xy是方程(1)的两个线性无关的特解,则)()(2211xyCxyCy(21,CC是任意常数)是(1)的通解.两个函数)(1xy与)(2xy线性无关的充要条件为Cxyxy)()(21（常数）2．二阶线性非齐次线性方程设)(*xy是二阶线性非齐次线性方程)()()(xfyxQyxPy的一个特解,)(xY是它对应的齐次方程(1)的通解,则)()(*xyxYy是该方程的通解.设)(*1xy与)(*2xy分别是二阶线性非齐次方程)()()(1xfyxQyxPy与)()()(2xfyxQyxPy的两个特解。则)(*1xy)(*2xy是)()()()(21xfxfyxQyxPy的特解。（叠加原理）3.二阶线性常系数齐次方程0'qypyy特征方程02qprr，特征根21,rr特征方程的根21,rr0qyypy的通解两个不相等的实根21,rrxrxreCeCy2121两个相等的实根21rrxrexCCy1)(21一对共轭复根ir2,14．二阶线性常系数非齐次方程)(xfqyypyi)如果xmexPxf)()(,则二阶线性常系数非齐次方程具有形如xmkexQxy)(*的特解。其中，)(xPm是m次多项式,)(xQm也是系数待定的m次多项式；2,1,0k依照为特征根的重数而取值.i)如果xxPxxPexfnlxsin)(cos)()(,则二阶线性常系数非齐次方程的特解可设为xxRxxRexymmxksin)(cos)()2()1(*)sincos(21xCxCeyx其中)(),()2()1(xRxRmm是系数待定的m次多项式,nlm,max,1,0k依照i特征根的重数取值.四、欧拉方程二阶欧拉方程)(2xfqyypxyx，其中qp,为常数.作变换tex，则有dtdyxdxdtdtdydxdy1,dtdydtydxdxyd222221。原方程变为二阶线性常系数方程)()1(22tefqydtdypdxyd。第七章空间解析几何一、1、sin||||||，其中是与的夹角；2、向量积满足下列运算律：1）反交换律)(；2）结合律)()()(，其中是数量；3）左分配律)(，右分配律)(．3、321321212131313232bbbaaakjikbbaajbbaaibbaa4、若0},,{321aaa，则||10称为单位化向量，并有0||．此时}cos,cos,{cos,,2322213232221223222110aaaaaaaaaaaa其中是的方向余弦．cos,cos,cos三、1、旋转面方程yoz平面上的曲线C：00),(xzyf绕z轴的旋转面方程为0),(22zyxf；绕y轴的旋转面方程为0),(22zxyf．类似可得其它坐标面上的曲线绕坐标轴的旋转面方程．2、柱面方程以xoy平面上的曲线C：00),(zyxf为准线，母线平行于z轴的柱面方程为0),(yxf．同理方程0),(zyg和0),(zxh分别表示母线平行于x轴和y轴的柱面．3、曲线在坐标面上的投影在空间曲线的方程0),,(0),,(:21zyxFzyxFC中，经过同解变形分别消去变量zyx,,，则可得到C在yoz、xoz、xoy平面上的投影曲线，分别为：00),(xzyF；00),(yzxG；00),(zyxH四、1、平面方程1）点法式：过点),,(0000zyxP，法向量},,{CBAn的平面方程为0)()()(000zzCyyBxxA，2）一般式：0DCzByAx，其中CBA,,不全为零．3）截距式：1czbyax4）两个平面之间的关系设两个平面Π1与Π2的法向量依次为},,{1111CBAn和},,{2222CBAn．Π1与Π2的夹角规定为它们法向量的夹角（取锐角）．此时2、直线方程1）一般式：将直线表示为两个平面的交线0022221111DzCyBxADzCyBxA．2）若直线L经过点),,(0000zyxP且与方向向量0},,{nmlv平行，则L的方程为i)对称式：nzzmyylxx000．ii)参数式：tnzztmyytlxx000，t．3）两条直线之间的关系设两条直线L1和L2方向向量分别为},,{,},,{22221111nmlvnmlv，L1与L2的夹角规定为它们方向向量的夹角（取锐角）．于是2222222121212121212121||||||||cosnmlnmlnnmmllvvvv3、直线与平面的关系设直线L的方向向量为},,{nmlv，平面Π的法向量为},,{CBAn．L与Π的夹角规定为L与它在Π上投影直线'L的夹角（锐角）．这时222222||||||||sinCBAnmlnCmBlAnvnv．L与Π垂直的充要条件是CnBmAl．