74-3定积分的分部积分公式

2020/9/161第二节定积分的计算(Ⅲ)分部积分公式2020/9/16福州大学数学与计算机学院2设函数)(xu、)(xv在区间ba,上具有连续导数，则有bababavduuvudv.定积分的分部积分公式推导:,vuvuuv,)(babauvdxuv,bababadxvudxvuuv.bababavduuvudv定积分的分部积分法2020/9/16福州大学数学与计算机学院3例1计算.arcsin210xdx解令,arcsinxu,dxdv,12xdxdu,xv210arcsinxdx210arcsinxx21021xxdx621)1(112120221xdx1221021x.12312则2020/9/16福州大学数学与计算机学院4例2计算解.2cos140xxdx,cos22cos12xx402cos1xxdx402cos2xxdxxdxtan24040tan21xxxdxtan214040secln218x.42ln82020/9/16福州大学数学与计算机学院5例3计算解.sin420dxxxt20sin2tdtt20)cos(2tdt2200cos2]cos[2tdttt20][sin2t2.sin420dxx2020/9/16福州大学数学与计算机学院6例4计算解.)2()1ln(102dxxx102)2()1ln(dxxx1021)1ln(xdx102)1ln(xx10)1ln(21xdx32lndxxx101121xx211110)2ln()1ln(32lnxx.3ln2ln352020/9/16福州大学数学与计算机学院7102102)1ln()1ln(xdxdxxx解：1022)1ln(201)1ln(2xdxxxdxxx1021212ln21dxxx)111(212ln211001)1ln(2212ln212xxx41.)1ln(510dxxx计算例2020/9/16福州大学数学与计算机学院8edxx1)sin(ln解：exxdexx1)sin(ln1)sin(lnedxxe1)cos(ln1sinedxxee1)sin(ln11cos1sin.)sin(ln61edxx计算例2020/9/16福州大学数学与计算机学院911cos1sin)sin(ln21eedxxe)11cos1sin(21)sin(ln1eedxxe求定积分也经常采用递推的方法，如下例：2020/9/16福州大学数学与计算机学院10例７证明定积分公式2200cossinxdxxdxInnnnnnnnnnnnn,3254231,22143231为正偶数为大于1的正奇数证设,sin1xun,sinxdxdv,cossin)1(2xdxxndun,cosxv2020/9/16福州大学数学与计算机学院11dxxxnxxInnn2202201cossin)1(cossinx2sin10dxxndxxnInnn22002sin)1(sin)1(nnInIn)1()1(221nnInnI积分关于下标的递推公式nI4223nnInnI,直到下标减到0或1为止2020/9/16福州大学数学与计算机学院12,214365223221202ImmmmIm,3254761222122112ImmmmIm),2,1(m,2200dxI,1sin201xdxI,221436522322122mmmmIm.325476122212212mmmmIm于是2020/9/16福州大学数学与计算机学院13.])([))(()(800xxuodudxxfduuxufxf连续，证明：设例证：利用定积分的分部积分法xuuoxduuufxdxxfududxxf000)(0)(])([xxduuufdxxfx00)()(2020/9/16福州大学数学与计算机学院14例9设求解21,sin)(xdtttxf.)(10dxxxf因为ttsin没有初等形式的原函数，无法直接求出)(xf，所以采用分部积分法10)(dxxxf102)()(21xdxf102)(21xfx102)(21xdfx)1(21f102)(21dxxfx2020/9/16福州大学数学与计算机学院1521,sin)(xdtttxf,sin22sin)(222xxxxxxf10)(dxxxf)1(21f102)(21dxxfx102sin221dxxx1022sin21dxx102cos21x).11(cos21,0sin)1(11dtttf2020/9/16福州大学数学与计算机学院16设)(xf在1,0上连续，且1)0(f，3)2(f，5)2(f，求10)2(dxxfx.例1010d)2(xxfx10)2(d21xfx1010d)2(21)2(21xxfxfx10)2(41)2(21xff)0()2(4125ff.22020/9/16福州大学数学与计算机学院17几个特殊积分、定积分的几个等式1、定积分的换元法dxxfba)(dtttf)()]([三、小结2、定积分的分部积分公式.bababavduuvudv（注意与不定积分分部积分法的区别）