变上限积分

4.2.1变上限定积分4.2定积分基本定理4.2.2微积分的基本公式4.2.1变上限定积分如果x是区间[a,b]上任意一点，定积分xattfd)(表示曲线y=f(x)在部分区间[a,x]上曲边梯形AaxC的面积，如图中阴影部分所示的面积.当x在区间[a,b]上变化时,阴影部分的曲边梯形面积也随之变化，所以变上限定积分xattfd)(yxy=f(x)axbOACB是上限变量x的函数.记作F(x)，即()()d().xaFxfttaxb≤≤F(x)注意到教材中的积分式,积分上限中的积分变量，与被积函数中自变量用的是同一个字母符号，其实两者的含义是不同的,为避免混淆,这里改用为积分变量.由于定积分的值与积分变量的记号无关,把积分变量改用别的字母表示,不影响积分结果.xt通常称积分式xattfd)(为变上限的积分变上限的积分()()d().xaFxfttaxb≤≤有下列重要性质:定理4.1若函数f(x)在区间[a,b]上连续，则变上限定积分()()dxaFxftt在区间[a,b]上可导，并且它的导数等于被积函数，即()()d().xadFxfttfxdx定理4.1告诉我们，()()dxaFxftt是函数f(x)在区间[a,b]上的一个原函数，这就肯定了连续函数的原函数是存在的，所以，定理4.1也称为原函数存在定理.变上限定积分推论(原函数存在的充分条件)闭区间上的连续函数,在该区间上它的原函数一定存在.例1(1)21()ed,xtxt已知求(x).解根据定理4.1，得221()ede.xtxxt(2)求24111xddtdxt解22'42481112()11()1xdxdtxdxtxx补充例xttx02,d)sin()(设求(x).解(x)xxtt02d)sin(xxxxtt)(d)sin(02.sin21xx补充例0,d)13cos()(xttxF已知求F(x).解根据定理1，得)(xF0d)13cos(xttxtt0d)13cos().13cos(x*补充例2,d13xxtty设解.ddxy求xyddxxxtt2d13xaxxatttt2d1d133xxaxxatttt2d1d133xxxxttx)(d11203322.12163xxx例2求2030sinlimxxtdtx解当0x时,原式为00型不定式,可用洛必达法则求得22'20033'2000sin(sin)1sin1limlimlim()33xxxxxtdttdtxxxx4.2.2微积分的基本公式定理如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，F(x)是f(x)在区间[a,b]上任一原函数，).()(d)(aFbFxxfba那么为了今后使用该公式方便起见，把上式右端的,)()()(baxFaFbF记作这样上面公式就写成如下形式：.()()()()bbaafxxFxFbFad“Newton—Leibniz公式”例3计算下列定积分.解;d11)1(102xx30(2)sind.xxxxd11)1(10210arctanx;40arctan1arctan30(2)sindxx30cosxcos(cos0)3111224.2.3定积分的性质下面各性质中的函数都假设是可积的.性质1(1)两个函数和的定积分等于它们定积分的和，即baxxgxfd)()(babaxxgxxf.d)(d)(性质2被积函数的常数因子可以提到积分外面，即baxxkfd)(.d)(baxxfk性质1(1)可推广到有限多个函数代数和的情况，即banxxfxfxfd)()()(21.d)(d)(d)(21banbabaxxfxxfxxf性质3(积分对区间可加性)如果积分区间[a,b]被点c分成两个区间[a,c]和[c,b]，那么baxxfd)(.d)(d)(bccaxxfxxf当点c不介于a与b之间，即cab或abc时，结论仍正确.补充例题计算下列定积分.解;de1e)1(11xxx.dcos)2(462xxxxxde1e)1(11)e1(de1111xx11)e1ln(x;1e11ln)e1ln(xxdcos)2(462xxd)2cos1(214646462d2cos41d21xxx462sin416421x.834124解把被积函数化简.补例计算.dsinsin03xxxxxxdsinsin03xxxd)sin1(sin02.d|cos|sin0xxxxxxxxxd)cos(sindcossin220xxxxsindsinsindsin2202232023sin32sin32xx.34)32(32解xxfd)(30xxxxded31103311034)e(43xx.e1e4332补充题例.d)(31,e10,)(303xxfxxxxfx计算，，设函数≤≤例4求定积分130(sin2)xxedx解1301130011300(sin2)sin212sin33xxxxedxxdxedxxdxedx1310030312cos||312(coscos0)()322(1)3xxeeee请在草稿纸上练习书上例题：例5设函数22,10(),03xxxfxex求定积分31()fxdx解3031100322103203106()()()||32126xxfxdxfxdxfxdxxdxedxxee