L与Π平行的充要条件是0nCmBlA五、1、椭圆抛物面：2222byaxz，2222222121212121212121||||||||cosCBACBACCBBAAnnnnOyz其中0,0ba（图3）．例如22yxz，22yxz等．2、椭圆锥面：22222byaxz，其中0,0ba（图4）．例如，圆锥面222yxz．3、单叶双曲面1222222czbyax，其中0,0,0cba（图5）．例如1222zyx．4、双叶双曲面1222222czbyax，其中0,0,0cba（图6）．例如1222yxz．第八章多元函数的微分学一、1．偏导数xyxfyxxfyxfxx),(),(lim),(0000000yxzxO图4图5zyOabxxzOyc-c（图6）0'),(),(000xxxyxfyxf对某一个自变量求偏导数，就是将其余的自变量看作常数，对这个变量求一元函数的导数．2．高阶偏导数二元函数),(yxf的二阶偏导数),(),(1122yxfyxfxzxzxxx，或11f，11z；),(),(122yxfyxfyxzxzyxy，或12f，12z；),(yxfxy及),(yxfyx称为二阶混合偏导数3、全微分二元函数),(yxfz在点),(yx处的全微分dyyzdxxzdz三元函数),,(zyxfu的全微分，并有dzzudyyudxxudu4、可微、可导、连续的关系在多元函数中，可微、可导、连续的关系与一元函数的情况有所不同．在多元函数中1）可微必可导，可导不一定可微；2）可微必连续，连续不一定可微；3）可导不一定连续，连续不一定可导5、复合函数的偏导数假设下列函数都可微，则有复合函数的求导公式（链式法则）：a.若),(vufz，)(xu，)(xv，则复合函数)](),([xxfz的导数为dxdz=dxduuz+dxdvvz；b.若),(vufz，),(yxu，),(yxv，则复合函数)],(),,([yxyxfz的偏导数xz=xuuz+xvvz，yz=yuuz+yvvz；6、隐函数的偏导数1）方程0),(yxF所确定的隐函数的导数为yxFFdxdy．2）方程0),,(zyxF所确定隐函数的偏导数为zxFFxz，zyFFyz．二、1、取得极值的必要条件如果函数),(yxfz在点),(000yxP的两个偏导数都存在，且在该点函数取得极值，则0),(00yxfx，0),(00yxfy．可导的极值点必是驻点，但极值点不一定是驻点．2．取得极值的充分条件设),(yxfz在驻点),(00yx的某个邻域内有二阶的连续偏导数．令),(00yxfAxx,),(00yxfBxy,),(00yxfCyy,ACB2，于是有1）如果0，则点),(00yx是函数的极值点．当0A时，),(00yxf是极大值，当0A时，),(00yxf是极小值．2）如果0，则点),(00yx不是函数的极值点．3）如果0，则函数),(yxfz在点),(00yx有无极值不能确定，需用其它方法判别．3．条件极值1）求二元函数),(yxfz在约束条件),(yx=0下的极值，可以按照如下步骤进行：i)构造拉格朗日函数),(),(),(yxyxfyxL；ii)解方程组0),(0),(),(0),(),(yxyxyxfyLyxyxfxLyyxx．若000,,yx是方程组的解，则),(00yx是该条件极值问题的可疑极值点．三、多元微分学的几何应用1．空间曲线的切线与法平面给定空间曲线)()()(:tzztyytxxL，其中的三个函数有连续的导数且导数不同时为零（光滑曲线）．L上的点),,(0000zyxP对应的参数为0t．则曲线L在点),,(0000zyxP处的切向量为})(',)(',)('{000tztytx，此时的切线方程为)(')(')('000000tzzztyyytxxx．曲线L在点),,(0000zyxP的法平面方程为0))(('))(('))(('000000zztzyytyxxtx2．曲面的切平面与法线给定曲面的方程0),,(zyxF，函数),,(zyxF有连续的偏导数且三个偏导数不同时为零（光滑曲面）．点),,(0000zyxP是上的一个点．则曲面在点),,(0000zyxP处的法向量为}),,(,),,(,),,({000000000zyxFzyxFzyxFzyx，此时的切平面方程为0))(,,())(,,())(,,(000000000000zzzyxFyyzyxFxxzyxFzyx，曲面在点),,(0000zyxP的法线方程为),,(),,(),,(000000000000zyxFzzzyxFyyzyxFxxzyx．四．方向导数与梯度1．若函数),,(zyxfu在点),,(zyxP可微，方向l的方向余弦为cos,cos