多元函数积分的计算方法技巧

..第10章多元函数积分的计算方法与技巧一、二重积分的计算法1、利用直角坐标计算二重积分假定积分区域可用不等式表示,其中,在上连续.这个先对,后对的二次积分也常记作如果积分区域可以用下述不等式表示,且函数,在上连续,在上连续,则(2)Daxbxyx12()()1()x2()x[,]abyxfxyddxfxydyDabxx(,)(,)()()12Dcydyxy,()()121()y2()y[,]cdfxy(,)DfxydfxydxdydyfxydxDyycdcdyy(,)(,)(,)()()()()1212..显然,(2)式是先对,后对的二次积分.积分限的确定几何法.画出积分区域的图形(假设的图形如下)在上任取一点,过作平行于轴的直线,该直线穿过区域,与区域的边界有两个交点与,这里的、就是将,看作常数而对积分时的下限和上限；又因是在区间上任意取的,所以再将看作变量而对积分时,积分的下限为、上限为.例1计算,其中是由抛物线及直线所围成的区域.xyD],[baxxyDD))(,(1xx))(,(2xx)(1x)(2xxyx[,]abxxabxydDDyx2yx2..2.利用极坐标计算二重积分1、就是极坐标中的面积元素.2、极坐标系中的二重积分,可以化归为二次积分来计算.其中函数,在上连续.则注:本题不能利用直角坐标下二重积分计算法来求其精确值.Dyyxy:,1222xyddyxydxxydyDyyyy122212222121224582512yyydy()rdrdxrcosyrsindxdyrdrdfxydxdyD(,)frrrdrdD(cos,sin)12()()r1()2()[,]frrrdrddfrrrdrD(cos,sin)(cos,sin)()()12..3、使用极坐标变换计算二重积分的原则(1)、积分区域的边界曲线易于用极坐标方程表示(含圆弧,直线段)；(2)、被积函数表示式用极坐标变量表示较简单(含,为实数).例6计算解此积分区域为该区域在极坐标下的表示形式为二、三重积分的计算1、积分区域可表示成则这就是三重积分的计算公式,它将三重积分化成先对积()xy22Idxdyxyaxyaaxaax0222224022()()Dxaxyaax:,022Dra:,sin4002IrdrdrarddrarradDaa442224022020240sinsinarcsin()d4024021232axbyxyyxzxyzzxy,()(),(,)(,)1212fxyzdvdxdyfxyzdzabyxyxzxyzxy(,,)(,,)()()(,)(,)1212..分变量,次对,最后对的三次积分.例1计算,其中为球面及三坐标面所围成的位于第一卦限的立体.解在面上的投影区域为确定另一积分变量的变化范围选择一种次序,化三重积分为三次积分zyxxyzdxdydzxyz2221xoyDxyxyxy:,,221000122zxy2222102210101010)1(21xyxxdyyxxydxxyzdzdydxxdydzxyzddxxxxxxxdxxyyxxydyxyyxxydxxx102223210104232103310)1(81)1(41)1(41814141)212121(224812462481246224124241cossin81cossin41cossin41coscossin81cossin41cossin412052033320204232tdtttdttdtttdttttttt..2、利用柱面坐标计算三重积分点的直角坐标与柱面坐标之间有关系式体积为这便是柱面坐标系下的体积元素,并注意到(1)式有3、利用球坐标计算三重积分直角坐标与球面坐标间的关系为这就是球面坐标系下的体积元素。Mxryrzzcossindvrdrddzfxyzdvfrrzrdrddz(,,)(cos,sin,)xryrzrsincossinsincosdvrdrdd2sinddrdrrrrfdvzyxfsin)cos,sinsin,cossin(),,(2